2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.1对数与对数运算第2课时对数的运算教案新人教A版必修1

第2课时　对数的运算
[目标] 1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用．
[重点] 对数的运算性质的推导与应用．
[难点] 对数的运算性质的推导和换底公式的应用.
知识点一　对数的运算性质
[填一填]
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0.那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
[答一答]
1．若M，N同号，则式子loga(M·N)＝logaM＋logaN成立吗？
提示：不一定，当M>0，N>0时成立，当M<0，N<0时不成立．
2．你能推导loga(MN)＝logaM＋logaN与loga＝logaM－logaN(M，N>0，a>0且a≠1)两个公式吗？
提示：①设M＝am，N＝an，
则MN＝am＋n.由对数的定义可得logaM＝m，logaN＝n，
loga(MN)＝m＋n.
这样，我们可得loga(MN)＝logaM＋logaN.
②同样地，设M＝am，N＝an，
则＝am－n.由对数定义可得logaM＝m，
logaN＝n，loga＝m－n，
即loga＝logaM－logaN.
知识点二　　换底公式
[填一填]
换底公式常见的推论：
(1)loganbn＝logab；
(2)logambn＝logab，特别logab＝；
(3)logab·logba＝1；
(4)logab·logbc·logcd＝logad.
[答一答]
3．换底公式的作用是什么？
提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数．
4．若log34·log48·log8m＝log416，求m的值．
提示：∵log34·log48·log8m＝log416，
∴··＝log442＝2，
化简得lgm＝2lg3＝lg9，∴m＝9.
类型一　　对数运算性质的应用
[例1]　计算下列各式：
(1)lg－lg＋lg；
(2)；
(3)lg25＋lg8＋lg5lg20＋(lg2)2.
[分析]　(1)(2)正用或逆用对数的运算性质化简；(3)用lg2＋lg5＝1化简．
[解]　(1)(方法1)原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.
(方法2)原式＝lg－lg4＋lg(7)＝lg
＝lg(×)＝lg＝.
(2)原式＝＝
＝＝1.
(3)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.
利用对数的运算性质解决问题的一般思路：(1(把复杂的真数化简；(2(正用公式：对式中真数的积、商、幂、方根，运用对数的运算法则，将它们化为对数的和、差、积、商，然后再化简；(3(逆用公式：对式中对数的和、差、积、商，运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.
[变式训练1]　(1)计算：log5＝；
log2(32×42)＝9.
(2)计算：lg8＋lg125＝3；lg－lg25＝－2；2log36－log34＝2.
类型二　　换底公式的应用
[例2]　(1)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)；
(2)已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.
[解]　(1)原式＝
＝＝·＝.
(2)由18b＝5，得log185＝b，∴log3645＝
＝＝＝
＝.
利用换底公式可以统一“底”，以方便运算.在用换底公式时，应根据题目特点灵活换底.由换底公式可推出常用结论：logab·logba＝1.
[变式训练2]　计算下列各式：
(1)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
(2)×log6432.
解：(1)方法1：原式
＝(log253＋＋)(log52＋＋)
＝
＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.
方法2：原式＝
＝
＝＝13.
(2)方法1：原式＝÷log23×＝÷log23×＝.
方法2：原式＝÷×＝××＝.
类型三　　与对数方程有关的问题
[例3]　(1)若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg2＋lgx＋lgy，求的值；
(2)解方程：log＋log2(x＋2)＝3.
[解]　(1)由题可知lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，
所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，
即x2－xy－2y2＝0.所以2－－2＝0.
解得＝2或＝－1.
又因为x>0，y>0，x－y>0.所以＝2.
(2)由方程可得log2x＋log2(x＋2)＝log28.
所以log2[x(x＋2)]＝log28，
即x(x＋2)＝8.解得x1＝2，x2＝－4.
因为x>0，x＋2>0，所以x＝2.
对数方程问题的求解策略：
利用对数运算性质或换底公式将方程两边写成同底的对数形式，由真数相等求解方程，转化过程中注意真数大于零这一条件，防止增根.
[变式训练3]　(1)方程lgx＋lg(x－1)＝1－lg5的根是(　B　)
A．－1　　 B．2
C．1或2 D．－1或2
(2)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则log的值为4.
解析：(1)由真数大于0，易得x>1，原式可化为lgx(x－1)＝lg2?x(x－1)＝2?x2－x－2＝0?x1＝2，x2＝－1(舍)．
(2)因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，
所以lgxy＝lg(x－2y)2，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.
所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.
因为x>0，y>0，x－2y>0，所以x＝y应舍去，
所以＝4.故log＝log4＝4.
类型四　　对数的实际应用
[例4]　人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音强度I的单位用瓦/平方米(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12 W/m2，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：
树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平．
[解]　由题意，可知树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12W/m2，则＝1，故LI1＝10·lg1＝0，则树叶沙沙声的强度水平为0分贝；
耳语的强度是I2＝1×10－10W/m2，则＝102，
故LI2＝10lg102＝20，即耳语声的强度水平为20分贝．
同理，恬静的无线电广播强度水平为40分贝．
对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式(，在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算.
[变式训练4]　抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg2≈0.301 0)
解：设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，则a(1－60%)n<0.1%a(设原先容器中的空气体积为a)，即0.4n<0.001，两边取常用对数得n·lg0.4所以n>＝≈7.5.
故至少需要抽8次．
1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　B　)
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
解析：由换底公式得logab·logca＝·＝logcb，所以B正确．
2．2log32－log3＋log38的值为(　B　)
A.　 B．2
C．3 D.
解析：原式＝log34－log3＋log38＝log3＝log39＝2.
3．lg＋lg的值是1.
解析：lg＋lg＝lg(×)＝lg＝1.
4．若a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，则由换底公式可知logab＝，logba＝，所以logab＝，试利用此结论计算＋＝1.
解析：＋＝＋＝＋
＝＝1.
5．计算：(1)3log72－log79＋2log7；
(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25.
解：(1)原式＝log78－log79＋log7＝log78－log79＋log79－log78＝0.
(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋2lg5＝lg2·lg100＋2lg5
＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.
——本课须掌握的两大问题
1．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N)．
2．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．