2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2对数函数及其性质第2课时对数函数的性质应用教案新人教A版必修1

第2课时　对数函数的性质应用
[目标] 1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式；2.会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域；3.能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题．
[重点] 对数函数的图象和性质的应用．
[难点] 对数函数的图象和性质的综合应用.
知识点一　　对数函数的单调性
[填一填]
1．对数函数的单调性：当a>1时，y＝logax为增函数，当02．对于y＝logax，若a>1，当x>1时，y>0，当00，当x>1时，y<0.
[答一答]
1．若a>1，且m>n，则logam与logan的大小关系是logam>logan.
若0n，则logam与logan的大小关系是logam2．若a>1，且logam>logan，则m与n的大小关系是m>n；
若0logan，则m与n的大小关系是m知识点二　　复合函数的单调性
[填一填]
复合函数y＝logaf(x)，x∈D的单调性：设集合M?D，若a>1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝logaf(x)的增(减)区间；若0[答一答]
3．f(x)＝log3(x＋5)的单调区间是否只有一个？是否就是y＝x＋5的单调区间？
提示：是只有1个，但不是y＝x＋5的单调增区间(－∞，＋∞)，而是(－5，＋∞)．
知识点三　　反函数
[填一填]
函数y＝logax(a>0，且a≠1)与y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称．
[答一答]
4．指数函数与对数函数有哪些主要的相同点？两种函数之间有哪些关系？
提示：(1)底数及其范围相同；(2)a>1时同为增函数，0类型一　　比较大小
[例1]　比较下列各组值的大小．
(1)log5与log5；(2)log2与log2；
(3)log23与log54.
[解]　(1)法一：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，∴log5法二：∵log5<0，log5>0，∴log5对数式比较大小的三种类型和求解方法
(1(底数相同时，利用单调性比较大小.
(2(底数与真数均不相同时，借助于0或1比较大小.
(3(真数相同时，可利用换底公式换成同底，再比较大小，但要注意对数值的正负.
[变式训练1]　设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　D　)
A．c>b>a　　 B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
解析：由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图象得log32>log52>log72，所以a>b>c，故选D.
类型二　　解对数不等式
[例2]　(1)若loga<1(a>0，且a≠1)，求实数a的取值范围．
(2)已知log0.7(2x)[分析]　对于(1)“1”变为logaa讨论单调性；对于(2)直接根据单调性列不等式组求解．
[解]　(1)loga<1，即loga当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，
所以loga当0由loga所以实数a的取值范围为∪(1，＋∞)．
(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.7(2x)得解得x>1.∴x的取值范围为(1，＋∞)．
解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形.若非同解变形，最后一定要检验.
[变式训练2]　若－10，且a≠1)，求实数a的取值范围．
解：∵－1当a>1时，<；
当0>a，则0故实数a的取值范围是∪.
类型三　　对数复合型函数的值域
[例3]　求下列函数的值域：
(1)y＝log(－x2＋2x＋3)；
(2)y＝log3，x∈[－3，－1]．
[分析]　先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的值域．
[解]　(1)设u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4，
∵y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，
∴log (－x2＋2x＋3)≥log4＝－2.
∴函数的值域为[－2，＋∞)．
(2)设u＝x－2，∵x∈[－3，－1]．
∴3≤x≤27，即1≤u≤25.
∵函数y＝log3u在(0，＋∞)上是增函数，
∴0≤log3≤log325.
∴原函数的值域为[0，log325]．
1.与对数函数有关的复合函数的值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法(.
2.对于形如y＝logaf(x((a>0，且a≠1(的复合函数的值域的求解的步骤：①分解成y＝logau，u＝f(x(两个函数；②求f(x(的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解.
[变式训练3]　设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4.若t＝log2x.
(1)求t的取值范围．
(2)求f(x)的值域．
解：(1)因为t＝log2x，≤x≤4，
所以log2≤t≤log24，即－2≤t≤2.
(2)函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，
即f(x)＝(log2x)2＋3log2x＋2，又t＝log2x，
则y＝t2＋3t＋2＝2－(－2≤t≤2)．
当t＝－时，即log2x＝－，
x＝2－时，f(x)min＝－；
当t＝2时，即log2x＝2，x＝4时，f(x)max＝12.
综上可得，函数f(x)的值域为.
类型四　　对数复合型函数的单调性
[例4]　已知f(x)＝log (x2－ax－a)在上是增函数，求a的取值范围．
[解]　令u(x)＝x2－ax－a，
∵f(x)＝logu(x)在上是增函数，∴u(x)在上是减函数，且u(x)>0在上恒成立．
∴即∴－1≤a≤.
∴满足条件的a的取值范围是{a|－1≤a≤}．
与对数函数有关的复合函数y＝logag(x(的单调性的求解步骤：
(1(确定定义域，研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行.(很多同学忽略了定义域，即要满足g(x(>0导致错误(
(2(弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数：外层函数y＝logau，内层函数u＝g(x(.
(3(分别确定这两个函数的单调区间.
(4(若这两个函数同增或同减，则y＝logag(x(为增函数；若一增一减，则y＝logag(x(为减函数，即“同增异减”.
[变式训练4]　已知f(x)＝loga(8－3ax)在[－1,2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　B　)
A．(0,1) B.
C. D．(1，＋∞)
解析：由题意，知8－3ax>0，x∈[－1,2]，∴8＋3a>0,8－6a>0，∴－0，且a≠1，∴01.所以实数a的取值范围为.故选B.
1．若0A．log3x>log3y　 B．logxC．logx3解析：∵y＝log3x是增函数，∴当x∵y＝logx是减函数，∴当xlogy.
∵log3x∵y＝log4x是增函数，且02．函数y＝2x的反函数是(　C　)
A．y＝log2x B．y＝logx
C．y＝log2x(x>0) D．y＝logx(x>0)
解析：函数y＝2x的值域是(0，＋∞)．
又其反函数为y＝log2x.故选C.
3．函数y＝log(x2－6x＋17)的值域是(－∞，－3]．
解析：由x2－6x＋17＝(x－3)2＋8>0恒成立，知x∈R.
设u＝x2－6x＋17.∵0<<1，∴函数y＝logu是减函数．又∵x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，∴log (x2－6x＋17)≤log8＝log23＝log－3＝－3.
故函数y＝log (x2－6x＋17)的值域为(－∞，－3]．
4．函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．
解析：∵3＋2x－x2>0，∴x2－2x－3<0.
∴－1－(x－1)2＋4，
∴当x∈(－1,1)时，u是x的增函数，y是lnu的增函数，故函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是(－1,1)．
同理，函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递减区间是(1,3)．
5．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)使f(x)＝loga(ax－1)有意义，则ax－1>0，即ax>1.当a>1时，x>0；当01时，函数的定义域为{x|x>0}；当0(2)①当a>1时，设01时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；②当0ax2>1，∴ax1－1>ax2－1>0，∴loga(ax1－1)——本课须掌握的三大问题
1．利用对数的单调性可解简单的对数不等式．解对数不等式的关键是把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式，但一定要注意真数大于零这一隐含条件．
2．求与对数函数有关的复合函数的单调区间，首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成的，再按“同增异减”的方法来求其单调区间．
3．对于对数型复合函数的综合应用的题目，无论是求最值还是求参数的取值范围，必须抓住两点：一是先求出原函数的定义域，二是在定义域内求出函数的单调区间，然后由函数的单调性求出其最值或参数的取值范围．此外在解题过程中一定要注意数形结合方法的灵活应用．