2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.1对数与对数运算第1课时对数教案新人教A版必修1

第1课时　对数
[目标] 1.记住对数的定义，会进行指数式与对数式的互化；2.记住对数的性质，会利用对数的性质解答问题．
[重点] 对数的概念及对数的性质．
[难点] 对数概念的理解及对数性质的应用.
知识点一　　对数的概念
[填一填]
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
对数与指数间的关系：
当a>0，a≠1时，ax＝N?x＝logaN.
2．两种重要对数
(1)常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN.
(2)自然对数：以无理数e(e＝2.718_28…)为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.
[答一答]
1．在对数概念中，为什么规定a>0且a≠1呢？
提示：(1)若a<0，则N取某些数值时，logaN不存在，为此规定a不能小于0.
(2)若a＝0，则当N≠0时，logaN不存在，当N＝0时，则logaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠0.
(3)若a＝1，当N≠1时，则logaN不存在，当N＝1时，则logaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠1.
2．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(　×　)
(2)对数式log32与log23的意义一样．(　×　)
(3)对数的运算实质是求幂指数．(　√　)
(4)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．(　×　)
知识点二　　对数的基本性质
[填一填]
1．对数的性质
(1)负数和零没有对数；
(2)loga1＝0(a>0，且a≠1)；
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
2．对数恒等式
aloga N＝N.
[答一答]
3．为什么零与负数没有对数？
提示：因为x＝logaN(a>0，且a≠1)?ax＝N(a>0，且a≠1)，而a>0且a≠1时，ax恒大于0，即N>0，故0和负数没有对数．
4．你知道式子aloga N＝N(a>0，a≠1，N>0)为什么成立吗？
提示：此式称为对数恒等式．设ab＝N，则b＝logaN，
∴ab＝aloga N＝N.
类型一　　对数的意义
[例1]　求下列各式中的实数x的取值范围：
(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)．
[分析]　根据对数的定义列出不等式(组)求解．
[解]　(1)由题意有x－10>0，∴x>10，
∴实数x的取值范围是{x|x>10}．
(2)由题意有即
∴x>1，且x≠2.
∴实数x的取值范围是{x|x>1，且x≠2}．
求形如logf(x(g(x(的式子有意义的x的取值范围，可利用对数的定义，即满足进而求得x的取值范围.
[变式训练1]　求下列各式中实数x的取值范围：
(1)log(2x－1)(3x＋2)；
(2)log(x2＋1)(－3x＋8)．
解：(1)因为真数大于0，底数大于0且不等于1，所以解得x>，且x≠1.
即实数x的取值范围是{x|x>，且x≠1}．
(2)因为底数x2＋1≠1，所以x≠0.
又因为－3x＋8>0，所以x<.
综上可知，x<，且x≠0.
即实数x的取值范围是{x|x<，且x≠0}．
类型二　　利用对数式与指数式的关系求值
[例2]　求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；
(3)lne2＝x；(4)logx27＝；
(5)lg0.01＝x.
[分析]　利用指数式与对数式之间的关系求解．
[解]　(1)∵4x＝5·3x，∴＝5，∴x＝5，
1.logaN＝x与ax＝N(a>0，且a≠1，N>0(是等价的，转化前后底数不变.
2.对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个.
[变式训练2]　求下列各式中x的值．
(1)log2x＝；(2)logx3＝3；
(3)x＝log5；(4)logx2＝4.
解：(1)由log2x＝，得x＝2＝＝2.
(2)由logx3＝3，得x3＝3＝()3，∴x＝.
(3)由x＝log5，得5x＝＝5－4，∴x＝－4.
(4)由logx2＝4，得x2＝()4＝4，∴x＝±2.
类型三　　对数基本性质的应用
[例3]　求下列各式中x的值：
[解]　(1)∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝1.
∴x＝21＝2.
对数的基本性质及对数恒等式是进行对数化简、求值的重要工具，要熟记并能灵活应用.
[变式训练3]　求下列各式中的x：
解：(1)∵ln(lgx)＝1，∴lgx＝e，
∴x＝10e.
(2)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5.
1．把对数式m＝lognq化为指数式是(　B　)
A．mn＝q　 B．nm＝q　 C．nq＝m　 D．qm＝n
解析：利用对数定义得nm＝q.
2．log3等于(　B　)
A．4 B．－4 C. D．－
解析：log3＝log33－4＝－4.
3．＝.
4．log5[log3(log2x)]＝0，则x＝.
解析：∵log5[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1.∴log2x＝3.∴x＝23.
5．把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式．
(1)5－2＝；(2)8x＝30；(3)3x＝1；(4)log9＝－2；
(5)x＝log610；(6)x＝ln；(7)3＝lgx.
解：(1)－2＝log5；(2)x＝log830；(3)x＝log31；(4)()－2＝9；(5)6x＝10；(6)ex＝；(7)103＝x.
——本课须掌握的三大问题
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)aloga N＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
3．指数式与对数式的互化