2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性第2课时函数奇偶性的应用教案新人教A版必修1

第2课时　函数奇偶性的应用
[目标] 1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题．
[重点] 利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值．
[难点] 运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题.
知识点一　　函数奇偶性的性质
[填一填]
1．奇、偶函数代数特征的灵活变通
由f(－x)＝－f(x)，可得f(－x)＋f(x)＝0或＝－1(f(x)≠0)；由f(－x)＝f(x)，可得f(－x)－f(x)＝0或＝1(f(x)≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．
2．函数奇偶性的重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
[答一答]
1．什么函数既是奇函数又是偶函数？
提示：设f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，故－f(x)＝f(x)，所以f(x)＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f(x)＝0且其定义域是关于原点对称的非空数集．
2．利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？
提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．
(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
知识点二　　函数奇偶性与单调性的联系
[填一填]
由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同，而偶函数的图象关于y轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用函数单调性和奇偶性的定义．
[答一答]
3．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是f(－π)>f(3)>f(－2)．
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，
∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).
类型一　　利用函数的奇偶性求函数的值或解析式
[例1]　(1)已知函数f(x)＝ax3－bx＋3(其中a、b为常数)，若f(3)＝2 015，则f(－3)＝________.
(2)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．
[答案]　(1)－2 009　(2)见解析
[解析]　(1)法1：设g(x)＝f(x)－3，则g(x)＝ax3－bx，显然g(x)为R上的奇函数．
又g(3)＝f(3)－3＝2 015－3＝2 012，
所以g(－3)＝－g(3)，
即f(－3)－3＝－2 012，解得f(－3)＝－2 009.
法2：f(x)＋f(－x)＝6，f(－3)＝6－f(3)＝6－2 015＝－2 009.
(2)解：设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1.
又∵f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．
∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.
∴x<0时，f(x)＝x3＋x－1.
又f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
∴f(x)＝
(1(利用奇偶性求函数解析式时，求哪个区间的解析式就设x在哪个区间，然后转化代入已知区间的解析式，根据f(x(与f(－x(的关系求f(x(.
(2(本题中是求x∈R时的函数解析式，不要忘记x＝0的特殊情况.
[变式训练1]　(1)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　B　)
A．4　　　　　　　　　　 B．3
C．2 D．1
(2)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x，则x<0时，f(x)＝x2－x.
解析：(1)∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2.①
f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4.②
由①＋②得g(1)＝3，故选B.
(2)设x<0，则－x>0.∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x.
又∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝x2－x，∴当x<0时，f(x)＝x2－x.
类型二　函数的奇偶性与单调性的综合应用
命题视角1：比较大小
[例2]　若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是(　　)
A．f>f
B．fC．f≥f
D．f≤f
[答案]　C
[解析]　因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f＝f≥f.
奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断.
[变式训练2]　已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则(　D　)
A．f(6)>f(7) B．f(6)>f(9)
C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10)
解析：由题易知y＝f(x＋8)为偶函数，则f(－x＋8)＝f(x＋8)，则f(x)的图象的对称轴为x＝8.
不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图)，则有f(6)f(10)．故选D.
命题视角2：解不等式
[例3]　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)[分析]　由于f(x)是奇函数，可得f(x)在[－2,0]上递减，借助函数的奇偶性及其单调区间，可将抽象不等式f(1－m)[解]　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上是减函数．
所以不等式f(1－m)解得－1≤m<.
所以实数m的取值范围是.
解抽象不等式时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1(>f(x2(或f(x1([变式训练3]　已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
解析：因为f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，所以结合图象由f(2x－1)命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用
[例4]　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)成立．
(1)求f(1)的值．
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
(3)若f(4)＝1，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，解关于x的不等式f(3x＋1)＋f(－6)≤3.
[解]　(1)令x1＝x2＝1得，
f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
(2)令x1＝x2＝－1，则f(－1)＝0，
令x1＝－1，x2＝x，∴f(－x)＝f(x)，
又定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，∴f(x)为偶函数．
(3)∵f(4)＝1，又f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴f(4)＋f(4)＝f(4×4)＝f(16)，
∴f(16)＋f(4)＝f(16×4)＝f(64)，
∴f(64)＝f(4)＋f(4)＋f(4)，∴f(64)＝3.
∴f(3x＋1)＋f(－6)≤3等价于f(－6(3x＋1))≤3，
∴f(|－6(3x＋1)|)≤f(64)，∴
解得x∈[－，－)∪(－，]．
对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段.具体的解题策略是：首先通过赋值得到f(1(，f(0(，f(－1(之类的特殊自变量的函数值，然后通过赋值构造f(x(与f(－x(或f(x2(与f(x1(之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断.
[变式训练4]　已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝是增函数，且f＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.
解：(1)因为f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，则f(0)＝0，得b＝0.又因为f＝，
则＝?a＝1.所以f(x)＝.
(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是增函数，
由f(t－1)＋f(2t)<0，
得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)．
所以有
解得0故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为{t|01．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－)，b＝f()，c＝f()的大小关系是(　C　)
A．bC．a解析：f(x)为偶函数，则a＝f(－)＝f()．
又∵<<，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f()2．已知函数f(x)是偶函数，且x<0时，f(x)＝3x－1，则x>0时，f(x)＝(　C　)
A．3x－1 B．3x＋1
C．－3x－1 D．－3x＋1
解析：设x>0，则－x<0.∴f(－x)＝－3x－1.
又∵f(x)是偶函数，∴x>0时，f(x)＝f(－x)＝－3x－1.
3．若f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是(　D　)
A．f(0)f(3)
C．f(2)>f(0) D．f(－1)解析：∵f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)．又f(4)>f(1)，f(4)>f(－1)．
4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是(－∞，0)．
解析：∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1)．
∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．∴f(a－1)>f(－1)．
又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.
5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围．
解：∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0，
∴f(3a－10)<－f(4－2a)，
∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)，
∴f(3a－10)∴3a－10>2a－4，∴a>6.故a的取值范围为(6，＋∞)．
——本课须掌握的三大问题
1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．
2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．