2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1.1指数与指数幂的运算第1课时根式教案新人教A版必修1

第1课时　根式
[目标] 1.理解n次方根及根式的概念；2.能正确运用根式运算性质进行运算变换．
[重点] 利用根式的运算性质对式子进行化简．
[难点] 有条件或复杂根式的化简求值问题.
知识点一　a的n次方根和根式
[填一填]
1．a的n次方根
(1)定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)表示：
2.根式
式子叫做根式，其中根指数是n，被开方数是a.
[答一答]
1.是根式吗？根式一定是无理式吗？
提示：是根式．根式不一定是无理式．如是根式，但不是无理式，因为＝2是有理数．
2．对“根式记号”应关注什么？
提示：当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为(a∈R)；当n为大于1的偶数时，(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－，从而(±)n＝a.
知识点二　　根式的性质
[填一填]
(1)＝0(n∈N*，且n>1)；
(2)()n＝a(n∈N*，且n>1)；
(3)＝a(n为大于1的奇数)；
[答一答]
3．如何确定根式的符号？
提示：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定；①当n为偶数时，a≥0，为非负实数；②当n为奇数时，的符号与a的符号一致，a>0时，>0；a＝0时，＝0；a<0时，<0.
4.和()n二者之间形式相似，有何区别，它们分别等于什么？
提示：(1)()n是实数a的n次方根的n次幂．若n为奇数，存在唯一的x∈R，使x＝，满足xn＝a，即()n＝a；
若n为偶数，只有a≥0时，才有意义，在实数范围内使xn＝a成立的x有两个：(±)n＝a；而当a<0时，无意义．
(2)是实数an的n次方根，当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|.
综上可知，①当n为奇数，a∈R时，有＝()n＝a；
②当n为偶数，a≥0时，有＝()n＝a.
类型一　　根式的概念问题
[例1]　(1)16的平方根为________，－27的5次方根为________．
(2)已知x7＝6，则x＝________.
(3)若有意义，则实数x的取值范围是________．
[答案]　(1)±4　
(2)　(3)[2, ＋∞)
[解析]　(1)∵(±4)2＝16，
∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.
(2)∵x7＝6，∴x＝.
(3)要使有意义，
则需x－2≥0，即x≥2.
因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．
[变式训练1]　有下列说法：
①＝3；
②16的4次方根是±2；
③＝±3；
④＝|x＋y|.
其中正确的有②④(填上正确说法的序号)．
解析：当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故＝－3，所以①错误；16的4次方根有两个，为±2，②正确；＝3，所以③错误；是正数，所以＝|x＋y|，④正确．故填②④.
类型二　　根式的化简与运算
[例2]　求下列各式的值：
(1)－－；
(2)＋；
(3)()5＋()6(b>a)．
[分析]　利用根式的性质化简各个根式，再进行运算．
[解]　(1)原式＝－－
＝－－＝.
(2)原式＝－8＋|3－π|＝－8＋π－3＝π－11.
(3)原式＝(a－b)＋|b－a|＝a－b＋b－a＝0.
[变式训练2]　(1)化简＋的结果是(　C　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2a－1
C．1或2a－1 D．0
解析：＋＝a＋|1－a|
＝
(2)若＝3a－1，求a的取值范围．
解：因为＝
＝|3a－1|＝3a－1，
所以3a－1≥0，所以a≥.
所以a的取值范围为.
类型三　　有限制条件的根式化简
[例3]　若代数式＋有意义，化简
＋2.
[分析]　先借助代数式有意义确定出x的取值范围，再进行根式的化简．
[解]　∵代数式＋有意义，
∴∴≤x≤2.
∴＋2
＝＋2
＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)
＝2x－1＋4－2x＝3.
进行根式的化简时，我们经常忘记条件，根式有意义常忘记被开方数为0的情况，做题时应引起高度注意．
[变式训练3]　设－3解：原式＝－
＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
1．下列各式正确的是(　A　)
A．()3＝a　　　　　　　 B．()4＝－7
C．()5＝|a| D.＝a
2．已知xy≠0，且＝－2xy，则有(　A　)
A．xy<0 B．xy>0
C．x>0，y>0 D．x<0，y<0
解析：＝＝|2xy|＝－2xy，∴2xy<0，∴xy<0.
3．已知x<1，化简＝.
解析：∵x<1，∴原式＝||＝＝.
4．若5解析：∵50，a－8<0.
∴原式＝|a－5|＋|a－8|＝(a－5)＋(8－a)＝3.
5．已知a1，n∈N*，化简＋.
解：∵a当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|
＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.
∴＋＝
——本课须掌握的三大问题
1．在实数范围内，一个正数的奇次方根是一个正数；一个负数的奇次方根是一个负数．
2．在实数范围内，一个正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；一个负数没有偶次方根．
3．0的任何次方根都是0.