高中数学苏教版必修1讲义：2.1.2函数的表示方法

2.1.2　函数的表示方法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)
2.了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)
通过学习本节内容进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.
1．函数的表示方法
2．分段函数
(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．
(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．
(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示． (　　)
(2)任何一个函数都可以用解析法表示． (　　)
(3)有些函数能用三种方法来表示． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．若函数f(x)＝则f(x)的定义域为______，值域为________．
{x|x≠0}　{y|y>－1}　[定义域为{x|x>0或x<0}＝{x|x≠0}，
当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>－1，∴值域为{y|y>－1}．]
3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f(x)．
[解]　列表法：
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
解析法：y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
图象法：
求函数解析式
【例1】　求下列函数的解析式．
(1)已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，则f(x)＝________.
(2)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.
(3)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.
(4)设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为________．
(5)若f ＝x2＋，则f(x)＝________.
思路点拨：(1)(3)(4)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把＋1看作一个整体来求解．(5)可以把x－看作一个整体来求解．
(1)－x＋3　(2)x2－1(x≥1)　(3)2x－或－2x＋1　
(4)f(x)＝　(5)x2＋4　
[(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
f(2x＋1)＝a(2x＋1)＋b，
f(2x－1)＝a(2x－1)＋b，
f(2x＋1)＋f(2x－1)＝4ax＋2b＝－4x＋6，
所以解得
即函数f(x)的解析式为f(x)＝－x＋3.
(2)法一：令＋1＝t(t≥1)，
则＝t－1，x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)设所求函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，
所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1，
则
解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(4)由题意得解得
故f(x)＝
(5)f ＝x2＋＝＋4，
∴f(x)＝x2＋4.]
求函数解析式的常用方法
(1(待定系数法：已知函数f(x(的函数类型，求f(x(的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组(，确定其系数即可.
(2(换元法：令t＝g(x(，注明t的范围，再求出f(t(的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x(，一定要注意t的范围即为f(x(中x的范围.
(3(配凑法：已知f(g(x((的解析式，要求f(x(时，可从f(g(x((的解析式中拼凑出“g(x(”，即用g(x(来表示，再将解析式两边的g(x(用x代替即可.
(4(代入法：已知y＝f(x(的解析式求y＝f(g(x((的解析式时，可直接用新自变量g(x(替换y＝f(x(中的x.
1．(1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)＝3，f(1)＝3，则f(x)＝________.
(2)若f＝＋，则f(x)＝________.
(1)x＋　(2)x2－x＋1(x≠1)　
[(1)设f(x)＝k1x＋，则?
∴f(x)＝x＋.
(2)令t＝(t≠1)，则x＝，∴f(t)＝＋(t－1)＝t2－t＋1，
∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．]
分段函数
【例2】　已知函数f(x)＝
试求f(－5)，f(－)，f 的值．
思路点拨：要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．
[解]　由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2(－)
＝3－2.
因为f＝－＋1＝－，
－2<－<2，
所以f ＝f 
＝＋2×
＝－3＝－.
1．(变结论)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
[解]　①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2即a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，所以a＝1或a＝－3.
因为1∈(－2,2)，－3(－2,2)，
所以a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
2．(变结论) 本例条件不变，若f(m)>m(m≤－2或m≥2)，求实数m的取值范围．
[解]　若f(m)>m，
即或
即m≤－2或
所以m≤－2或m≥2.
所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．
2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．
求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．
方程组法求解析式
[探究问题]
1．解二元一次方程组的主导思想是什么？
[提示]　主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．
2．解方程组：
[提示]　法一(代入消元法)：由②得A＝B＋6，代入①得B＋6＋B＝4，∴B＝－1，代入A＝B＋6，得A＝5，∴A＝5，B＝－1.
法二(加减消元法)：①＋②得2A＝10，∴A＝5，
①－②得2B＝－2，∴B＝－1.
3．探究2中，每个等式右边如果是代数式，如能求A，B吗？
[提示]　能求A，B.仍可以采用上述两种方法．
两式相加得2A＝x2＋4x，∴A＝，
两式相减得2B＝x2－4x，∴B＝.
【例3】　求解析式．
(1)已知f(x)＋2f(－x)＝，求f(x)；
(2)已知2f(x)＋f ＝3x，求f(x)．
思路点拨：将f(x)与f(－x)，f(x)与f 分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f(x)．
[解]　(1)∵f(x)＋2f(－x)＝，①
用－x替换x得f(－x)＋2f(x)＝－，②
②×2－①得3f(x)＝－－＝－，∴f(x)＝－.
(2)∵2f(x)＋f ＝3x，
用替换x得2f ＋f(x)＝，
消去f 得3f(x)＝6x－，∴f(x)＝2x－.
方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数，互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用或－x替换原式中的x即可．
2．已知f(x)满足f(x)＝2f ＋x，则f(x)的解析式为________．
f(x)＝－－　[因为f(x)＝2f ＋x，用替换x得f ＝2f(x)＋，
代入上式得f(x)＝2＋x，
解得f(x)＝－－.]
1．函数三种表示法的优缺点
2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．
3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
C　[先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．
距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]
2．已知函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋2，则f(10)＝________.
20　[令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f(10)＝32＋3×3＋2＝20.]
3．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝________.
3x－2　[设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，
∴∴
∴f(x)＝3x－2.]
4．已知函数f(x)＝
(1)求f(2)，f(f(2))的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值．
[解]　(1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，
∴f(2)＝22－4＝0，f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x0≤2时，由x－4＝8，得x0＝±2(舍去)；
当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4.∴x0＝4.