2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第2课时分段函数教案新人教A版必修1

第2课时　分段函数
[目标] 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象，培养数学运算核心素养；2.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题，培养数学建模核心素养．
[重点] 分段函数求值、分段函数的图象及应用．
[难点] 对分段函数的理解．
知识点　　　　　分段函数
[填一填]
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
[答一答]
1．分段函数的定义域部分可以相交吗？
提示：分段函数的定义域部分是不可以相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．
2．分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的呢？
提示：(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数，它只不过是在定义域的不同子集内解析式不一样而已．
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．
3．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为[－4,3]．
解析：由题图可知，当x∈[－2,4]时，f(x)∈[－2,3]；当x∈[5,8]时，f(x)∈[－4,2.7]．故函数f(x)的值域为[－4,3].
类型一　　　　分段函数的定义域、值域
[例1]　(1)已知函数f(x)＝，则其定义域为(　　)
A．R　　　　　　　　　　 B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．
[分析]　分段函数的定义域、值域?各段函数的定义域、值域．
[答案]　(1)D　(2)(－1,1)　(－1,1)
[解析]　(1)由于f(x)＝＝故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由已知定义域为{x|0
[变式训练1]　已知函数f(x)＝
则函数的定义域为R，值域为[0,1]．
解析：由已知定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1]．
类型二　　　　分段函数求值
[例2]　已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－)))的值．
(2)若f(x)＝2，求x的值．
[分析]　分段考虑求值即可．
(1)先求f(－)，再求f(f(－))，
最后求f(f(f(－)))；
(2)分别令x＋2＝2，x2＝2，x＝2，
分段验证求x.
[解]　(1)f(－)＝(－)＋2＝.
∴f(f(－))＝f()＝()2＝，
∴f(f(f(－)))＝f()＝×＝.
(2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0，不符合x<0.
当f(x)＝x2＝2时，x＝±，
其中x＝符合0≤x<2.
当f(x)＝x＝2时，x＝4，符合x≥2.
综上，x的值是或4.
(1(分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得.(2(多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理.(3(已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
[变式训练2]　(1)已知函数f(x)＝
则f(1)的值为(　D　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．0
(2)设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝(　B　)
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
解析：(1)因为1>0，所以f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，故选D.
(2)当a≤0时，
由f(a)＝－a＝4，得a＝－4；
当a>0时，由f(a)＝a2＝4，
得a＝2或a＝－2(舍去)．
∴a＝－4或a＝2.
类型三　　　　　分段函数的图象
[例3]　画出下列函数的图象，并写出它们的值域．
(1)y＝
(2)y＝|x＋1|＋|x－3|.
[分析]　先化简函数式，再画图象，在画分段函数的图象时，要注意对应关系与自变量范围的对应．
[解]　(1)函数y＝的图象如图所示，观察图象，得函数的值域为(1，＋∞)．
(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y＝它的图象如图所示．观察图象，得函数的值域为[4，＋∞)．
作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数的取值情况决定着图象在分界点(关键点(处的断开或连接，断开时要分清断开点处是虚还是实.
[变式训练3]　(1)下列图形是函数y＝
的图象的是(　C　)
解析：因为f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；
当x<0时，y＝x2，则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分．因此只有选项C中的图象符合．
(2)已知函数f(x)＝|x－2|(x＋1)．
①作出函数f(x)的图象．
②判断直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的交点的个数．
解：①函数f(x)＝|x－2|(x＋1)，
去绝对值符号得f(x)＝
可得f(x)的图象如图所示．
②直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的图象的交点的个数．作出图象如图：
由图象可知．
当a<0时，有一个交点；
当a＝0时，有两个交点；
当0当a＝时，有两个交点；
当a>时，有一个交点．
综上，当a<0或a>时，有一个交点；
当a＝0或a＝时，有两个交点；
当0　　　　　　　　　　　　　
1．已知f(x)＝则f(x)的定义域为(　C　)
A．R B．(－∞，1]
C．(－∞，2) D．(1，＋∞)
2．已知f(x)＝则f()＋f(－)等于(　B　)
A．－2 B．4
C．2 D．－4
解析：f()＝2×＝，f(－)＝f(－＋1)＝f(－)＝f(－＋1)＝f()＝×2＝，所以f()＋f(－)＝＋＝4.
3．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝2.
解析：由题意知f(0)＝2.又f(2)＝22＋2a，所以22＋2a＝4a，即a＝2.
4．设函数f(x)＝则f[f(2)]＝－，函数f(x)的值域是[－3，＋∞)．
5．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)．
(1)求f[f(0)]的值；
(2)求函数f(x)的解析式．
解：(1)直接由图中观察，可得f[f(0)]＝f(4)＝2.
(2)设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b，
将与代入，
得
∴∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．
同理，线段BC所对应的函数解析式为y＝x－2(2∴f(x)＝
——本课须掌握的问题
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．
学习至此，请完成课时作业9
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分段函数在实际中的应用
开讲啦对于此类问题，要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示．用解析法表示时，首先找出自变量x和函数y，然后利用题干条件用x表示y，最后写出定义域．注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑使函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．
[典例]　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
[解]　如图，过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为ABCD是等腰梯形，
底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上时，即x∈[0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上时，
即x∈(2,5]时，y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上时，即x∈(5,7]时，
y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF
＝(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)得函数解析式为
y＝
函数图象如图所示．
[对应训练]　在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数的图象与x轴、直线x＝－1及x＝t围成的图形(如图阴影部分)的面积为S，则S关于t的函数图象为(　B　)
解：当－1≤t≤0时，S＝－，所以函数图象是开口向下的抛物线的一段，顶点坐标为；当0