2019_2020学年高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型教案新人教A版必修1

3．2.1　几类不同增长的函数模型
[目标] 1.了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用；2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较；3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．
[重点] 几类不同函数模型增长的含义及差异．
[难点] 如何选择数学模型分析解决实际问题.
知识点　　　　　　　三类不同增长的函数模型的比较
[填一填]
1．三类函数模型的性质
2.函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)或y＝xn(n>0)增长速度的对比
(1)对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax[答一答]
1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上增大情况有何区别？
提示：在同一坐标系内画出函数y＝2x和y＝x2的图象，如图：
观察归纳结论：从图上可观察到y＝2x与y＝x2有两个交点，有时2x>x2，有时x2>2x，但是当自变量越来越大时，可以看到2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎是微不足道的．
y＝2x与y＝x2图象在(0，＋∞)上有两个交点(2,4)，(4,16)．
当x>4时，y＝2x的增长速度远远快于y＝x2的增长速度．
2．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是哪一个函数？
提示：y＝3x.
3．当0提示：总会存在一个x0，使x>x0时，logax类型一　　　　　　函数模型增长差异的比较
[例1]　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的大致图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 011)，g(2 011)的大小．
[分析]　
→→→
[解]　(1)曲线C1对应的函数为g(x)＝x3，
曲线C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)，∴1x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2 011)>g(2 011)>g(8)>f(8)．
除了根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断，还可以根据图象进行判断.,根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.
[变式训练1]　四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(　D　)
A．f1(x)＝x2　　　　　　 B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析：对比四种函数的增长速度，当x充分大时，指数函数增长速度越来越快，因而最终物体4会在最前面，故选D.
类型二　　　　　　函数增长模型差异的应用
[例2]　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[分析]　→
[解]　借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律：
(1(线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2(指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3(对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4(幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
[变式训练2]　一天，李先生打算将1万元存入银行，当时银行提供两种计息方式：一是单利，即只有本金生息，利息不再产生利息，年利率为4%；二是复利，即第一年所生的利息第二年也开始计息，年利率为3.6%.已知利息税率为20%(即所产生的利息中应扣除作为利息税上交国家的部分)，问李先生应选用哪种计息方式？
解：若年利率为r，则扣除利息税后，实际利率为0.8r.
按单利计息，则第n年的本息为10 000(1＋n×0.8×0.04)＝10 000(1＋0.032n)(元)；按复利计息，则第n年的本息为10 000(1＋3.6%×0.8)n＝10 000×1.028 8n(元)，
列表如下(单位：元)
从上表可以看出，若存款年数不超过8年，应选用单利计息；若存款年数超过8年，则应选用复利计息．
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是(　A　)
A．y＝2x　　　　　　　　 B．y＝1 000x＋50
C．y＝x100 D．y＝log100x
解析：根据指数型函数增长速度最快知，当x越来越大时，y＝2x的增长速度最快．
2．能反映如图所示的曲线的增长趋势的是(　C　)
A．一次函数 B．幂函数
C．对数函数 D．指数函数
解析：从函数图象可以看出，随自变量的增大，函数增长越来越慢，因此是对数函数图象．
3．某航空公司规定，乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图所示的一次函数确定，那么乘客可免费携带行李的最大质量为(　A　)
A．19 kg B．16 kg
C．25 kg D．30 kg
解析：将点(30,330)与(40,630)代入y＝kx＋b得得k＝30，b＝－570，
∴y＝30x－570.
令y＝0得x＝19.
4．当22x>log2x.
解析：令x＝3得x2>2x>log2x.
5．根据函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x给出以下命题：
①f(x)，g(x)，h(x)在其定义域上都是增函数；
②f(x)的增长速度始终不变；
③f(x)的增长速度越来越快；
④g(x)的增长速度越来越快；
⑤h(x)的增长速度越来越慢．
其中正确的命题序号为①②④⑤.
解析：f(x)＝2x的增长速度始终不变，g(x)的增长速度越来越快，而h(x)的增长速度越来越慢，故只有①②④⑤正确．
——本课须掌握的两大问题
1．三类函数增长的比较
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x>x0，就有logax2．函数模型的选取：
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．
学习至此，请完成课时作业25
图象信息迁移问题
开讲啦函数图象在实际生活中能反映某些事件的变化情况和趋势，它具有简单、明了的特点，是高考中常考的一种类型题，下面通过例题体现函数图象的实际应用．
[典例]　一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是(　　)
[解析]　观察图象A，体温逐渐降低，不合题意；图象B不能反映“下午体温又开始上升”；图象D不能体现“下午体
温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”，故选C.
[答案]　C
[名师点评]　利用图文中所给的信息灵活地进行分析．
[对应训练]　某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边，上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t为出发后的某一时刻，s为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象中能大致表示s＝f(t)的函数关系的为(　C　)
解析：当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，s＝vt，图象为一条线段；当环岛两周时，s两次增至最大，并减少到与环岛前的距离s0；上岸考察时，s＝s0；返回时，s＝s0－vt，图象为一条线段．所以选C.