高中数学苏教版必修1讲义：3.1.2指数函数（第1课时）指数函数的概念、图象与性质

第1课时　指数函数的概念、图象与性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解指数函数的概念．(重点)
2.掌握指数函数的图象和性质．(重点)
3.能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点)
4.掌握函数图象的平移变换和对称变换.
通过学习本节内容培养学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养.
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R.
2．指数函数的图象和性质
a>1
0图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
定点
图象过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
x>0时，y>1；
x<0时，0x>0时，0x<0时，y>1
单调性
在(－∞，＋∞)上是单调增函数
在(－∞，＋∞)上是单调减函数
奇偶性
非奇非偶函数
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝3·2x是指数函数． (　　)
(2)指数函数的图象与x轴永不相交． (　　)
(3)函数y＝2－x在R上为增函数． (　　)
(4)当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
[提示]　(1)y＝3·2x的系数为3，故y＝3·2x不是指数函数．
(2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与x轴不相交．
(3)y＝2－x＝是减函数．
(4)a>1时，若x<0，则ax<1.
2．下列函数中，是指数函数的为________．(填序号)
(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；
(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．
(4)(6)　[只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b＝a－1，则y＝bx，b>0且b≠1，所以是．]
3．若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象过点(2,9)，则f(x)＝________.
3x　[由于a2＝9，∴a＝±3.∵a＞0，∴a＝3，
∴f(x)＝3x.]
指数函数的概念
【例1】　函数f(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，求实数a的值．
思路点拨：利用指数函数的定义求解．
[解]　∵函数f(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，
∴∴
∴a＝6，即a的值为6.
指数函数具有以下特征：①底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；②指数位置是自变量x，且x的系数是1；③ax的系数是1.
1．已知y＝(2a－1)x是指数函数，则a的取值范围是________．
　[要使y＝(2a－1)x是指数函数，则2a－1>0且2a－1≠1，
∴a>且a≠1.]
利用单调性比较大小
【例2】　比较下列各组数的大小：
(1)与；(2)与1；(3)0.6－2与；(4)与3－0.2.
思路点拨：观察底是否相同(或能化成底相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．
[解]　(1)0<<1，y＝在定义域R内是减函数．
又∵－1.8>－2.6，
∴<.
(2)∵0<<1，∴y＝在定义域R内是减函数．
又∵－<0，
∴>＝1，
∴>1.
(3)∵0.6－2>0.60＝1，<＝1，
∴0.6－2>.
(4)∵＝3－0.3，y＝3x在定义域R内是增函数，
又∵－0.3<－0.2，
∴3－0.3<3－0.2，∴<3－0.2.
在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类：
(1(底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.
(2(底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解决.在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大，然后观察指数取值对应的函数值即可.
(3(底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象.
2．比较下列各组数的大小：
(1)1.9－π与1.9－3；
(2)0.60.4与0.40.6；
(3)，2，，.
[解]　(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π<－3，
∴1.9－π<1.9－3.
(2)∵y＝0.6x在R上递减，
∴0.60.4>0.60.6.
又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x图象的上方，
∴0.60.6>0.40.6，∴0.60.4>0.40.6.
(3)∵<0，>1,2>1,0<<1，
又在y轴右侧，函数y＝的图象在y＝4x的下方，
∴<4＝2，
∴<<<2.
利用单调性解指数不等式
【例3】　(1)已知4≥2x＋1>2，求x的取值范围；
(2)已知0.3x>，求x＋y的符号．
思路点拨：化为同底，利用指数函数的单调性求解．
[解]　(1)∵4＝22，∴原式化为22≥2x＋1>2.
∵y＝2x是单调递增的，∴2≥x＋1>，
∴－∴x的取值范围为.
(2)(0.3)x>＝＝0.3－y.
∵y＝0.3x是减函数，∴x<－y，∴x＋y<0.
1．形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
2．形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
3．(1)若例3题(1)改为4≥>2，则x的取值范围为_____．
(2)解关于x的不等式a3x－2≤ax＋2，(a＞0且a≠1)．
(1)　[∵2<2－(x＋1)≤22，又y＝2x是增函数，∴<－(x＋1)≤2，解得－3≤x<－.]
(2)[解]　①当a>1时，3x－2≤x＋2，∴x≤2.
②当0综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x≤2}，
当0图象变换及其应用
[探究问题]
1．在同一坐标系中作出y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x＋1＋2的图象，在另一坐标系中做出y＝2x，y＝2x－1，y＝2x－1－2的图象，结合以前所学的知识，归纳出图象变换的规律．
[提示]　
结论：y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到；
y＝2x＋1＋2的图象是由y＝2x＋1的图象再向上平移2个单位得到；
y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到；
y＝2x－1－2的图象是由y＝2x－1的图象再向下平移2个单位得到．
2．在同一坐标系中，做出y＝2x－1，y＝3x－1，y＝－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么？能否由此得出结论y＝ax－1均过该点．在另一坐标系中，做出y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么，能得出y＝ax＋1－1均过该点的结论吗？由以上两点，能否说明形如y＝ax＋m＋n(m，n>0)的图象经过的定点是什么？
[提示]　
结论：y＝2x－1，y＝3x－1，y＝－1都过定点(0,0)，且y＝ax－1也总过定点(0,0)．y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝－1都过定点(－1,0)，且y＝ax＋1－1也总过定点(－1,0)．综上得y＝ax＋m＋n的图象经过定点(－m,1＋n)．
3．除去用图象变换的方法外，还有无其它方式寻找定点．如y＝4a2x－4＋3是否过定点．
[提示]　还可以整体代换．
将y＝4a2x－4＋3变形为＝a2x－4.
令?即y＝4a2x－4＋3过定点(2,7)．
【例4】　(1)函数y＝3－x的图象是________．(填序号)
(2)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过第________象限．
(3)函数f(x)＝2ax＋1－3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点________．
思路点拨：题(1)中可将y＝3－x转化为y＝.
题(2)中，函数y＝ax＋b的图象过点(0,1＋b)，
因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上．
题(3)应该根据指数函数经过定点求解．
(1)②　(2)一　(3)(－1，－1)　[(1)y＝3－x＝为单调递减的指数函数，其图象为②.
(2)函数y＝ax(0＜a＜1)在R上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y＝ax＋b的图象在R上单调递减，且过点(0,1＋b)．因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上，故图象不经过第一象限．
(3)令x＋1＝0，得x＝－1，此时y＝2a0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]
1．处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2．指数型函数图象过定点问题的处理方法
求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
4．函数y＝f(x)＝ax＋2－(a>1)的图象必过定点______，其图象必不过第________象限．
　四　[y＝ax(a>1)在R上单调递增，必过(0,1)点，故求f(x)所过的定点时可以令?即定点坐标为.结合图象(略)可知，f(x)的图象必在第一、二、三象限，不在第四象限．]
1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的性质分底数a>1,03．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1.
4．在y轴右侧，底数a越大，图象越靠近y轴.
1．下列所给函数中为指数函数的是(　　)
①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝4x2；⑥y＝x2；⑦y＝(2a－1)x.
A．①③ B．②④⑥
C．①⑦ D．①④⑦
C　[形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数为指数函数，故①⑦是指数函数．]
2．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．
(1,2)　[由题意可知，0<2－a<1，即13．函数y＝ax－5＋1(a≠0)的图象必经过点________．
(5,2)　[指数函数的图象必过点(0,1)，即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．]
4．画出函数y＝2|x|的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．
[解]　当x≥0时y＝2|x|＝2x；
当x＜0时y＝2|x|＝.
∴函数y＝2|x|的图象如图所示，
由图象可知，y＝2|x|的图象关于y轴对称，值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)．