2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象与性质教案新人教A版必修1

第1课时　对数函数的图象与性质
[目标] 1.记住对数函数的定义、图象和性质；2.会利用对数函数的图象和性质解答有关问题；培养直观想象核心素养．
[重点] 对数函数的定义、图象和性质．
[难点] 对数函数性质的概括总结.
知识点一　　对数函数的概念
[填一填]
1．一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．
2．对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)，值域为R.
[答一答]
1．为什么在对数函数中要求a>0，且a≠1?
提示：根据对数式与指数式的关系知，y＝logax可化为ay＝x，联想指数函数中底数的范围，可知a>0，且a≠1.
2．下列函数是对数函数的是(　C　)
A．y＝loga2x(a>0，a≠1)
B．y＝loga(x2＋1)(a>0，a≠1)
C．y＝logx(a>0，a≠1)
D．y＝2lgx
解析：在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0且a≠1)中，logax前面的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则不是对数函数．所以选C.
知识点二　　对数函数的图象与性质
[填一填]
[答一答]
3．怎样可以快速画出对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的草图？
提示：根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点(，－1)，(1,0)，(a,1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝logax的草图．
4．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)，当a>1，x取何值时，y>0？x取何值时，y<0？当0提示：结合对数函数的图象可知，
当a>1时，若x>1，则y>0；若0当01，则y<0；若00.
类型一　　对数函数的概念
[例1]　已知对数函数f(x)的图象过点.
①求f(x)的解析式；
②解方程f(x)＝2.
[分析]　根据已知设出函数解析式，代入点的坐标求出对数函数的底数；然后利用“指对互化”解方程．
[解]　①由题意设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由函数图象过点可得f(4)＝，即loga4＝，所以4＝a，解得a＝16，故f(x)＝log16x.
②方程f(x)＝2，即log16x＝2，所以x＝162＝256.
利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如logam＝n，这时先把对数式logam＝n化为指数式的形式an＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝kn(k>0，且k≠1(，解得a＝k>0.还可以直接写出a＝m，再利用指数幂的运算性质化简m.
[变式训练1]　(1)已知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则f＝－5.
(2)已知函数f(x)＝(2m2－m)logax＋m－1是对数函数，则m＝1.
解析：(1)设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.
∴f(x)＝log2x，f＝log2＝log22－5＝－5.
(2)因为函数f(x)是对数函数，则解得m＝1.
类型二　　对数函数图象的有关问题
命题视角1：对数函数的底与图象变化的关系
[例2]　对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx在同一坐标系内的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是________．
[答案]　a>b>c>d
[解析]　利用数形结合法，画出直线y＝1判断，亦可根据在第一象限内顺时针旋转底数逐渐增大解决．如图，作直线y＝1，则该直线与各函数图象必各交于一点，由logaa＝1可知，各交点的横坐标分别为各函数底数，从而可知a>b>c>d.
在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐增大，故a>b>c>d.
当01时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．
[变式训练2]　已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是(　B　)
解析：方法一　若0若a>1，则函数y＝ax的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．
方法二　首先指数函数y＝ax的图象只可能在上半平面，函数y＝loga(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A，C；再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．
命题视角2：图象过定点问题
[例3]　函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
[答案]　(0，－2)
[解析]　因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．
求函数y＝m＋logaf(x((a>0，且a≠1(的图象过的定点时，只需令f(x(＝1求出x，即得定点为(x，m(.
[变式训练3]　函数y＝2loga|1－x|＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0,1)或(2,1)．
解析：令|1－x|＝1，则x＝0或2，此时y＝1.
所以函数图象过定点(0,1)或(2,1)．
命题视角3：对数函数图象的变换与识别
[例4]　作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．
[分析]　充分利用图象变换，即平移变换、翻折变换作图象．
[解]　第一步：作出y＝log2x的图象(如图(1))；
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度得y＝log2(x＋1)的图象(如图(2))；
第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得y＝|log2(x＋1)|的图象(如图(3))；
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，得到y＝|log2(x＋1)|＋2的图象(如图(4))．
(1)作函数图象的基本方法是列表描点法．另外，对形如y＝f(|x|)的函数，可先作出y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，再作关于y轴对称的图象，即可得到y＝f(|x|)的图象．对于函数y＝|f(x)|，可先作出y＝f(x)的图象，然后x轴上方的不动，下方的关于x轴翻折上去即可得到y＝|f(x)|的图象．
(2)如果只需要作出函数的大致图象时，可采用图象变换的方法．
[变式训练4]　画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间：
(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝|logx|.
解：(1)函数y＝log3(x－2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增函数．
(2)y＝|logx|＝其图象如图②.
其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
类型三　　对数函数的定义域
[例5]　求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝log1－x5；
(3)y＝ .
[分析]　
→→
[解]　(1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需解得x<1，且x≠0，所以函数y＝log1－x5的定义域是{x|x<1，且x≠0}．
(3)要使函数式有意义，需解得定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
[变式训练5]　求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝
解：(1)由得
∴定义域为(1,4)∪(4，＋∞)．
1．若f(x)＝，则f(x)的定义域为(　C　)
A．(－，0)　　 B．(－，＋∞)
C．(－，0)∪(0，＋∞) D．(－，2)
解析：由题得：解得x>－且x≠0.
2．函数y＝2＋log5x(x≥1)的值域为(　C　)
A．(2，＋∞)　　 B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：由x≥1知log5x≥0，y≥2，值域是[2，＋∞)．
3．函数y＝loga(x－1)－1的图象过定点(2，－1)．
解析：∵令x－1＝1，则y＝－1，∴该函数过定点(2，－1)．
4.函数f(x)＝
的图象如图所示，则a＋b＋c＝.
解析：由图象可求得直线的方程为y＝2x＋2，
又函数y＝logc(x＋)的图象过点(0,2)，
将其坐标代入可得c＝，
所以a＋b＋c＝2＋2＋＝.
5．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，求实数a的值．
解：∵a>1，∴f(x)＝logax在(0，＋∞)上是增函数．
∴最大值为f(2a)，最小值为f(a)．
∴f(2a)－f(a)＝loga2a－logaa＝，
即loga2＝.∴a＝4.
——本课须掌握的两大问题
1．只有形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数才是对数函数．例如，y＝log3x，y＝logx等都是对数函数；而y＝log3(x＋1)，y＝2log3x等都不是对数函数．
2．在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，函数图象落在第一、四象限，且当01时函数单调递增．