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《14.2.2完全平方公式》导学案
课题 完全平方公式 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 1.完全平方公式的推导及其应用；2.完全平方公式的几何解释；3.视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．
重点难点 重点：完全平方公式的推导过程、结构特点 难点：完全平方公式的几何解释以及灵活应用
教学过程
情景导入 情景：买买是一位老人，他非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，他都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，他就给孩子一块糖；来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖… （1）第一天有a个男孩去了老人家，他一共给了这些孩子_____ 块糖； （2）第二天有b个女孩去了老人家，他一共给了这些孩子_____ 块糖； （3）第三天这（a+b）个孩子一起去了他家，他一共给了这些孩子_________块糖． 这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数相比哪个多，哪个少？为什么？
合作探究 完全平方公式问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a?a，那么(a+b)2 应该写成什么样的形式呢？(a+b)2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）(p+1)2 = (p+1)(p+1) = _______；?? (m+2)2 = _______； （2）(p?1)2 = (p?1)(p?1) = _______；?? (m?2)2 = _______； 推广：计算(a+b)2 = __________；(a?b)2 = __________.? 得到公式，分析公式 完全平方公式：??? (a+b)2=__________??????(a?b)2=_________即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．几何分析 你能根据图(1)和图(2)的面积说明完全平方公式吗？ 例1．应用完全平方公式计算： (1)( 4m+n)2??? (2)(y?)2 ?? 例2．运用完全平方公式计算： (1)1022??? (2)992 例3.已知x＋y＝5，xy＝4，求下列各式的值： (1)(x＋y)2 (2)x2＋y2 (3)x－y 添括号 a+(b+c) = ______________，a?(b+c) = ____________ 反过来，就得到了添括号法则：a+b+c = a+(_______)，a?b?c = a?(_______) 例4.运用乘法公式计算: (1)(x+2y-3) (x-2y+3) (2)(a + b +c ) 2
自主尝试 1.如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为( )A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab 2.下列各式中，与(a－1)2相等的是( )A．a2－1 B．a2－2a＋1 C．a2－2a－1 D．a2＋2a＋1 3.直接运用公式计算： (1)(3＋5p)2; (2)(7x－2)2； (3)(－2a－5)2; (4)(－2x＋3y)2.4.若(y＋a)2＝y2－6y＋b，则a、b的值分别为( )A．a＝3，b＝9 B．a＝－3，b＝－9 C．a＝3，b＝－9 D．a＝－3，b＝9 5.若(x＋y)2＝9，(x－y)2＝5，则xy的值为( )A．－1 B．1 C．－4 D．4 6.若m＝2n＋3，则m2－4mn＋4n2的值是________．7.若(x－1)2＝2，则代数式x2－2x＋5的值为________． 8.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64， 运用这一方法计算：4．321 02＋8.642×0.679 0＋0.679 02＝________．
当堂检测 1.为了应用平方差公式计算(a－b＋c)(a＋b－c)，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是( )A．[(a＋c)－b][(a－c)＋b] B．[(a－b)＋c][(a＋b)－c] C．[(b＋c)－a][(b－c)＋a] D．[a－(b－c)][a＋(b－c)] 2.运用乘法公式计算： (1)(3a＋b－2)(3a－b＋2) (2)(a＋b－c)2 3．用简便方法计算 (1)2002－400×199＋1992； (2)2012 4.已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝16，求xy的值． 5.已知(m－53)(m－47)＝24，求(m－53)2＋(m－47)2的值． 6.如果a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．
小结反思 本节课你有什么收获？有什么疑惑？
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《14.2.2完全平方公式》导学案
课题 完全平方公式 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 1.完全平方公式的推导及其应用；2.完全平方公式的几何解释；3.视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．
重点难点 重点：完全平方公式的推导过程、结构特点 难点：完全平方公式的几何解释以及灵活应用
教学过程
情景导入 情景：买买是一位老人，他非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，他都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，他就给孩子一块糖；来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖… （1）第一天有a个男孩去了老人家，他一共给了这些孩子_____ 块糖； （2）第二天有b个女孩去了老人家，他一共给了这些孩子_____ 块糖； （3）第三天这（a+b）个孩子一起去了他家，他一共给了这些孩子_________块糖． 这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数相比哪个多，哪个少？为什么？ 学生完成最后一个问，提出问题即比较（a+b）2 与 a2+b2，那么虽多谁少，还是一样多？让学生质疑问题，然后提出课题内容，完全平方公式！
合作探究 完全平方公式问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a?a，那么(a+b)2 应该写成什么样的形式呢？(a+b)2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）(p+1)2 = (p+1)(p+1) = _______；?? (m+2)2 = _______； （2）(p?1)2 = (p?1)(p?1) = _______；?? (m?2)2 = _______； 学生讨论，教师归纳，得出结果： (1) (p+1)2 = (p+1)(p+1) = p2+2p+1 ?? (m+2)2 = (m+2)(m+2) = m2+ 4m+4 (2) (p?1)2 = (p?1)(p?1) = p2?2p+1 ?? (m?2)2 = (m?2)(m?2) = m2? 4m+4 分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2?p?1，4m=2?m?2，恰好是两个数乘积的二倍(1)(2)之间只差一个符号． 推广：计算(a+b)2 = __________；(a?b)2 = __________.? 得到公式，分析公式 结论：???? (a+b)2=a2+2ab+b2 ??????(a?b)2=a2?2ab+b2??? 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．几何分析 你能根据图(1)和图(2)的面积说明完全平方公式吗？ 图(1)大正方形的边长为(a+b)，面积就是(a+b)2，同时，大正方形可以分成图中①②③④四个部分，它们分别的面积为a2、ab、ab、b2，因此，整个面积为a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2，即说明(a+b)2 = a2+2ab+b2. 类似地可由图(2)说明(a?b)2 = a2?2ab+b2. 例1．应用完全平方公式计算： (1)( 4m+n)2??? (2)(y?)2 ?? 解答：(1)( 4m+n)2 = 16m2+8mn+n2 (2) (y?)2 = y2?y+ 利用完全平方公式计算注意:1、先选择公式;2、准确代入公式;3、化简.例2．运用完全平方公式计算： (1)1022??? (2)992 解答：(1)1022 = (100+2)2 = 10000+400+4 = 10404 (2)992 = (100?1)2 = 10000?200+1 = 9801温馨提示：关键是把已知数的底数拆成两数和或两数差的平方的形式。 例3.已知x＋y＝5，xy＝4，求下列各式的值： (1)(x＋y)2 (2)x2＋y2 (3)x－y 解：(1)(x＋y)2＝52＝25 (2)x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝25－2×4＝17 方法总结：本课时要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy (x－y)2＝(x+y)2－4xy.添括号 问题：在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式看作另外一个整体，例如：(a+b+c)(a?b+c)和(a+b+c)2，这就需要在式子里添加括号；那么如何加括号呢？它有什么法则呢？它与去括号有何关系呢？ 学生回顾去括号法则，在去括号时：a+(b+c) = a+b+c，a?(b+c) = a?b?c 反过来，就得到了添括号法则：a+b+c = a+(b+c)，a?b?c = a?(b+c) 理解法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也是：遇“加”不变，遇“减”都变． 总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．例4.运用乘法公式计算: (1)(x+2y-3) (x-2y+3) 解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) = [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.方法总结：选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组” (2)(a + b +c ) 2 解：原式= [ (a+b) +c ]2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
自主尝试 1.如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为( )DA．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab 2.下列各式中，与(a－1)2相等的是( )BA．a2－1 B．a2－2a＋1 C．a2－2a－1 D．a2＋2a＋1 3.直接运用公式计算： (1)(3＋5p)2; (2)(7x－2)2； (3)(－2a－5)2; (4)(－2x＋3y)2.答案：（1）解：原式＝9＋30p＋25p2 （2）解：原式＝49x2－28x＋4 （3）解：原式＝4a2＋20a＋25 （4）解：原式＝4x2－12xy＋9y2 4.若(y＋a)2＝y2－6y＋b，则a、b的值分别为( )DA．a＝3，b＝9 B．a＝－3，b＝－9 C．a＝3，b＝－9 D．a＝－3，b＝9 5.若(x＋y)2＝9，(x－y)2＝5，则xy的值为( )BA．－1 B．1 C．－4 D．4 6.若m＝2n＋3，则m2－4mn＋4n2的值是________．答案：97.若(x－1)2＝2，则代数式x2－2x＋5的值为________．答案：6 8.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64， 运用这一方法计算：4．321 02＋8.642×0.679 0＋0.679 02＝________．答案：25
当堂检测 1.为了应用平方差公式计算(a－b＋c)(a＋b－c)，必须先适当变形， 下列各变形中，正确的是( )DA．[(a＋c)－b][(a－c)＋b] B．[(a－b)＋c][(a＋b)－c] C．[(b＋c)－a][(b－c)＋a] D．[a－(b－c)][a＋(b－c)] 2.运用乘法公式计算： (1)(3a＋b－2)(3a－b＋2) (2)(a＋b－c)2 解：原式＝9a2－b2＋4b－4 解：原式 ＝a2＋2ab－2ac＋b2－2bc＋c2 3．用简便方法计算 (1)2002－400×199＋1992； 解：原式＝（200-199）2＝1 (2)2012 解：原式＝（200+1）2＝2002+2×200×1+1＝40401 4.已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝16，求xy的值． 5.已知(m－53)(m－47)＝24，求(m－53)2＋(m－47)2的值． 6.如果a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．
小结反思 1．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍． 2．添括号法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算，灵活运用公式进行运算.
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(共26张PPT)
14.2.2完全平方公式
人教版 八年级上
新知导入
情景：买买是一位老人，他非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，他都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，他就给孩子一块糖；来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖…
（1）第一天有a个男孩去了老人家，他一共给了这些孩子_____ 块糖；
（2）第二天有b个女孩去了老人家，他一共给了这些孩子_____ 块糖；
（3）第三天这（a+b）个孩子一起去了他家，他一共给了这些孩子_________块糖．
这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到
的糖果总数相比哪个多，哪个少？为什么？
a 2
b 2
（a+b） 2
即比较（a+b）2 与 a2+b2
新知讲解
问题1、计算下列各式,你能发现什么规律?
(p+1)2 =(p+1)(p+1) = _ ________;
(m+2)2= _____ ____;
(p-1)2 = (p-1)(p-1)=______ __;
(m-2)2 = ______ ____.
完全平方公式
p2+2p+1
m2+4m+4
p2-2p+1
m2-4m+4
问题2、根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
新知讲解
完全平方公式:
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
文字叙述：
公式的特点：
1.积为二次三项式；
2.其中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同.
前平方，后平方，积的2倍在中央，积的符号看前方
新知讲解
b
b
a
a
ab
ab
a2
b2
（a+b）2=a2+2ab+b2
整个图形为边长为（a+b）的正方形，面积为__________
正方形可以看作由两个小正方形和两个小长方形组成，由面积和计算得：______________
你能用图形的面积说明完全平方和公式吗？
a2+2ab+b2
（a+b）2
新知讲解
(a-b)?
b?
完全平方差公式：
你能用图形的面积说明完全平方差公式吗？
新知讲解
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2；
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2
(4m)2
+2?(4m) ?n
+n2
+8mn
+n2；
新知讲解
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2
y2
解： =
2、准确代入公式;
利用完全平方公式计算注意:
1、先选择公式;
3、化简.
巩固练习
1.如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个正方形，
则可得出一个等式为( )
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
D
2.下列各式中，与(a－1)2相等的是( )
A．a2－1 B．a2－2a＋1
C．a2－2a－1 D．a2＋2a＋1
B
巩固练习
3.直接运用公式计算：
(1)(3＋5p)2; (2)(7x－2)2；
(3)(－2a－5)2; (4)(－2x＋3y)2.
解：原式＝9＋30p＋25p2
解：原式＝49x2－28x＋4
解：原式＝4a2＋20a＋25
解：原式＝4x2－12xy＋9y2
例题讲解
例2、运用完全平方公式计算:
(1)1022 (2)992 .
温馨提示：关键是把已知数的底数拆成两数和或两数差的平方的形式。
例题讲解
例3、已知x＋y＝5，xy＝4，求下列各式的值：
(1)(x＋y)2 (2)x2＋y2 (3)x－y
解：(1)(x＋y)2＝52＝25
(2)x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝25－2×4＝17
方法总结：本课时要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy (x－y)2＝(x+y)2－4xy.
巩固练习
4.若(y＋a)2＝y2－6y＋b，则a、b的值分别为( )
A．a＝3，b＝9 B．a＝－3，b＝－9
C．a＝3，b＝－9 D．a＝－3，b＝9
5.若(x＋y)2＝9，(x－y)2＝5，则xy的值为( )
A．－1 B．1 C．－4 D．4
6.若m＝2n＋3，则m2－4mn＋4n2的值是________．
7.若(x－1)2＝2，则代数式x2－2x＋5的值为________．
8.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，
运用这一方法计算：4．321 02＋8.642×0.679 0＋0.679 02＝________．
D
B
9
6
25
新知讲解
添括号法则
a+b-c
去括号
（1）a+(b-c)= ;
（2）a-(-b+c)= ;
a+b-c
（3）a+(-b-c)= ;
a-b-c
（4）a-(b-c)= ;
a-b+c
将上述式子反过来，我们就得到了添括号法则。
新知讲解
a+b-c=a+(b-c)
a+b-c=a-(-b+c)
添上“+（ ）”，括号里的各项都不变符号
添上“-（ ）”，括号里的各项都改变符号
新知讲解
添括号其实就是把去括号反过来，
添括号法则是：
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号（简记为“遇“加”不变，遇“减”都变”）.
添括号法则:
新知讲解
例4、运用乘法公式计算:
(1)(x+2y-3) (x-2y+3)
解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3)
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ]
= x2- (2y- 3)2
= x2- ( 4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
有些整式相乘需要先适当变形，然后再用公式。
方法总结：选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”
新知讲解
(2)(a + b +c ) 2
(a + b +c ) 2
= [ (a+b) +c ]2
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
= a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
方法总结：
要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
1.为了应用平方差公式计算(a－b＋c)(a＋b－c)，必须先适当变形，
下列各变形中，正确的是( )
A．[(a＋c)－b][(a－c)＋b] B．[(a－b)＋c][(a＋b)－c]
C．[(b＋c)－a][(b－c)＋a] D．[a－(b－c)][a＋(b－c)]
拓展提高
2.运用乘法公式计算：
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2) (2)(a＋b－c)2
D
解：原式＝9a2－b2＋4b－4
解：原式
＝a2＋2ab－2ac＋b2－2bc＋c2
拓展提高
3．用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992；
解：原式＝（200-199）2
＝1
(2)2012
解：原式＝（200+1）2
＝2002+2×200×1+1
＝40 401
拓展提高
4.已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝16，求xy的值．
5.已知(m－53)(m－47)＝24，求(m－53)2＋(m－47)2的值．
拓展提高
6.如果a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．
课堂总结
1、完全平方公式:
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
2、添括号法则：负变正不变
3、注意：
①项数、符号、字母及其指数
②不能直接应用公式进行计算的式子，需要添括号变形成符合公式才行
③弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）
作业布置
教材112页练习3、4题
谢谢
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