2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）章末总结教案新人教A版必修1

本章总结
1．掌握分数指数幂的意义：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
2．掌握指数式与对数式的关系：ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)．
3．指数的运算性质：ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝ar·br，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
4．对数的运算性质：loga＝logaM－logaN，loga(MN)＝logaM＋logaN，logaMn＝nlogaM(n∈R)，其中a>0，且a≠1，M>0，N>0.
5．对数恒等式：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N，其中a>0，且a≠1，N>0.
6．比较大小问题：应先区分是正还是负，再区分是大于1的数还是小于1的正数，然后分类比较，要注意指数函数与幂函数单调性在应用上的区别，若是同底数幂比较大小，则利用指数函数的单调性；若是同指数幂比较大小，则利用幂函数的单调性．
7．准确地掌握对数的运算法则是正确进行对数运算的前提，利用对数运算，可以把乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了利用对数运算的优越性．
8．利用换底公式时，应注意选择恰当的底，既要善于“正用”，还要注意它的“逆用”．
9．在比较与鉴别中学习，注意指数与对数运算法则的对比；指数函数与对数函数性质的对比；函数增长快慢的对比．
10．注意数形结合，本章的内容中，图象占有很大的比重，函数的图象在研究函数的性质时起到了很重要的作用，因此在学习中要特别注意利用函数图象，心中不但有“数”，而且还要有“图”．记住某些常见的函数图象的草图，养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯．
指数与指数幂的运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，它们既是学习和研究指数函数、对数函数的基础，也是高考必考内容之一，教学中应给予足够的重视．
[例1]　(1)计算：
②原式＝lg5(3lg2＋3)＋(lg2)2＋lg0.01
＝3lg2·lg5＋3lg5＋3lg22－2
＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3－2＝1.
[点评]　(1)对于根式的运算结果，不强求形式的统一，但结果绝不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(2)指、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据幂、对数的运算法则及性质加以解决，在运用法则时要注意法则的逆用．在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化，因此要熟练把握这些运算性质的基本特征：①同底；②“和积”互化．
指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图象与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数y＝ax，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象与性质都与a的取值有密切的联系，幂函数y＝xα的图象与性质与α的取值有关，a，α变化时，函数的图象与性质也随之改变；因此，在a，α的值不确定时，要对它们进行分类讨论．
[例2]　如下图所示，函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一平面直角坐标系下的图象大致是(　　)
[解析]　因为f(x)＝1＋log2x，所以f(x)的图象应由y＝log2x的图象沿y轴向上平移一个单位而得到，与x轴的交点为(，0)．因为g(x)＝2－x＋1＝()x－1，所以应由y＝()x的图象沿x轴向右平移一个单位而得到，故选C.
[答案]　C
[例3]　方程a－x＝logax(a>0，且a≠1)的实数解的个数为(　　)
A．0　　　　B．1　　　　　C．2　　　　　D．3
[解析]　本例可用数形结合法画出y＝a－x与y＝logax的图象，观察交点个数，要注意对a分a>1与0当a>1时，在同一坐标系中画出y1＝logax的图象和y2＝a－x的图象如图(1)，由图象知两函数图象只有一个交点；同理，当0[答案]　B
[例4]　方程log2(x＋2)＝的实数解有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
[分析]　令y1＝log2(x＋2)，y2＝，分别作出两个函数图象，利用数形结合的方法解题．
[解析]　
令y1＝log2(x＋2)，y2＝，分别画出两个函数图象，如图所示．
函数y1＝log2(x＋2)的图象是由函数y＝log2x的图象向左平移2个单位长度得到．
函数y2＝的图象是由幂函数y＝x的图象关于y轴对称得到．
由图象可知，显然y1与y2有一个交点．故选B.
[答案]　B
[点评]　本题所给方程不能直接求解，而是需构造两个函数，利用数形结合可从图象上观察到两个函数图象交点的个数，从而推出这个方程解的个数，关键是较准确地作出y1＝log2(x＋2)与y2＝的图象．
[例5]　当08x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
[解析]　
∵logax>8x，∴logax>0，而08＝2＝logaa2，解得a>，∴[答案]　B
[例6]　已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)讨论f(x)的单调性．
[分析]　由指数函数的定义知y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为x∈R，且y＝ax>0，因此在求函数值域时可由ax>0求y的取值范围．在讨论单调性时，可由定义入手，也可由指数函数单调性入手．
[解]　(1)易得f(x)的定义域为R.
设y＝，解得ax＝－.　①
∵ax>0，∴当且仅当－>0时，方程①有解．
解－>0，得－1∴f(x)的值域为{y|－1(2)f(x)＝＝1－.
①当a>1时，∵y＝ax＋1为增函数，且ax＋1>0，
∴y＝为减函数，从而f(x)＝1－＝为增函数．
②当0[点评]　求定义域注意表达式中自变量x受限制的条件，求值域灵活掌握、运用换元法、分离常数法、单调性法、数形结合法、判别式法等各种方法．
[例7]　某医药研究所开发了一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间．
[分析]　分段求函数的解析式，再利用解析式解决问题．
[解]　(1)当0≤t≤1时，点M(1,4)在线段y＝kt上，则k＝4，这时y＝4t；
当t≥1时，点M(1,4)在曲线y＝()t－a上，则()1－a＝4，得a＝3，这时y＝()t－3，
所以f(t)＝
(2)由题意知，需f(t)≥0.25，当0≤t≤1时，由4t≥0.25，得t≥，所以≤t≤1；当t>1时，由()t－3≥0.25＝()2，得t≤5，所以1[点评]　识图、用图是本题求解的第一环节，待定系数法求函数表达式是重要的方法，在求解不等式f(t)≥0.25时，既要运用分段函数的相关知识，同时又要运用好指数函数的性质．