高中数学苏教版必修1讲义：3.1.1分数指数幂

3.1.1　分数指数幂
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点)
2.掌握有理指数幂的运算法则．(重点)
3.了解实数指数幂的意义.
通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.
1．平方根与立方根的概念
如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．
2．a的n次方根
(1)定义：一般地，如果一个实数x满足xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根，式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)几个规定：
①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，记作x＝；
②当n为偶数时，正数的n次实数方根有2个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号表示，负的n次实数方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)形式；
③0的n次实数方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)．
3．根式的性质
(1)＝0(n∈N*，且n>1)；
(2)()n＝a(n∈N*，且n>1)；
(3)()＝a(n为大于1的奇数)；
(4)()＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
4．分数指数幂的意义
一般地，我们规定：
(1)a＝(a>0，m，n均为正整数)；
(2)a＝(a>0，m，n均为正整数)；
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．
5．有理数指数幂的运算性质
(1)asat＝as＋t；
(2)(as)t＝ast；
(3)(ab)t＝atbt，
(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)16的四次方根为2. (　　)
(2)＝π－4. (　　)
(3)＝－2. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
[提示]　(1)16的四次方根有两个，是±2；(2)＝|π－4|＝4－π；(3)没意义．
2．若n是偶数，＝x－1，则x的取值范围为________．
[1，＋∞)　[x－1≥0，∴x≥1.]
3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是________．(填序号)
(1)＝5；(2)2－＝；(3)＝(－2)；(4)3＝.
(1)(2)　[根据根式与分数指数幂的互化关系，(1)(2)正确，(3)(4)错误．]
4．设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.
8　[52x－y＝＝＝＝8.]
根式的性质
【例1】　求下列各式的值．
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)－，x∈(－3,3)．
思路点拨：利用根式的性质进行求解．
[解]　(1)＝－2.
(2)＝＝.
(3)＝|3－π|＝π－3.
(4)＝＝|a3|＝
(5)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；
当1因此，原式＝
1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．注意与()n的区别
()n＝a(当n为奇数时，a∈R，当n为偶数时，a≥0)；
＝
1．(1)化简：()2＋＋＝________.
(2)若＋＝0，则yx＝________.
(1)a－1　(2)－3　[(1)易知a－1≥0，原式＝(a－1)＋|a－1|＋1－a＝a－1＋(a－1)＋1－a＝a－1.
(2)由题知0＝|x－1|＋|y＋3|，
∴?
∴yx＝(－3)1＝－3.]
根式与分数指数幂的互化
【例2】　将下列根式化成分数指数幂的形式．
思路点拨：利用分数指数幂的意义以及有理指数幂的运算性质进行转化．
1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用a＝和a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用．
2．将下列根式化成分数指数幂的形式．

分数指数幂的运算
【例3】　(1)计算：0.064－＋[(－2)3]＋16－0.75＋|－0.01|；
思路点拨：将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算．
指数幂与根式运算的技巧
(1(有理数指数幂的运算技巧
①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算.
②指数的处理：负指数先化为正指数.(底数互为倒数(
③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示.
(2(根式运算技巧
①各根式(尤其是根指数不同时(要先化成分数指数幂，再运算.
②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂.
3．(1)化简：＝____.

条件求值问题
[探究问题]
1．x＋x－与x＋x－1有什么关系？x＋x－1与x2＋x－2有什么关系？
[提示]　x＋x－1＝－2，x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2.
2．立方和(差)公式是什么？
[提示]　a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
【例4】　已知a＋a＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
思路点拨：考虑到如何由a＋a得到a＋a－1.
[解]　(1)将a＋a＝两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
∴a2＋a－2＝7.
1．(变结论)在本例条件下，则a2－a－2＝________.
±3　[令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.]
2．(变条件)若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a条件求值问题的常用方法
(1(整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值.
(2(求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果.
1．掌握两个公式：(1)()n＝a(n∈N*)；
(2)n为奇数且n∈N*，＝a；
n为偶数且n∈N*，＝|a|＝
2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．
1．以下说法正确的是________．(填序号)
①正数的n次方根是正数；
②负数的n次方根是负数；
③0的n次方根是0(其中n＞1且n∈N*)；
④a的n次方根是.
③　[由于正数的偶次方根有互为相反数的两个方根，故①错；由于负数的偶次方根无意义，故②错；③显然正确；当a＜0时，只有n为大于1的奇数时才有意义，故④错．]
2．计算：＝________.(x<1)
1－x　[原式＝＝|x－1|＝1－x.]
3．计算[(－)2]的结果是________．
　[[(－)2]＝2＝.]
4．若代数式＋有意义，化简：
＋2.
[解]　由＋有意义，
则即≤x≤2.
故＋2
＝＋2
＝|2x－1|＋2|x－2|
＝2x－1＋2(2－x)＝3.