2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3幂函数教案新人教A版必修1

2．3 幂函数
[目标] 1.记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2,3，，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．
[重点] 幂函数的定义、图象和性质．
[难点] 利用幂函数的性质解决有关问题.
知识点一　　幂函数的概念
[填一填]
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
[答一答]
1．下列函数：①y＝2x3；②y＝x2＋1；③y＝(x＋1)3是幂函数吗？
提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数．
2．幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)有何区别？
提示：幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．
知识点二　　幂函数的图象
[填一填]
五种常见幂函数的图象
幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象如下图．
[答一答]
3．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？
提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2.
(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝x.
(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1.
4．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？
提示：当x>0时，y＝xα>0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．
知识点三　　幂函数的性质
[填一填]
五类幂函数的性质
[答一答]
5．对于幂函数y＝xα(α是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？
提示：α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数；
α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数．
类型一　　幂函数的概念
[例1]　(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)
A．1　　 B．2
C．3 D．4
(2)已知f(x)＝(m2－3m＋3)x为幂函数，则m等于(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．－2
[答案]　(1)B　(2)C
[解析]　(1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.
(2)由幂函数的定义可知m2－3m＋3＝1，
即m2－3m＋2＝0.解得m＝1或m＝2.故选C.
幂函数解析式的结构特征：(1(解析式是单项式；(2(幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.
[变式训练1]　(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　C　)
A. B．1
C. D．2
(2)已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m＝－3或1，n＝.
解析：(1)由幂函数定义知k＝1，把代入y＝xα得α＝，∴k＋α＝.选C.
(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，由幂函数的定义得
解得m＝－3或1，n＝.
类型二　　幂函数的图象
[例2]　下图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x－1在第一象限内的图象，则(　　)
A．－1B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
[答案]　B
[解析]　由y＝xm的图象是横卧抛物线形，知0在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．
[变式训练2]　幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x的图象经过的区域对应的序号有(　D　)
A．④⑦ B．④⑧
C．③⑧ D．①⑤
解析：∵x－＝(－1)，当0∴幂函数y＝x的图象经过区域①；当x>1时，x－>0，即x>>1，∴幂函数y＝x的图象经过区域⑤.
类型三　　幂函数的性质应用
[例3]　比较下列各组中三个数的大小．
[分析]　本题考查幂函数及指数函数的单调性．
比较幂值大小的方法
[变式训练3]　比较下列各组中两个值的大小：
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是(　B　)
A．y＝－x3　B．y＝x－3　C．y＝2x3　D．y＝x3－1
2．如果幂函数f(x)的图象过点，那么f的值为(　D　)
A. B．2 C．1 D．4
解析：设f(x)＝xα.∵f(x)的图象过点，∴＝4α，解得α＝－.∴f(x)＝x，∴f＝＝4.
3．函数y＝x的图象是(　B　)
解析：∵函数y＝x是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A，D.当x>1,0<α<1时，y＝xα在直线y＝x下方，排除C，选B.
4．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值为－.
解析：∵y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上的最小值是－.
5．比较下列各题中两个幂的值的大小：
解：(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9，∴1.1>0.9.
——本课须掌握的三大问题
1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．
2．幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
3．简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．
学习至此，请完成课时作业22

与幂函数有关的简单不等式问题
开讲啦与幂函数有关的不等式是形如[f(x)]α>[g(x)]α的不等式，通常利用幂函数y＝xα的定义域和单调性将其转化为关于x的不等式组来求解．
[典例]　已知幂函数y＝xp－3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1) <(3－2a) 的实数a的取值范围．
[分析]　先根据y＝xp－3的单调性和奇偶性及p∈N*确定p的值，再利用函数y＝x的单调性列不等式求解．
[解]　因为函数y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，所以p－3<0, 即p<3，又因为p∈N*，所以p＝1或p＝2.
因为函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，所以p－3是偶数，所以p＝1，即y＝x－2，(a＋1)<(3－2a).
因为函数y＝x在(－∞，＋∞)上是增函数，所以a＋1<3－2a，即a<，所以a的取值范围是.
[对应训练]　已知f(x)＝x(n＝2k，k∈Z)在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．
解：由条件知>0，
∴－n2＋2n＋3>0，解得－1又n＝2k，k∈Z，∴n＝0或n＝2.
当n＝0或n＝2时，f(x)＝x.
∵f(x)＝x在R上单调递增，
∴f(x2－x)>f(x＋3)等价于x2－x>x＋3.
解得x<－1或x>3.
∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．