高中数学北师大版选修4-5课件：2.2 排序不等式 :20张PPT

课件20张PPT。§2　排序不等式1.定理1
设a,b和c,d都是实数,如果a≥b,c≥d,那么ac+bd≥ad+bc,此式当且仅当a=b(或c=d)时取“=”号.
2.定理2
(1)顺序和、乱序和、逆序和:
设实数a1,a2,a3,b1,b2,b3满足a1≥a2≥a3,b1≥b2≥b3,则a1b1+a2b2+a3b3≥
≥a1b3+a2b2+a3b1,其中j1,j2,j3是1,2,3的任一排列方式.上式当且仅当a1=a2=a3(或b1=b2=b3)时取“=”号.
通常称a1b1+a2b2+a3b3为顺序和, 为乱序和,
a1b3+a2b2+a3b1为逆序和(倒序和).(2)定理2(排序不等式):
设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn,则(顺序和)a1b1+a2b2+…+anbn≥(乱序和) ≥(逆序和)a1bn+a2bn-1+…+anb1.
其中j1,j2,…,jn是1,2,…,n的任一排列方式.上式当且仅当a1=a2=…=an(或b1=b2=…=bn)时取“=”号.
名师点拨 1.排序不等式中能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式:顺序和、逆序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与逆”,而乱序和则是不按“常规”的顺序.
2.排序不等式中取等号的条件是a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn,对于我们解决某些问题是非常关键的,它是命题成立的一种条件,所以要牢记.【做一做】 已知两组数1,2,3和25,30,45,若c1,c2,c3是25,30,45的一个排列,则c1+2c2+3c3的最大值是　　　　　,最小值是　　　　　.?
解析:c1+2c2+3c3的最大值应该是顺序和1×25+2×30+3×45=220,最小值则为反序和1×45+2×30+3×25=180.
答案:220　180思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)对于给定的两组数,顺序和、逆序和与乱序和都是唯一的.(　　)
(2)对于任意给定的两组数,逆序和不大于顺序和.(　　)
(3)设a1,a2,a3是1,2,3的任一排列方式,则a1+2a2+3a3的最大值是14.(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)×探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析反思感悟 当所证不等式中涉及的变量已经给出大小关系时,可以根据欲证不等式各部分的结构特点,构造数组,从而可以将欲证不等式中的各部分视作是给定数组的顺序和、逆序和或乱序和,从而借助排序不等式证得结论.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析分析利用排序不等式求解该式的最小值关键是找出两组有序数组,然后根据逆序和≤乱序和≤顺序和求解最小值.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析反思感悟 利用排序不等式求最值的方法
利用排序不等式求最值时,先要对待证不等式及已知条件仔细分析,观察不等式的结构,明确两个数组的大小顺序,分清顺序和、乱序和及逆序和,由于乱序和是不确定的,根据需要写出其中的一个即可.另外,最值一般是顺序和或逆序和.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析因忽视等号成立的条件而致误
【典例】已知a1,a2,a3,b1,b2,b3∈[1,2],且a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,试求式子a1b1+a2b2+a3b3的取值范围.
错解不妨设1≤a1≤a2≤a3≤2,c1,c2,c3为b1,b2,b3的一个排列,且1≤c1≤c2≤c3≤2,则a1c3+a2c2+a3c1≤a1b1+a2b2+a3b3≤a1c1+a2c2+a3c3,∴3≤a1b1+a2b2+a3b3≤12,∴a1b1+a2b2+a3b3的取值范围为[3,12].
正解设1≤a1≤a2≤a3≤2,c1,c2,c3为b1,b2,b3的一个排列,且1≤c1≤c2≤c3≤2,则a1c3+a2c2+a3c1≤a1b1+a2b2+a3b3≤a1c1+a2c2+a3c3,∴3≤a1b1+a2b2+a3b3≤12.
∵a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,∴不等式中的等号不成立,∴a1b1+a2b2+a3b3的取值范围为(3,12).探究一探究二思维辨析纠错心得 1.本题由于a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3也不全相等,因此排序不等式中的等号不成立.
2.牢记排序不等式中取等号的条件是a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn.探究一探究二思维辨析A.1 B.n
C.n2 D.无法确定 答案:B 12341.已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5,b1≤b2≤b3≤b4≤b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将bi(i=1,2,3,4,5)重新排列后记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+a3c3+a4c4+a5c5的最大值与最小值分别为(　　)
A.132,6 B.304,212
C.22,6 D.21,36
解析:顺序和最大,所以最大值为a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304,反序和最小,故最小值为a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=212.
答案:B12342.已知a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是 (　　)
A.M≥N B.M>N
C.M≤N D.M解析:取两组数a,a+1,a+2与a2,(a+1)2,(a+2)2,显然a3+(a+1)3+(a+2)3是顺序和.而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知,此题中“顺序和”大于“乱序和”.
答案:B12343.某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品4件、5件及2件,现选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品,则最少和最多花的钱数为(　　)
A.19元,24元 B.20元,19元
C.19元,25元 D.25元,27元
解析:由排序不等式可知,最少为2×3+4×2+5×1=19元,最多为2×1+4×2+5×3=25元.
答案:C12344.若a≥b>0,则a3+b3与a2b+ab2的大小关系是　　　　　　　　　　　　.?
解析:因为a≥b>0,所以a2≥b2>0,于是顺序和为a·a2+b·b2=a3+b3,逆序和为a2b+ab2,由排序不等式可得a3+b3≥a2b+ab2.
答案:a3+b3≥a2b+ab2