2019_2020学年高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教案新人教A版必修1

3．1.1　方程的根与函数的零点
[目标] 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系；2.会求函数的零点；3.掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数．
[重点] 函数零点的概念以及函数零点的求法．
[难点] 对函数零点的判断方法的理解及应用.
知识点一　　　　　　　　函数的零点
[填一填]
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．
[答一答]
1．函数的零点是点吗？如何求函数的零点？
提示：函数的零点不是点，是一个实数；由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程f(x)＝0得到．
2．当二次函数通过零点时，函数值一定变号吗？
提示：不一定．如下图，x0是函数的零点，当函数通过零点时，函数值不变号．
知识点二　　　　　　　　
[填一填]
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
[答一答]
3．怎样理解方程的根、函数的零点、图象之间的关系？
提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．所以，函数y＝f(x)的图象与x轴有几个交点，函数y＝f(x)就有几个零点，方程f(x)＝0就有几个解．
知识点三　　　　　　　　函数零点的存在性定理
[填一填]
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[答一答]
4．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在(a，b)内的零点唯一吗？
提示：不一定．如f(x)＝x3－x在区间[－2,2]上有f(2)·f(－2)<0，但f(x)在(－2,2)内有三个零点－1，0,1；如f(x)＝x＋1，在区间[－2,0]上有f(－2)·f(0)<0，在(－2，0)内只有一个零点－1.
5．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)>0，是不是说函数y＝f(x)在(a，b)内没有零点？
提示：y＝f(x)在(a，b)内也可能有零点．如f(x)＝x2－1，在区间[－2,2]上有f(－2)f(2)>0，但在(－2,2)内有两个零点－1,1.
类型一　　　　　　求函数的零点
[例1]　(1)求函数f(x)＝x2－x－2的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解]　(1)因为f(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)．
令f(x)＝0，即(x＋1)(x－2)＝0.
解得x＝－1或x＝2.所以函数f(x)的零点为－1和2.
(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)的零点为0和－.
(1(求函数f(x(的零点就是求方程f(x(＝0的解，求解时注意函数的定义域.
(2(已知x0是函数f(x(的零点，则必有f(x0(＝0.
[变式训练1]　已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．
解：由题意知f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2，
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实根，
所以有解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)．令log2(－2x＋1)＝0，得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.
类型二　　　　　　判断函数零点所在区间
[例2]　(1)方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(　　)
A．(0,2)　　　　　　　　 B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
(2)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________.
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
[答案]　(1)C　(2)1
[解析]　(1)令f(x)＝log3x＋x－3，则f(1)＝log31＋1－3＝－2<0，f(2)＝log32＋2－3＝log3<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，f(4)＝log34＋4－3＝log312>0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．
(2)记f(x)＝ex－x－2，则该函数的零点就是方程ex－x－2＝0的实根．由题表可知f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，f(3)＝20.09－5>0.由零点存在性定理可得f(1)f(2)<0，故函数的零点所在的区间为(1,2)．所以k＝1.
判断函数零点所在区间的三个步骤：
(1(代.将区间端点代入函数求出函数的值.
(2(判.把所得函数值相乘，并进行符号判断.
(3(结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.
[变式训练2]　函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(　B　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(，1)和(3,4) D．(e，＋∞)
解析：∵f(1)＝－2<0, f(2)＝ln2－1<0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
∴在(1,2)内f(x)无零点．
又∵f(3)＝ln3－>0，∴f(2)·f(3)<0.
∴f(x)在(2,3)内有一个零点．∴选B.
类型三　　　　　　函数零点个数的有关问题
命题视角1：判断函数零点的个数
[例3]　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
[解]　方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．
方法二：如图，
在同一坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象．
由图知，g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
判断函数零点的个数的方法主要有：
(1(对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.
(2(由f(x(＝g(x(－h(x(＝0，得g(x(＝h(x(，在同一坐标系中作出y1＝g(x(和y2＝h(x(的图象，利用图象判定方程根的个数.
[变式训练3]　函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　B　)
A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4
解析：
易知函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数?方程|log0.5x|＝＝x的根的个数?函数y1＝|log0.5x|与y2＝x的图象的交点个数．两个函数的图象如图所示，可知两个函数图象有两个交点，故选B.
命题视角2：由函数的零点求参数的取值范围
[例4]　已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．
[答案]　
[解析]　画出函数f(x)的图象如图．
要使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k的图象有两个不同交点，由图易知k∈.
此类题关键是画出图象，将函数零点问题转化为图象交点问题，从而确定参数的范围.
[变式训练4]　若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是(0,2)．
解析：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，01．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是(　B　)
A．(－2,3)　　　　　　　　 B．2,3
C．(2,3) D．－2，－3
解析：令－x2＋5x－6＝0.解得x1＝2，x2＝3，故函数零点为2,3.
2．设x0是方程lnx＋x＝4的解，则x0所在的区间是(　C　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：设f(x)＝lnx＋x－4，则f(1)＝－3<0，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4>0，则x0∈(2,3)．
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．
解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，就是方程x2＋2x＋a＝0没有实数解，所以Δ＝4－4a<0，即a>1.
4．方程2|x|＋x＝2的实根的个数为2.
解析：
由2|x|＋x＝2，得2|x|＝2－x.
在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2|x|与函数y＝2－x的图象，如图，图象有2个交点，即方程有2个实根．
5．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．
解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.
令y1＝log2x，y2＝x－2.
画出两个函数的大致图象，如图所示．
有两个不同的交点．
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．
——本课须掌握的三大问题
1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
学习至此，请完成课时作业23
二次函数的零点问题
开讲啦二次函数零点的分布问题又称为一元二次方程根的分布问题，求解此类问题，一定要注意数形结合方法的应用，从各个方面去考虑使结论成立的所有条件，如判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值的大小、开口方向等．
[典例]　已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．
[分析]　本题首先要确定二次项系数的取值，故应分类讨论．
[解]　(1)当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，直线与x轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意．
(2)当m≠0时，∵f(0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．
若m<0，函数f(x)图象的开口向下，如图①所示．
二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．
若m>0，函数f(x)图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，
当且仅当解得0综上所述，所求m的取值范围是(－∞，1]．
[对应训练]　已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
解：
设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，则f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1,2)内，画出示意图(如图所示)，
观察图象可得
，
解得－所以m的取值范围是(－，－)．