高中数学北师大版选修4-5课件：2.1 柯西不等式 :28张PPT

课件28张PPT。第二章 几个重要的不等式§1　柯西不等式1.简单形式的柯西不等式 名师点拨 1.定理1的几点说明:(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2≥(ac+bd)2,这里用了放缩法.因为(ad-bc)2≥0,所以简单形式的柯西不等式中等号成立的充要条件是(ad-bc)2=0,即ad=bc.
2.简单形式的柯西不等式反映了4个实数之间的特定数量关系,不仅在排列形式上规律明显,具有简洁、对称的美感,而且在数学和物理中有重要作用.【做一做1】 下列不等式中,不一定成立的是(　　)
解析:由柯西不等式可知A,B,C项均成立,D项不成立.
答案:D
【做一做2】 若a=(cos α,sin α),b=(3cos 2β,3sin 2β),则a·b的取值范围是　　　　　.?
解析:由已知得|a|=1,|b|=3,而由|α·β|≤|α||β|可知|a·b|≤|a||b|=3,所以-3≤a·b≤3,即a·b的取值范围是[-3,3].
答案:[-3,3]2.一般形式的柯西不等式名师点拨 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式的结构形式.【做一做3】 若a,b,c,x,y,z∈R,且a2+b2+c2=4,x2+y2+z2=9,则ax+by+cz的取值范围是　　　　　.?
解析:由三维形式的柯西不等式可得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,即(ax+by+cz)2≤4×9=36,所以-6≤ax+by+cz≤6.
答案:[-6,6]答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 探究一探究二思维辨析分析根据柯西不等式的结构,可将欲证不等式右边添乘cos2θ+sin2θ,以符合柯西不等式的形式,再进行论证和推理.探究一探究二思维辨析反思感悟 利用柯西不等式证明不等式时,有时需要将数学表达式进行适当变形,常见的变形技巧有下面几种:
(1)结构的巧变
(2)常数的巧拆
在运用柯西不等式时,根据题中的数字特征,对常数进行巧拆是一种常用技巧.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析反思感悟 利用柯西不等式向量形式解决问题的技巧与方法
利用二维形式柯西不等式的代数形式解决问题时常需要构造两列数,同样,向量形式的柯西不等式需要构造两个向量,通常我们使构造的向量满足待证不等式一侧的形式,再证另一侧.同时要注意向量模的计算公式探究一探究二思维辨析变式训练2已知a,b∈R+,且a+b=1.
求证:(ax+by)2≤ax2+by2.探究一探究二思维辨析分析根据柯西不等式的形式给式子进行变形,注意等价性. 探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析反思感悟 利用柯西不等式求最值的关键是根据已知条件,构造符合柯西不等式的形式及特点,然后利用柯西不等式求解最值,构造符合柯西不等式的形式时,可以有以下几种方法:
(1)巧乘常数;(2)添项;(3)改变式子的结构;(4)重新安排各项的次序等.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析纠错心得 柯西不等式在求二元代数式的最值中具有重要的应用,解题中,一是要熟记柯西不等式的基本形式及其各种变式,二是要注意不等式中等号成立的条件,这是能否取得相应最值的关键,如果公式记忆不准确,忽视等号成立的条件,就容易导致错误.探究一探究二思维辨析答案:3 12345答案:D 12345答案:C 123453.已知a,b,x1,x2∈(0,+∞),则使不等式(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2成立的一个条件是(　　)
A.a+b=1 B.a2+b2=1
答案:A123454.已知x+y=1,则2x2+3y2的最小值是　　　　　.? 12345