2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念章末总结教案新人教A版必修1

本章总结

集合的关系主要有包含与真包含关系，它们与函数问题、解不等式都密切相关，特别是在已知A?B的情况下，不要忘记A＝?的情况．集合的关系与集合的运算关系密切，如，A∩B＝A，则A?B；A∪B＝A，则B?A.
集合的运算有交(∩)、并(∪)、补(?UA)这三种常见的运算，它是本章核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析法(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意端点值是否适合题意，以免增解或漏解．
[例1]　已知A＝{x|x2－7x＋12＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.
[解]　由x2－7x＋12＝0，得x＝3或x＝4，
∴A＝{3,4}．
∵A∪B＝A，∴B?A.
当B＝?时，a＝0，此时方程ax－2＝0无解．
∴当a＝0时，满足B?A.
当B≠?时，B＝{x|ax－2＝0}＝?{3,4}＝A.
∴＝3或＝4，
∴a＝或a＝.
综上，实数a＝0或a＝或a＝，
∴集合C＝.
[点评]　在解决集合问题时，首先需要考虑已知条件的转化，如本题中“A∪B＝A”需要转化为“B?A”，而在考虑B?A的情况中，B＝?时常会被忽略，所以在本题的求解过程中渗透了转化与化归的思想和分类讨论的思想．

函数的概念主要是对函数三要素：定义域、值域、对应关系的考查，其中定义域是研究任何函数问题的前提条件，而求函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点．
[例2]　已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的值域．
[分析]　(1)用待定系数法求解；(2)借助于二次函数的图象，利用函数的单调性求解．
[解]　(1)由f(2)＝4a＋2b＝0，得2a＋b＝0，①
f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，
即ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
∴b－1＝0，∴b＝1.
将其代入①得a＝－，
∴f(x)＝－x2＋x.
(2)由(1)知f(x)＝－(x－1)2＋，
显然f(x)在[1,2]上是减函数．
∴当x＝1时，f(x)max＝，
当x＝2时，f(x)min＝0，
故当x∈[1,2]时，函数的值域是.

函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．
函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题．
[例3]　(1)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则f(x)<0的解为________．
[解析]　(1)A项，由图象开口向下知a<0，由对称轴位置知－<0，所以b<0.又因为abc>0，所以c>0.而由题图知f(0)＝c<0，A错；B项，由题图知a<0，－>0，故b>0.又因为abc>0，所以c<0，而由题图知f(0)＝c>0，B错；选项C、D中，开口向上，故a>0，f(0)＝c<0.由abc>0知b<0，从而函数的对称轴x＝－>0，故C错D正确．故选D.
(2)由于f(x)为R上的奇函数，图象关于原点对称，因此可作出函数在(－∞，0)上的图象如图所示．由图可知f(x)<0的解集为(－∞，－4)∪(－2,0)∪(2,4)．
[答案]　(1)D　(2)(－∞，－4)∪(－2,0)∪(2,4)
[点评]　(1)识图．识别函数的图象，实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点：①函数的定义域；②函数图象的最高点(即最大值)和最低点(即最小值)；③与坐标轴的交点(即f(x)＝0或x＝0的点)；④图象的对称性(即函数的奇偶性)；⑤函数图象在某段区间上的变化趋势(即函数的单调性)．
(2)用图．因为函数的图象从图形上很好地反映了函数的性质，所以在研究函数的性质时要注意结合图象，在解方程和不等式时有时需画出图象，利用数形结合能达到快速解题的目的．

函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点．
[例4]　函数f(x)＝(x－2)(x＋m)为偶函数，则m＝________.
[解析]　f(x)＝(x－2)(x＋m)＝x2＋(m－2)x－2m为偶函数，所以m－2＝0，即m＝2.
[答案]　2
[例5]　若定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立，且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：y＝f(x)－1为奇函数；
(2)求证：f(x)是R上的增函数；
(3)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3.
[解]　(1)证明：因为定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立．
所以令x1＝x2＝0，
则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)－1.
即f(0)＝1.
令x1＝x，x2＝－x，
则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1.
所以[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0，
故y＝f(x)－1为奇函数．
(2)证明：由(1)知y＝f(x)－1为奇函数，
所以f(x)－1＝－[f(－x)－1]．
任取x1，x2∈R，且x10.
所以f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)－1
＝f(x2)－[f(x1)－1]
＝f(x2)－f(x1)＋1.
因为当x>0时，f(x)>1.
所以f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)＋1>1，
即f(x1)故f(x)是R上的增函数．
(3)因为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，且f(4)＝5，
所以f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，即f(2)＝3，
由不等式f(3m－2)<3，
得f(3m－2)由(2)知f(x)是R上的增函数，
所以3m－2<2，
即3m－4<0，即m<.
故不等式f(3m－2)<3的解集为.
[点评]　解决函数的单调性与奇偶性时的三点注意：
(1)要证明函数f(x)在区间D上不是单调函数，只要举一反例即可，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可．
(2)为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0)．
(3)如果f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)，如果f(x)是奇函数，那么f(0)＝0(原点有定义)，解题时常用．