2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.1.3集合的基本运算第1课时并集、交集教案新人教A版必修1

第1课时　并集、交集
[目标] 1.理解两个集合的并集和交集的定义，明确数学中的“或”“且”的含义；2.能借助于Venn图或数轴求两个集合的交集和并集，培养直观想象和数学运算两大核心素养；3.能利用交集、并集的性质解决有关参数问题，培养逻辑推理的核心素养．
[重点] 两集合并集、交集的概念及运算．
[难点] 两个集合并集、交集运算的应用及数形结合思想的渗透.
知识点一并集
[填一填]
1．并集的定义
文字语言表述为：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B.
符号语言表示为：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分．
2．并集的运算性质
(1)A∪B＝B∪A；
(2)A∪A＝A；
(3)A∪?＝A；
(4)A∪B?A，A∪B?B；
(5)A?B?A∪B＝B.
[答一答]
1．“或”的数学内涵是什么？
提示：“x∈A，或x∈B”包括了三种情况：
①x∈A，但x?B；②x∈B，但x?A；③x∈A，且x∈B.
2．A∪B的元素等于A的元素的个数与B的元素的个数的和吗？
提示：不一定，用Venn图表示A∪B如下：
当A与B有相同的元素时，根据集合元素的互异性，重复的元素在并集中只能出现一次，如上图②③④中，A∪B的元素个数都小于A与B的元素个数的和．
知识点二 交集
[填一填]
1．交集的定义
文字语言表述为：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B.
符号语言表示为：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分．
2．交集的运算性质
对于任何集合A，B，有
(1)A∩B＝B∩A；
(2)A∩A＝A；
(3)A∩?＝?；
(4)A∩B?A，A∩B?B；
(5)A?B?A∩B＝A.
[答一答]
3．如何理解交集定义中“所有”两字的含义？
提示：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；
②A与B的所有公共元素都属于A∩B；
③当集合A与B没有公共元素时，A∩B＝?.
4．当集合A与B没有公共元素时，A与B就没有交集吗？
提示：不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合的交集仍存在，即此时A∩B＝?.
5．若A∩B＝A，则A与B有什么关系？A∪B＝A呢？
提示：若A∩B＝A，则A?B；
若A∪B＝A，则B?A.
类型一集合的并集运算
[例1]　(1)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　)
A．{－1,0,1}　　　　　　　B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝(　　)
A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5C．{x|－35}
[答案]　(1)B　(2)A
[解析]　(1)集合M，N都是以列举法的形式给出的，根据并集的定义，可得M∪N＝{－1,0,1,2}．
(2)将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示．
可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
当求两个集合的并集时，对于用描述法给出的集合，首先明确集合中的元素，其次将两个集合化为最简形式；对于连续的数集常借助于数轴写出结果，此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集，此时要注意端点处是实心点还是空心点；对于用列举法给出的集合，则依据并集的含义，可直接观察或借助于Venn图写出结果，但要注意集合中元素的互异性.
[变式训练1]　(1)满足条件{1,3}∪B＝{1,3,5}的所有集合B的个数是(　D　)
A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4
解析：由条件{1,3}∪B＝{1,3,5}，根据并集的定义可知5∈B，而1,3是否在集合B中不确定．所以B可能为{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，故B的个数为4.
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1，或x>a，a≥4}，求A∪B.
解：∵A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1，或x>a，a≥4}，如图所示．
故A∪B＝{x|x≤3，或x>a，a≥4}．
类型二 集合的交集运算
[例2]　(1)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝(　　)
A．(0,2) B．[0,2]
C．{0,2} D．{0,1,2}
(2)若集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1} D．?
[分析]　化简A、B，然后利用交集的定义或数轴进行运算．
[答案]　(1)D　(2)C
[解析]　(1)∵|x|≤2，
∴－2≤x≤2，即A＝{x|－2≤x≤2}．
∵≤4.∴0≤x≤16.
又∵x∈Z，∴B＝{0,1,2,3，…，16}，∴A∩B＝{0,1,2}．
(2)∵A＝{x|－1≤x≤1}，又B＝{x|x≥0}，所以A∩B＝{x|－1≤x≤1}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x≤1}．
1.求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果.
2.在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰.此时数轴上方“双线”(即公共部分(下面的实数组成了交集.
[变式训练2]　(1)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝(　C　)
A．{2,1} B．{x＝2，y＝1}
C．{(2,1)} D．(2,1)
(2)若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈N}，B＝{x|x≤2，x∈N}，则A∩B＝(　D　)
A．{3} B．{x|1≤x≤2}
C．{2,3} D．{1,2}
解析：(1)A∩B＝{(x，y)|}＝{(2,1)}．
(2)由题意，知A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，结合Venn图可得A∩B＝{1,2}，故选D.
类型三 并集、交集的综合运算
命题视角1：与参数有关的交集、并集问题
[例3]　已知集合A＝{x|00}，求A∪B，A∩B.
[解]　(1)当0所以A∪B＝{x|x>0}，A∩B＝{x|a≤x≤2}．
(2)当a＝2时，如图(2)所示．
所以A∪B＝{x|x>0}，A∩B＝{2}．
(3)当a>2时，如图(3)所示．
所以A∪B＝{x|0含参数的集合进行并集与交集的基本运算时，要注意参数的不同取值对相关集合的影响，此类问题应根据参数的不同取值进行分类讨论.如该题中，应依据a与2的大小关系分为三类.若无a>0的限制条件，则应根据a与0，2的大小分为五类.
[变式训练3]　设集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A∪B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，求实数a，b，c的值．
解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈A，且－3∈B，
将－3代入方程x2＋ax－12＝0得a＝－1，
∴A＝{－3,4}，
又A∪B＝{－3,4}，A≠B，∴B＝{－3}．
∵B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，
∴(－3)＋(－3)＝－b，(－3)×(－3)＝c，
解得b＝6，c＝9，则a＝－1，b＝6，c＝9.
命题视角2：并集、交集的性质运用
[例4]　设集合A＝{－2}，B＝{x∈R|ax2＋x＋1＝0，a∈R}．若A∩B＝B，求a的取值范围．
[解]　由A∩B＝B，得B?A，
因为A＝{－2}≠?.
所以B＝?或B≠?.
(1)当B＝?时，方程ax2＋x＋1＝0无实数解，
即所以解得a>.
(2)当B≠?时，①当a＝0时，方程变为x＋1＝0，
即x＝－1.所以B＝{－1}，此时A∩B＝?，所以a≠0.
②当a≠0时，依题意知方程ax2＋x＋1＝0有相等实根，
即Δ＝0，所以1－4a＝0，解得a＝.
此时方程变为x2＋x＋1＝0，其解为x＝－2，满足条件．
综上可得a≥.
求解“A∩B＝B或A∪B＝B”类问题的思路：利用“A∩B＝B?B?A，A∪B＝B?A?B”转化为集合的包含关系问题.当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视，从而引发解题失误.
[变式训练4]　已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|m＋1≤x≤1－m}，且A∪B＝A，求实数m的取值范围．
解：∵A∪B＝A，∴B?A.
∵A＝{x|0≤x≤4}≠?，∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，有m＋1>1－m，解得m>0.
当B≠?时，用数轴表示集合A和B，如图所示，
∵B?A，∴解得－1≤m≤0.
检验知m＝－1，m＝0符合题意．综上所得，实数m的取值范围是m>0或－1≤m≤0，即m≥－1.
1．已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则A∪B＝(　B　)
A．{1,6,5,6,8}　　　　　　 B．{1,5,6,8}
C．{6} D．{1,5,8}
解析：求两集合的并集时，要注意集合中元素的互异性．
2．设S＝{x|2x＋1>0}，T＝{x|3x－5<0}，则S∩T＝(　D　)
A．? B．{x|x<－}
C．{x|x>} D．{x|－解析：S＝{x|2x＋1>0}＝，
T＝{x|3x－5<0}＝，
则S∩T＝.
3．若集合A＝{1,2}，B＝{1,2,4}，C＝{1,4,6}，则(A∩B)∪C＝(　D　)
A．{1} B．{1,4,6}
C．{2,4,6} D．{1,2,4,6}
解析：由集合A＝{1,2}，B＝{1,2,4}，得集合A∩B＝{1,2}．
又由C＝{1,4,6}，得(A∩B)∪C＝{1,2,4,6}．故选D.
4．已知集合A＝，B＝{y|y＝x2，x∈A}，A∪B＝.
解析：∵B＝{y|y＝x2，x∈A}＝，
∴A∪B＝.
5．已知A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，求x的值及集合B.
解：∵A∩B＝B，∴B?A，∴x2＝4或x2＝x.
解得x＝±2或x＝0或x＝1.经检验知，x＝1与集合元素的互异性矛盾，应舍去．∴x＝±2或x＝0，故B＝{1,4}或B＝{1,0}．
——本课须掌握的两大问题
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．