2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1.2指数函数及其性质第2课时指数函数性质的应用教案新人教A版必修1

第2课时　指数函数性质的应用
[目标] 1.会利用指数函数的单调性比较两个幂的大小；2.会利用指数函数的单调性解简单的指数不等式；3.会利用指数函数的单调性求指数型函数的值域．
[重点] 指数函数单调性的应用．
[难点] 求指数型函数的值域．
知识点一　比较幂的大小
[填一填]
比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的两个幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
[答一答]
1．af(x)与()g(x)(a>0，且a≠1)如何比较大小？
提示：化为同底的幂值，比如可将()g(x)化为a－g(x)．
知识点二　指数函数型复合函数
[填一填]
指数函数与其他函数复合后形成复合函数，如y＝af(x)和y＝f(ax)(a>0，且a≠1)．通过对这些复合函数性质的研究，搞清指数函数与其他函数之间的联系，明确复合函数的性质与指数函数的性质的区别与联系．
形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断，常用复合函数法．利用复合函数的单调性：当a>1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0[答一答]
2．讨论函数y＝－x2＋2x的单调性．
提示：此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此也可根据复合函数的单调性对其进行讨论．
函数y＝－x2＋2x的定义域为R，
令u＝－x2＋2x，则y＝u.列表如下：
由表可知，原函数在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.
类型一　　利用指数函数的单调性比较大小
[例1]　比较下列各组数的大小：
(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－与0.70.3；(3)0.7－1与0.6.
[分析]　底数相同的幂依据指数函数的单调性比较；底数不同且指数也不同的，可借助中间值比较．
[解]　(1)∵指数函数y＝1.9x在R上是增函数，
且－π<－3，∴1.9－π<1.9－3.
(2)∵指数函数y＝0.7x在R上是减函数，且2－≈0.268<0.3，∴0.72－>0.70.3.
(3)∵指数函数y＝0.7x在R上单调递减，且－1<0，
∴0.7－1>0.70＝1.
∵指数函数y＝0.6x在R上单调递减，且>0，
∴0.6<0.60＝1.∴0.7－1>0.6.
对于幂的大小比较，一般规律为：
(1(同底数幂的大小比较：构造指数函数，利用单调性比较大小.
(2(既不同底数，又不同指数的幂的大小比较：利用中间量法，常借助中间量0或1进行比较.
[变式训练1]　比较下列各题中两个值的大小：
(1)－1.8，－2.5；
(2)－0.5，－0.5；
(3)0.20.3,0.30.2.
解：(1)因为0<<1，
所以函数y＝x在其定义域R上单调递减，
又－1.8>－2.5，所以－1.8<－2.5.
(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝x与y＝x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得－0.5>－0.5.
(3)因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.
又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2.
类型二　　解简单的指数不等式
[例2]　(1)解不等式2x－1≤2；
(2)若a－3x>ax＋4(a>0且a≠1)．求x的取值范围．
[解]　(1)2x－1＝(2－1)2x－1＝21－2x.
因此原不等式等价于21－2x≤21，
又y＝2x是R上的增函数，所以1－2x≤1.所以x≥0.
因此原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)①当0由y＝ax在R上单调递减得－3x解得x>－1.
②当a>1时，由y＝ax在R上单调递增得－3x>x＋4，
即－4x>4.解得x<－1.
综上，当0当a>1时，x的取值范围为(－∞，－1)．
解与指数有关的不等式时，需注意的问题：
(1(形如ax>ay的不等式，借助y＝ax(a>0，且a≠1(的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2(形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax(a>0，且a≠1(的单调性求解；
(3(形如ax>bx的形式，利用图象求解.
[变式训练2]　根据下列条件，确定实数x的取值范围．
(1)0.23x－1>；(2)<1－4x(a>0且a≠1)．
解：(1)原不等式可化为51－3x>5－2.
∵函数y＝5x在R上是增函数，
∴1－3x>－2，即x<1.
故满足条件的实数x的取值范围是(－∞，1)．
(2)原不等式可化为a4x－1>a.
∵函数y＝ax(a>0且a≠1)，
当a>1时，y是增函数，当0故当a>1时，由4x－1>知x>；
当0综上可知，当a>1时，x的取值范围是，当0类型三　　指数函数的单调区间
[例3]　判断f(x)＝()x2－2x的单调性，并求其值域．
[分析]　先利用复合函数单调性判断f(x)的单调性，再利用单调性求值域．
[解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝()u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
又∵y＝()u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝()x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝()u，u∈[－1，＋∞)，
∵0<()u≤()－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．
1.关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是02．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性．
[变式训练3]　求函数y＝2的单调区间．
解：∵－x2＋2x＋3≥0，x2－2x－3≤0，∴－1≤x≤3.∴函数的定义域为[－1,3]，函数u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其图象的对称轴为直线x＝1.
∴u＝－x2＋2x＋3在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，
∴函数y＝2在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，
∴函数y＝2的单调增区间是[－1,1]，减区间是[1,3]．
1．函数y＝1－x的单调递增区间为(　A　)
A．(－∞，＋∞)　　 B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：函数定义域为R，设u＝1－x，y＝u.
∵u＝1－x在R上为减函数，
又∵y＝u在(－∞，＋∞)为减函数，
∴y＝1－x在(－∞，＋∞)是增函数，∴选A.
2．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是(　B　)
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
解析：原式等价于2a＋1>3－2a，解得a>.
3．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　D　)
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
解析：40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，
根据y＝2x在R上是增函数，所以21.8>21.5>21.44，
即y1>y3>y2，故选D.
4．某种细菌在培养过程中，每20 min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成512个．
解析：3 h＝9×20 min，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个．
5．已知函数y＝x2－6x＋17.
(1)求此函数的定义域，值域．
(2)确定函数的单调区间．
解：(1)定义域为R，值域为.
(2)函数的单调递增区间为(－∞，3]，单调递减区间为[3，＋∞)．
——本课须掌握的两大问题
1．比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．指数函数单调性的应用
(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(2)形如ax>ay的不等式，当a>1时，ax>ay?x>y；当0ay?x学习至此，请完成课时作业17

二次函数与指数函数的综合问题探究
开讲啦二次函数与指数函数的综合问题是常见题，对于这类问题，本质上考查的还是闭区间上的二次函数的最值问题．在处理方式上可以利用换元法将指数函数换成t＝ax的形式，再利用定义域和y＝ax的单调性求出t的范围，此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了．
[典例]　求函数y＝()x－3×()x＋2，x∈[－2，2]的值域．
[解]　y＝()x－3×()x＋2
＝()2x－3×()x＋2，
令t＝()x，则y＝t2－3t＋2＝(t－)2－.
∵x∈[－2,2]，∴≤t＝()x≤4，
当t＝时，ymin＝－；当t＝4时，ymax＝6.
∴函数y＝()x－3×()x＋2，x∈[－2,2]的值域是[－，6]．
[名师点评]　指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)，利用换元法解题时，要注意新元的取值范围，即换元要换限，否则极易出错．
[对应训练]　求函数y＝x＋x＋1的值域．
解：令t＝x，则t>0，
y＝f(t)＝t2＋t＋1＝2＋，
因为函数f(t)＝2＋在(0，＋∞)上为增函数，
所以y∈(1，＋∞)，即函数的值域为(1，＋∞)．