2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性第1课时函数的奇偶性教案新人教A版必修1

第1课时　函数的奇偶性
[目标] 1.了解函数奇偶性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的方法，培养逻辑推理核心素养；3.了解奇、偶函数的图象的对称性，培养直观想象能力．
[重点] 掌握判断函数奇偶性的方法．
[难点] 奇偶性的含义及判断.
知识点一　　　　　偶函数、奇函数的概念
[填一填]
设函数f(x)的定义域为D，
1．偶函数：对任意x∈D，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．
2．奇函数：对任意x∈D，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．
[答一答]
1．奇偶性定义中的“任意”可以省略吗？
提示：不能省略．如函数y＝x2，x∈[－2,3]，有f(－2)＝4＝f(2)，f(－1)＝f(1)，但不能因此就说函数y＝x2，x∈[－2，3]是偶函数，因为f(－3)是没有定义的．从这个意义上来说，任意两字实则强调的是函数的定义域一定要关于原点对称．这个条件是必不可少的．抛开了这个条件去讨论函数的奇偶性是毫无意义的．也就是说在讨论一个函数的奇偶性之前，要先探讨函数的定义域．
2．从奇偶函数的定义来考虑，若对于奇(偶)函数定义域内的任意一个自变量x，它的相反数－x也在定义域内吗？由此得到什么结论？y＝x2，x∈[－1,1)是偶函数吗？
提示：在函数的定义域内，奇(偶)函数的定义域是对称的．y＝x2，x∈[－1,1)不是偶函数，原因是f(－1)≠f(1)．(f(1)不存在)．
3．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)等于什么？
提示：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，
即2f(0)＝0，f(0)＝0.
知识点二　　　　　　　偶函数、奇函数的图象特征
[填一填]
1．偶函数的图象关于y轴对称．
2．奇函数的图象关于原点对称．
[答一答]
4．一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数吗？函数图象关于原点对称呢？
提示：若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数；图象关于原点对称，则这个函数是奇函数．
5．如图是偶函数f(x)在y轴右侧部分的图象，试画出函数f(x)在y轴左侧部分的图象．
提示：利用偶函数的图象关于y轴对称的特点，可作出函数y＝f(x)在y轴左侧部分的图象．如图所示．
类型一　　　　　判断函数的奇偶性
[例1]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)；
(4)f(x)＝.
[分析]　首先确定函数的定义域是否关于原点对称，然后化简解析式，验证f(x)与f(－x)的关系．
[解]　(1)函数f(x)＝＋的定义域为{－1,1}，关于原点对称，此时f(x)＝0，
所以函数f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
(2)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
(3)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
①当a≠0时，f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－(|x＋a|－|x－a|)＝－f(x)；
②当a＝0时，f(x)＝|x＋a|－|x－a|＝|x|－|x|＝0.综上，当a≠0时，函数f(x)为奇函数；
当a＝0时，函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)由1－x2≥0，得－1≤x≤1.
由|x＋2|－2≠0，得x≠0，且x≠－4.
故函数f(x)的定义域是[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．
显然x∈[－1,0)∪(0,1]时，x＋2>0.
则f(x)＝＝.
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
(1(对复杂的函数解析式，要合理、恰当地变形，向有利于判断的方向进行，直到判断出其奇偶性为止.
(2(当函数中含有待定系数时，要注意对其进行分类讨论.
(3(因为函数的定义域是否关于原点对称是判断函数奇偶性的前提，所以判断函数的奇偶性时，应先判断函数的定义域是否关于原点对称.
[变式训练1]　(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　D　)
A．y＝　　　　　　 B．y＝x＋
C．y＝x2＋ D．y＝x＋x2
解析：A，C选项是偶函数，B选项是奇函数，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．∴选D.
(2)判断函数f(x)＝的奇偶性．
解：函数的定义域关于原点对称．当x>0时，－x<0，
f(－x)＝－x[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]
＝－x(1－x)＝－f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
类型二　　　　函数奇偶性的图象特征
[例2]　(1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,2)
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是________．
[答案]　(1)D　(2){x|－2[解析]　(1)由f(x)在(－∞，0]上是减函数，又偶函数的图象关于y轴对称知，f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
又由f(2)＝0知，函数图象过点(2,0)．
故作符合题设条件的示意图如图(1)，由图象知使f(x)<0的x的取值范围为(－2,2)，故选D.
(2)由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5，5]上的图象如图(2)，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象.奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反.
[变式训练2]　已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是(－∞，_1]∪[3,_＋∞)．
解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞， 1]∪[3, ＋∞)．
类型三　　　利用函数的奇偶性求参数
[例3]　(1)已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是(　　)
A．4　　　　 B．3　　　　 C．2　　　　 D．1
(2)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
[答案]　(1)C　(2)－1
[解析]　(1)因为函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，
即x2＋(2－m)x＋m2＋12＝(－x)2－(2－m)x＋m2＋12，即4－2m＝0，所以m＝2.
(2)法1：(定义法)　由已知f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
法2：(特值法)　由f(x)为奇函数得f(－1)＝－f(1)，
即＝－，
整理得a＝－1.
由函数的奇偶性求参数应注意两点
(1(函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.
(2(利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.
[变式训练3]　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝，b＝0；
(2)已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为5.
解析：(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)因为f(x)是奇函数，
所以f(－3)＝－f(3)＝－6，
所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.
1．f(x)＝x3＋的图象关于(　A　)
A．原点对称　　　　　　　 B．y轴对称
C．y＝x对称 D．y＝－x对称
解析：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋
＝－x3－＝－(x3＋)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，∴其图象关于原点对称．
2．函数f(x)＝的奇偶性为(　D　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数．
3．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝0.
解析：∵f(x)＝f(－x)，∴x2－|x＋a|＝x2－|－x＋a|.
∴|x＋a|＝|x－a|，平方得4ax＝0恒成立．
∴a＝0.
4．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝－2.
解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，
f(1)＝－f(－1)＝－2，
∴f(0)＋f(1)＝0－2＝－2.
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝，试求f(x)的解析式．
解：当x<0时，－x>0，此时f(x)＝f(－x)＝，
所以f(x)＝即f(x)＝.
——本课须掌握的三大问题
1．定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0)．
3．函数奇偶性的图象特征
(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
学习至此，请完成课时作业12
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抽象函数的奇偶性
开讲啦对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f(x)，f(－x)的式子．再利用奇偶性的定义加以判断．
[典例]　函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．
[证明]　令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.
又令a＝－x，b＝x，代入f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得
f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)．
即f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．
[名师点评]　(1)要善于对所给的关系式进行赋值．
(2)变形要有目的性，要以“f(－x)与f(x)的关系”为目标进行化简和变形．
[对应训练]　若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是(　C　)
A．f(x)为奇函数　　　　 B．f(x)为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数
解析：令x1＝x2＝0，得f(0)＝2f(0)＋1，所以f(0)＝－1.令x2＝－x1，得f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＋1，即f(－x1)＋1＝－f(x1)－1，所以f(x)＋1为奇函数．