2019_2020学年高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1
文档属性
| 名称 | 2019_2020学年高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 289.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-14 14:01:31 | ||
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文档简介
3.2.2 函数模型的应用实例
[目标] 1.会用分段函数模型或自建函数模型解决一些简单的实际问题；2.会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合．
[重点] 根据给定的函数模型解决实际问题．
[难点] 建立数学模型解答实际问题.
知识点一 解函数模型应用题的一般步骤
[填一填]
1．函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
2．解函数应用题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数理关系．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．
(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．
[答一答]
1．常见的函数模型有哪些？
提示：(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
知识点二 函数拟合与预测的一般步骤
[填一填]
(1)收集数据；
(2)画散点图；
(3)选择函数模型；
(4)求函数模型；
(5)检验．若符合实际情况，则用函数模型解释实际问题；若不符合实际情况则从(3)重新开始．
[答一答]
2．如何根据收集到的数据解决实际问题？
提示：通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：
第一步：收集数据；
第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；
第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；
第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；
第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步．若符合实际，则进入下一步；
第六步：用求得的函数模型去解释实际问题．
以上过程可用程序框图表示如下：
3．数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？
提示：因为根据已给的数据作出散点图，一般是以比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时要重新调整数据或选用其他函数模型．
类型一 建立函数模型的应用题
[例1] 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元．市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
[分析] 解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价；先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值，可得汽车合适的销售单价．
[解] (1)因为y＝29－25－x，
所以y＝－x＋4(0≤x≤4)．
(2)z＝(8＋×4)y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)．
(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)．故当x＝1.5时，zmax＝50.
所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题.
[变式训练1] 据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，且为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解：(1)设y＝a(x－15)2＋17.5，
将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5.
解得a＝.
所以y＝(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为Q(x)，
则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－
＝－(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．
因为x＝23∈[10,25]，
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．
类型二 已知函数模型的应用题
[例2] 已知某产品市场价格与市场供应量P的关系近似满足P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t为关税的税率，且t∈[0，)，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图所示．
(1)根据图象求b，k的值；
(2)记市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝211－，当P＝Q时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值．
[解] (1)由图象知：
??
(2)当P＝Q时，有2(1－6t)(x－5)2＝211－，
即(1－6t)(x－5)2＝11－
?2(1－6t)＝＝
＝－.
令m＝，则2(1－6t)＝17m2－m.
∵x≥9，∴m∈(0，]．
当m＝时，2(1－6t)取最大值，故t≥，
即税率的最小值为.
(1(本题利用已知函数模型解决实际问题，首先利用给出的函数图象，通过待定系数法确定函数关系式，再利用函数关系式求最值，求最值时注意自变量的取值范围.
(2(对于题中已给出数学模型问题，只要解数学模型即可，较常用的方法是待定系数法解模型，然后利用相应的解析式及对应函数的性质解决实际问题.
[变式训练2] 灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100℃，过1小时后又测得瓶内水温变为98℃.已知某种奶粉必须用不低于85℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20℃)
解：根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k，
整理得e－60k＝.
利用计算器，解得k＝0.000 422 2.
故θ＝20＋80e－0.000 422 2t.
从早上六点至中午十二点共过去6小时，即360分钟．
当t＝360时，θ＝20＋80e－0.000 422 2×360＝20＋80e－0.152，
由计算器算得θ≈88℃>85℃，
即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉．
类型三 拟合函数模型的应用题
[例3] 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字)．
[分析] 只给出数据，没明确函数关系，这样就需要准确的画出散点图．然后根据图形选择合适的函数模型来解决实际问题．
[解] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．
观察散点图可以看出，A种商品的所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示．
取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示．
设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，
得解得所以y＝0.25x.
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.
设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，
那么
所以W＝－0.15(xA－)2＋0.15×()2＋2.6.
当xA＝≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB≈8.8(万元)．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．
拟合数据，建立函数模型解决实际问题的一般步骤：根据收集到的数据作出散点图，然后根据散点图的形状，选用比较接近的可能的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系，然后利用待定系数法确定出具体的函数解析式，若符合实际，可用此函数模型解释问题，若不符合实际，则继续选择模型，重复操作过程.
[变式训练3] 我国2014年至2017年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份
2014
2015
2016
2017
x
0
1
2
3
生产总值y
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
(1)画出函数图象，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．
解：
(1)画出函数图象，如图所示，从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的一次函数为y＝kx＋b(k≠0)．
把点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)的坐标代入上式，解方程组，得
因此所求的函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7.
(2)由得到的关系式计算出2015年和2016年的国内生产总值分别为0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，
0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
1．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( B )
解析：由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.
2．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( C )
A．y＝t3 B．y＝log2t
C．y＝2t D．y＝2t2
解析：符合指数函数模型．
3．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为14元．
解析：设销售单价应涨x元，则实际销售单价为(10＋x)元，此时日销售量为(100－10x)个，
每个商品的利润为(10＋x)－8＝2＋x(元)，
∴总利润y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200
＝－10(x－4)2＋360(0∴当x＝4时y有最大值，此时单价为14元．
4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln(1＋)．当燃烧质量是火箭质量的e6－1倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12 000时，2 000·ln(1＋)＝12 000，
∴ln(1＋)＝6，∴＝e6－1.
5．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6 000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．
(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲，y乙与购买台数x之间的函数关系式；
(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？
解：(1)y甲＝
＝
y乙＝5 100x(x∈N)，
(2)当x≤10时，显然y甲>y乙；
当x>10时，令y甲>y乙，
即4 200x＋18 000>5 100x，解得x<20.
答：当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．
——本课须掌握的三大问题
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．
[目标] 1.会用分段函数模型或自建函数模型解决一些简单的实际问题；2.会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合．
[重点] 根据给定的函数模型解决实际问题．
[难点] 建立数学模型解答实际问题.
知识点一 解函数模型应用题的一般步骤
[填一填]
1．函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
2．解函数应用题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数理关系．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．
(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．
[答一答]
1．常见的函数模型有哪些？
提示：(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
知识点二 函数拟合与预测的一般步骤
[填一填]
(1)收集数据；
(2)画散点图；
(3)选择函数模型；
(4)求函数模型；
(5)检验．若符合实际情况，则用函数模型解释实际问题；若不符合实际情况则从(3)重新开始．
[答一答]
2．如何根据收集到的数据解决实际问题？
提示：通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：
第一步：收集数据；
第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；
第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；
第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；
第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步．若符合实际，则进入下一步；
第六步：用求得的函数模型去解释实际问题．
以上过程可用程序框图表示如下：
3．数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？
提示：因为根据已给的数据作出散点图，一般是以比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时要重新调整数据或选用其他函数模型．
类型一 建立函数模型的应用题
[例1] 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元．市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
[分析] 解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价；先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值，可得汽车合适的销售单价．
[解] (1)因为y＝29－25－x，
所以y＝－x＋4(0≤x≤4)．
(2)z＝(8＋×4)y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)．
(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)．故当x＝1.5时，zmax＝50.
所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题.
[变式训练1] 据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，且为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解：(1)设y＝a(x－15)2＋17.5，
将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5.
解得a＝.
所以y＝(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为Q(x)，
则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－
＝－(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．
因为x＝23∈[10,25]，
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．
类型二 已知函数模型的应用题
[例2] 已知某产品市场价格与市场供应量P的关系近似满足P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t为关税的税率，且t∈[0，)，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图所示．
(1)根据图象求b，k的值；
(2)记市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝211－，当P＝Q时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值．
[解] (1)由图象知：
??
(2)当P＝Q时，有2(1－6t)(x－5)2＝211－，
即(1－6t)(x－5)2＝11－
?2(1－6t)＝＝
＝－.
令m＝，则2(1－6t)＝17m2－m.
∵x≥9，∴m∈(0，]．
当m＝时，2(1－6t)取最大值，故t≥，
即税率的最小值为.
(1(本题利用已知函数模型解决实际问题，首先利用给出的函数图象，通过待定系数法确定函数关系式，再利用函数关系式求最值，求最值时注意自变量的取值范围.
(2(对于题中已给出数学模型问题，只要解数学模型即可，较常用的方法是待定系数法解模型，然后利用相应的解析式及对应函数的性质解决实际问题.
[变式训练2] 灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100℃，过1小时后又测得瓶内水温变为98℃.已知某种奶粉必须用不低于85℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20℃)
解：根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k，
整理得e－60k＝.
利用计算器，解得k＝0.000 422 2.
故θ＝20＋80e－0.000 422 2t.
从早上六点至中午十二点共过去6小时，即360分钟．
当t＝360时，θ＝20＋80e－0.000 422 2×360＝20＋80e－0.152，
由计算器算得θ≈88℃>85℃，
即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉．
类型三 拟合函数模型的应用题
[例3] 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字)．
[分析] 只给出数据，没明确函数关系，这样就需要准确的画出散点图．然后根据图形选择合适的函数模型来解决实际问题．
[解] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．
观察散点图可以看出，A种商品的所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示．
取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示．
设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，
得解得所以y＝0.25x.
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.
设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，
那么
所以W＝－0.15(xA－)2＋0.15×()2＋2.6.
当xA＝≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB≈8.8(万元)．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．
拟合数据，建立函数模型解决实际问题的一般步骤：根据收集到的数据作出散点图，然后根据散点图的形状，选用比较接近的可能的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系，然后利用待定系数法确定出具体的函数解析式，若符合实际，可用此函数模型解释问题，若不符合实际，则继续选择模型，重复操作过程.
[变式训练3] 我国2014年至2017年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份
2014
2015
2016
2017
x
0
1
2
3
生产总值y
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
(1)画出函数图象，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．
解：
(1)画出函数图象，如图所示，从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的一次函数为y＝kx＋b(k≠0)．
把点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)的坐标代入上式，解方程组，得
因此所求的函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7.
(2)由得到的关系式计算出2015年和2016年的国内生产总值分别为0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，
0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
1．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( B )
解析：由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.
2．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( C )
A．y＝t3 B．y＝log2t
C．y＝2t D．y＝2t2
解析：符合指数函数模型．
3．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为14元．
解析：设销售单价应涨x元，则实际销售单价为(10＋x)元，此时日销售量为(100－10x)个，
每个商品的利润为(10＋x)－8＝2＋x(元)，
∴总利润y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200
＝－10(x－4)2＋360(0
4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln(1＋)．当燃烧质量是火箭质量的e6－1倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12 000时，2 000·ln(1＋)＝12 000，
∴ln(1＋)＝6，∴＝e6－1.
5．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6 000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．
(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲，y乙与购买台数x之间的函数关系式；
(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？
解：(1)y甲＝
＝
y乙＝5 100x(x∈N)，
(2)当x≤10时，显然y甲>y乙；
当x>10时，令y甲>y乙，
即4 200x＋18 000>5 100x，解得x<20.
答：当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．
——本课须掌握的三大问题
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．