2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念第1课时函数的概念教案新人教A版必修1

第1课时　函数的概念
[目标] 1.理解函数的概念，明确函数的三要素；2.能正确使用区间表示数集；3.会判断两个函数是否相等；会求简单函数的函数值(或值域)和定义域，培养数学运算核心素养．
[重点] 函数概念的理解及对区间的认识．
[难点] 函数概念和符号y＝f(x)的理解及已知函数解析式求函数定义域的方法.
知识点一　　函数的有关概念
[填一填]
1．定义
2．相关名称
(1)自变量是x.
(2)函数的定义域是集合A.
(3)函数的值域是集合{f(x)|x∈A}．
3．函数的记法
集合A上的函数可记作：f：A→B或y＝f(x)，x∈A.
[答一答]
1．任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？
提示：不能．只有非空数集之间才能建立函数关系．
2．对于一个函数y＝f(x)，在定义域内任取一个x值，有几个函数值与其对应？
提示：根据函数的定义，对于定义域内的任意一个x，只有一个函数值与其对应．
3．在函数的定义中，值域与集合B有什么关系？
提示：值域是集合B的子集．
知识点二　　区间及有关概念
[填一填]
1．区间的定义
条件：a结论：
区间
闭区间
开区间
左闭右开区间
左开右闭区间
符号
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
2.特殊区间的表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
[答一答]
4．数集都能用区间表示吗？
提示：区间是数集的又一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}，就不能用区间表示．
5．“∞”是一个数吗？
提示：“∞”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远不能达到，不是一个数．因此以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．
6．区间之间可以像集合之间那样进行“交、并、补”运算吗？若A＝(1，＋∞)，B＝(－∞，2]，A∩B如何表示？
提示：区间只是集合的一种表示形式，因此对于集合的“交、并、补”运算仍然成立．
A∩B＝(1,2]．
类型一　函数的概念
[例1]　下列对应关系是集合A到集合B的函数的个数是(　　)
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0；
⑤A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示．
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
[答案]　B
[解析]　
序号
正误
原因
①
×
集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，故①不是集合A到集合B的函数
②
√
对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故②是集合A到集合B的函数
③
×
集合A中的元素是负数时，没有算术平方根，即在集合B中没有对应的元素，故③不是集合A到集合B的函数
④
√
对于集合A中的任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，故④是集合A到集合B的函数
⑤
×
集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素5和6与之对应，故⑤不是集合A到集合B的函数
(1(判断一个对应关系是否是函数，要从以下三方面去判断：①A，B必须是非空数集；②A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；③A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.
(2(函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中的变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.
[变式训练1]　下列对应关系或关系式中，是A到B的函数的是(　B　)
A．x2＋y2＝1，x∈A，y∈B
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图
C．A＝R，B＝R, f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z, f：x→y＝
解析：A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不一定唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．
类型二　　函数的图象特征
[例2]　设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是(　　)
[答案]　B
[解析]　A中，当1判定图形是否是函数的图象的方法：
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内移动直线l；
(3)若l与图形有一个交点，则是函数，若有两个或两个以上的交点，则不是函数．例如：
[变式训练2]　下图中的图象能够作为函数y＝f(x)的图象的有(　A　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：由函数的定义可知(1)(5)可作为函数图象，(2)、(3)、(4)对于x的值，可能有多个y值与之对应，所以不是函数图象．故选A.
类型三　用区间表示数集
[例3]　把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－2}；
(2){x|x<0}；
(3){x|－1[分析]　依据区间定义写出集合对应的区间，要注意端点的“取”、“舍”与中括号、小括号的关系．
[解]　(1){x|x≥－2}用区间表示为[－2，＋∞)；
(2){x|x<0}用区间表示为(－∞，0)；
(3){x|－1区间是数集的另一种表示形式，它具有简单、直观的优点，是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具.使用时要按要求书写.
[变式训练3]　集合{x|2≤x<5}用区间表示为[2,5)；集合{x|x≤－1，或3类型四　　函数的求值问题
[例4]　设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．
(2)求g(f(x))．
[分析]　求函数值，首先注意自变量的取值是否在函数的定义域内，然后才能代入运算；对于复合函数，要注意函数值不同的“身份”，函数值在复合函数中也会充当某些函数定义域内的元素．
[解]　(1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.
因为g(x)＝，所以g(a)＋g(0)＝
＋＝＋(a≠－2)，
g(f(2))＝g(10)＝＝.
(2)g(f(x))＝＝
＝.
(1(已知函数y＝f(x(，f(a(表示当x＝a时f(x(的函数值，是一个常量，而f(x(是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a(是f(x(的一个特殊值.
(2(求形如f(g(x((的函数值时，应遵循先内后外的原则.
(3(若是抽象函数求值问题，则一般采用赋值法.
[变式训练4]　(1)设函数f(x)＝2x－1，g(x)＝3x＋2，则f(2)＝3，g(2)＝8，f(g(2))＝15.
(2)已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝.
解析：(1)f(2)＝2×2－1＝3；g(2)＝3×2＋2＝8；
f(g(2))＝f(8)＝2×8－1＝15.
(2)令3x＋2＝4，得x＝.
又a＝2x＋1＝，∴a＝.
1．下列各图中，可表示函数y＝f(x)图象的只可能是(　D　)
解析：根据函数定义，每一个x值对应唯一的y值，选D.
2．已知函数f(x)＝，则f()＝(　D　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．a D．3a
解析：f()＝＝3a.
3．集合{x|－1≤x<5，且x≠3}用区间表示为[－1,3)∪(3,5)．
4．已知函数f(x)＝2x－1，则f[f(2)]＝5.
解析：∵f(2)＝2×2－1＝3，∴f[f(2)]＝f(3)＝3×2－1＝5.
5．已知函数f(x)＝x＋，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
解：(1)要使函数有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2, f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋.
——本课须掌握的两大问题
1．函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)确定的元素y与之对应．这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数．
2．对符号f(x)的理解
(1)f(x)表示关于x的函数，又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开写符号f(x)，如f，x，(x)等都是没有意义的．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．
(2)函数符号f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等．
(3)f(x)与f(a)，a∈A的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量．