2019_2020学年高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解教案新人教A版必修1

3．1.2　用二分法求方程的近似解
[目标] 1.知道二分法的定义，会用二分法求方程的近似解；2.明确精确度ε与近似值的区别．
[重点] 二分法求方程的近似解．
[难点] 二分法定义的理解.
知识点一　　　　　　　　二分法的概念
[填一填]
对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
[答一答]
1．用二分法求函数零点的适用条件是什么？
提示：①f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断；
②f(a)f(b)<0.
2．是否所有的函数都能用二分法判断零点所在区间？
提示：不是所有的函数都能用二分法来判断零点所在区间．只有图象在给定区间上是连续不断的，且在区间的端点处的函数值是异号的函数，才可以用二分法求函数零点所在区间．
3．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上存在f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点吗？
提示：
对于函数f(x)，若满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内不一定有零点，反之，f(x)在区间(a，b)内有零点也不一定有f(a)·f(b)<0，如图所示．
知识点二　　　　　　　　
[填一填]
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点x1；
(3)计算f(x1)；
①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
[答一答]
4．“精确到”与“精确度”是一回事吗？
提示：不是一回事，具体说明如下：
(1)精确度：近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x为准确值，x′为x的一个近似值，若|x′－x|<ε，则x′是精确度为ε的x的一个近似值，精确度简称精度．用二分法求方程的近似解时，只要根的存在区间(a，b)满足|a－b|<ε，两端点或区间内的任意一个数均可作为方程的近似解．
(2)精确到：按四舍五入的原则得到准确值x的前几位近似值x′，x′的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．如：π＝3.141 592 6…，若取3位有效数字，则x′＝3.14，精确到0.01(即百分位)；若取5位有效数字，则x′＝3.141 6，精确到0.000 1(即万分位)．
5．你知道为什么当|a－b|<ε时，可将a或b的值看成方程的近似解吗？
提示：当|a－b|<ε时，由于方程根的真实值x0∈[a，b]，所以|a－x0|<|a－b|<ε，所以a与方程根的真实值x0的误差不超过精确度ε，故可用a来作为方程的近似解．用b的原因同样.
类型一　　　　　　二分法的概念
[例1]　下列图象表示的函数能用二分法求零点的是(　　)
[答案]　C
[解析]　对于选项A，图象与x轴无交点，不能用二分法求零点；对于选项B，图象与x轴有交点，但零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点；对于选项C，函数零点两边的函数值异号，可用二分法求零点；对于D，零点两边的函数值同号，故选C.
1.本题给出了各个函数的图象，可根据图象与x轴有交点，且交点左右的函数值异号才能用二分法求零点．
2．判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
[变式训练1]　如下图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交点横坐标的是(　A　)
解析：按二分法定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足．在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.
类型二　　　　　　二分法的步骤
[例2]　用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为(　　)
A．(0,0.5)，f(0.25)　　　 B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.125)
[答案]　A
[解析]　二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由f(0)<0，f(0.5)>0，知x0∈(0,0.5)，再计算0与0.5的中点0.25处相应的函数值，以判断x0的准确位置．
用二分法求函数零点近似值的注意点
(1(在第一步中要使：,①区间[a，b]的长度尽量小；
②f(a(，f(b(的值比较容易计算，且f(a(·f(b(<0.
(2(二分法仅对函数变号零点(即零点两侧某区域内函数值异号(适用.
(3(利用二分法求函数的零点时，要随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.
[变式训练2]　某方程在区间[0,1]内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则将区间(0,1)等分(　C　)
A．2次　　　　　　　　 B．3次
C．4次 D．5次
解析：将区间(0,1)等分1次，区间长度为0.5; 等分2次，区间长度为0.25；……等分4次，区间长度为0.062 5<0.1，符合题意，故选C.
类型三　　　　　　用二分法求函数零点的近似解
[例3]　判断函数y＝x3－x－1在区间(1,1.5)内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①判断函数在区间(1,1.5)内有无零点，可用根的存在性定理判断；
②精确度0.1解答本题在判断出在(1,1.5)内有零点后可用二分法求解．
[解]　因为f(1)＝－1<0, f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间(1,1.5)内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点值
中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
－0.3
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
－0.05
(1.312 5,1.375)
1.343 75
0.08
由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，
所以函数的一个近似零点可取1.312 5.
此类问题按照二分法求函数零点近似值的步骤求解即可，在求解过程中，我们可以借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小的零点所在的区间，在区间长度小于精确度ε时终止运算.
[变式训练3]　用二分法求2x＋x＝4在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2)．
参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
解：令f(x)＝2x＋x－4，
则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1,2)
x1＝1.5
f(x1)＝0.33>0
(1,1.5)
x2＝1.25
f(x2)＝－0.37<0
(1.25,1.5)
x3＝1.375
f(x3)＝－0.031<0
(1.375,1.5)
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375.
1．下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间，不能用二分法求出的函数f(x)的零点所在的区间是(　B　)
A．(－2.1，－1)　　　　　 B．(1.9,2.3)
C．(4.1,5) D．(5,6.1)
解析：函数f(x)在区间(1.9,2.3)内的零点两侧函数值同号，因此不能用二分法求该区间上函数的零点．
2．用二分法求方程f(x)＝0在区间[1,2]内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝，f(2)＝－2，f＝6，则下列结论正确的是(　C　)
A．x0∈
B．x0＝
C．x0∈
D．x0∈或x0∈
解析：∵f(1)＝>0，f(2)＝－2<0，f＝6>0，
可得方程的根落在区间内．
3．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过(　B　)
A.　　　B. C．ε　　　D．2ε
解析：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝<，因此误差最大不超过.
4．某同学在借助题设给出的数据求方程lgx＝2－x的近似数时，设f(x)＝lgx＋x－2，得出f(1)<0，且f(2)>0，他用“二分法”取到了4个x的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为1.75.
解析：先判断零点所在的区间为(1,2)，故用“二分法”取的第一个值为1.5，由于方程的近似解为x≈1.8，故零点所在的区间进一步确定为(1.5,2)，故取的第二个值为＝1.75.
5．求方程lgx＝x－1的近似解．(精确度：0.1)
解：如图所示，由函数y＝lgx和y＝x－1的图象可知，方程lgx＝x－1有唯一实数解，且在区间(0,1)内．
设f(x)＝lgx－x＋1，f(1)＝>0，用计算器计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
区间长度
(0,1)
0.5
－0.008 1
1
(0.5,1)
0.75
0.280 5
0.5
(0.5,0.75)
0.625
0.147 5
0.25
(0.5,0.625)
0.562 5
0.073 0
0.125
(0.5,0.562 5)
0.531 25
0.033 3
0.062 5
由于区间(0.5,0.562 5)的长度为0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为0.5.
——本课须掌握的两大问题
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)· f(b)<0
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．