高中数学苏教版必修1讲义：3.2.2对数函数（第1课时）对数函数的概念、图象与性质

第1课时　对数函数的概念、图象与性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数函数的概念.
2.掌握对数函数的图象和性质．(重点)
3.能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点)
4.了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象数学的核心素养.
1．对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象与性质
a>1
0图象
性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1,0)
在(0，＋∞)上是单调增函数
在(0，＋∞)上是单调减函数
3.反函数
对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．
一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f －1(x)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的定义域为R.(　　)
(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数． (　　)
(3)对数函数的图象一定在y轴右侧． (　　)
(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．对数函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(8)＝________.
3　[设f(x)＝loga x，则loga 4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，
∴f(8)＝log2 8＝3.]
3．(1)函数f(x)＝的定义域是________．
(2)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．
(3)若g(x)与f(x)＝2x互为反函数，则g(2)＝________.
(1){x|x>－1且x≠1}　(2)(－∞，0)　(3)1　[(1)?x>－1且x≠1.
(2)由题意得1－2a＞1，所以a＜0.
(3)f(x)＝2x的反函数为y＝g(x)＝log2 x，
∴g(2)＝log2 2＝1.]
对数函数的概念
【例1】　判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．
①y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
②y＝log2x－1；
③y＝2log8x；
④y＝logxa(x＞0，且x≠1)．
思路点拨：依据对数函数的定义来判断．
[解]　①中真数不是自变量x，∴不是对数函数；
②中对数式后减1，
∴不是对数函数；
③中log8x前的系数是2，而不是1，
∴不是对数函数；
④中底数是自变量x，而不是常数a，
∴不是对数函数．
一个函数是对数函数，必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1；
(2)底数为大于0且不等于1的常数；
(3)对数的真数仅有自变量x.
1．对数函数f(x)满足f(2)＝2，则f ＝________.
－2　[设f(x)＝loga x(a>0且a≠1)，
由题知f(2)＝loga 2＝2，故a2＝2，∴a＝或－(舍)．
∴f ＝log ＝－2.]
对数函数的定义域问题
【例2】　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝logx－1(x＋2)；(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝(a>0且a≠1)．
思路点拨：根据对数式中底数、真数的范围，列不等式(组)求解．
[解]　(1)由题知解得x>1且x≠2，
∴f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．
(2)由
得??0≤x<1.
∴函数的定义域为[0,1)．
(3)由题知?
∴x>1且x≠2.
故f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．
(4)?
当a>1时，－a<－1.
由①得x＋a∴x<0.
∴f(x)的定义域为{x|－a当0由①得x＋a>a.
∴x>0.
∴f(x)的定义域为{x|x>0}．
故所求f(x)的定义域是：
当0当a>1时，x∈(－a,0)．
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.
2．(1)函数y＝ln (1－2x)的定义域为________．
(2)函数y＝的定义域为________．
(1)　(2)　[(1)由题知解得0≤x<，∴定义域为.
(2)由题知解得x>，∴定义域为{x|x>}.]
比较对数式的大小
[探究问题]
1．在同一坐标系中作出y＝log2 x，y＝logx，y＝lg x，y＝log0.1 x的图象．观察图象，从底数的大小及相对位置方面来看，可以得出什么结论．
[提示]　图象如图．
结论：对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数02．函数y＝loga x，y＝logb x，y＝logc x的图象如图所示，那么a，b，c的大小关系如何？
[提示]　由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝logb x的图象在(1，＋∞)上比y＝logc x的图象靠近x轴，所以b3．从以上两个探究，我们能否得出对数函数在第一象限的图象的位置与底数大小的关系．
[提示]　在第一象限内的对数函数的图象按从左到右的顺序底数依次变大．
【例3】　(1)比较下列各组数的大小：
①log3 与log5 ；②log1.1 0.7与log1.2 0.7.
(2)已知log b思路点拨：(1)中两小题可以借助对数函数的图象判断大小关系．
(2)中可先比较a，b，c的大小关系，再借助指数函数的单调性．
[解]　(1)①∵log3 log5 1＝0，
∴log3 ②法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2，∴0>log0.7 1.1>log0.7 1.2.
∴<，
由换底公式可得log1.1 0.7法二：作出y＝log1.1 x与y＝log1.2 x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.1 0.7(2)∵y＝log x为减函数，且log b∴b>a>c.
而y＝2x是增函数，∴2b>2a>2c.
比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．
3．比较下列各组数的大小．
(1)log3 3.4，log3 8.5；(2)log0.1 3与log0.6 3；(3)log4 5与log6 5；(4)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1)．
[解]　(1)∵底数3>1，
∴y＝log3 x在(0，＋∞)上是增函数，于是log3 3.4(2)在同一坐标系内作出y＝log0.1 x与y＝log0.6 x的图象，如图，可知在(1，＋∞)上，函数y＝log0.1 x的图象在函数y＝log0.6 x图象的上方，故log0.1 3>log0.6 3.
(3)∵log4 5>log4 4＝1，
log6 5∴log4 5>log6 5.
(4)①当0(lg m)2.1；
②当lg m＝1，即m＝10时，(lg m)1.9＝(lg m)2.1；
③当lg m>1，即m>10时，y＝(lg m)x在R上是增函数，
∴(lg m)1.9<(lg m)2.1.
1．判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0，且a≠1)这种形式．
2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝loga(2x) B．y＝log2 2x
C．y＝log2 x＋1 D．y＝lg x.
D　[根据对数函数的定义，只有D是对数函数．]
2．函数y＝ln x的单调增区间是________________，反函数是____________．
(0，＋∞)　y＝ex　[y＝ln x的底为e>1，故y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，其反函数为y＝ex.]
3．函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(2,1)　[函数可化为y－1＝loga(2x－3)，
可令解得即P(2,1)．]
4．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8)；
(3)y＝.
[解]　(1)由题知即?x>－且x≠－.
所以定义域为.
(2)由题意得解得
所以y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为{x|(3)由题知
即0故定义域为{x|2