2019-2020北师大版九年级数学下册第三章圆单元提高测试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.已知⊙O的半径为3，直线l上有一点P满足PO=3，则直线l与⊙O的位置关系是（?? ）
A.?相切??????????????????????????????B.?相离??????????????????????????????C.?相离或相切??????????????????????????????D.?相切或相交
2.有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（??? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
3.一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（ ???）
A.?6dm???????????????????????????????????B.?5dm????????????????????????????????????C.?4dm????????????????????????????????????D.?3dm
4.如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（?? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?4-
5.如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF的长为（??? ）
A.?5??????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7??????????????????????????????????????????D.?8
6.如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ??）
A.?60°??????????????????????????????????????B.?70°??????????????????????????????????????C.?72°?????????????????????????????????????D.?144°
7.如图，已知圆 的内接六边形 的边心距 ，则该圆的内接正三角形 的面积为（ ??）
A.?2???????????????????????????????????????B.?4????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
8.如图，等腰 的内切圆⊙ 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，且 ， ，则 的长是( ??)
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
9.如图，正六边形 的边长为2，分别以点 为圆心，以 为半径作扇形 ，扇形 .则图中阴影部分的面积是（??? ）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
10.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，把 沿BC折叠后，与弦AB交于点P，恰好OP⊥AB．若OP=1，AB=4，则BC：AC等于（?? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝8，OM：CM＝3：8，则⊙O的周长为________．
?
12.如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，若∠DCA=30°，AB=3，则阴影部分的面积为________．
13.如图， 是⊙ 上的四点，且点 是 的中点， 交 于点 ， ， ，那么 ________.
14.如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD= ，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________.
15.? 75°的圆心角所对的弧长是 cm，则此弧所在圆的半径是________cm．
16.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放人平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为________
三、解答题（每小题6分，共18分）
17.如图，在方格纸中，A，B，C三点都在小方格的顶点上（每个小方格的边长为1）．
（1）在图甲中画一个以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形，并求出它的周长．
（2）在图乙中画一个经过A，B，C三点的圆，并求出圆的面积．
18.如图，AE为△ABC外接圆⊙O的直径，AD为△ABC的高．
求证：
（1）∠BAD=∠EAC；
（2）AB?AC=AD?AE
19.如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．
（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；
（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．
四．解答题（每小题7分，共21分）
20.如图， 内接于⊙ ， 于 ， 是⊙ 的直径，若 ， ， ．
（1）求证： ．
（2）求 的长．
21.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切;
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．
22.已知，AB是 的直径，点C在 上，点P是AB延长线上一点，连接CP
（1）如图1，若 ．
求证：直线PC是 的切线；
若 ， ，求CP的长；
（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N， ，求BM的值．
五．解答题（每小题9分，共27分）
23.如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分 ， ，垂足为E.
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2， ，求线段EF的长.
24.如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC ， 切点是C ， 过点C作弦 于E ， 连接CO ， CB ．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若 ， ，求PA的长；
（3）试探究线段AB ， OE ， OP之间的数量关系，并说明理由．
25.如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．
（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由；
（2）求证：ND＝NE；
（3）若DE＝2，EC＝3，求BC的长．
2019-2020北师大版九年级数学下册第三章圆单元提高测试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.已知⊙O的半径为3，直线l上有一点P满足PO=3，则直线l与⊙O的位置关系是（?? ）
A.?相切??????????????????????????????B.?相离??????????????????????????????C.?相离或相切??????????????????????????????D.?相切或相交
解：当直线l与 ⊙O 相离时，距离大于3，∴l上不可能有点P满足OP=3； 当直线l与 ⊙O 相离时，距离等于3，∴l上有一点P满足OP=3； 当直线l与 ⊙O 相交时，距离小于3，但l上有无数点P满足OP=3； 故答案为：D. 2.有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（??? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
解： ①直径是圆中最长的弦，正确； ②在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，错误； ③圆中90°的圆周角所对的弦是直径，错误； ④在同圆或等圆中，相等的圆心角对的弧相等，错误； 综上，正确的有1个， 故答案为：A. 3.一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（ ???）
A.?6dm???????????????????????????????????B.?5dm????????????????????????????????????C.?4dm????????????????????????????????????D.?3dm
解：连结OD，OA，如图，设半径为r，
∵AB=8，CD⊥AB，
∴AD=4,点O、D、C三点共线,
∵CD=2，
∴OD=r-2，
在Rt△ADO中，
∵AO2=AD2+OD2 ， ,
即r2=42+（r-2）2 ，
解得：r=5，
故答案为：B.
4.如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（?? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?4-
解：设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，如图，
∵AB、AC与⊙O相切于点D、E，
∴AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，
又∵△ABC是边长为8的等边三角形，
∴AB=AC=BC=8，∠B=60°，
∴BD=CE，
∵OD=OE，
∴△ODB≌△OEC（SAS），
∴OB=OC= BC=4，
在Rt△ODB中，
∴sin60°= ，
即OD=OBsin60°=4× =2 ，
∴⊙O的半径为2 .
故答案为：A.
5.如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF的长为（??? ）
A.?5??????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7??????????????????????????????????????????D.?8
解：∵OE⊥AP，∴AE=PE， ∵OF⊥BP，∴PF=BF， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=AB=×10=5； 故答案为：A. 6.如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ??）
A.?60°??????????????????????????????????????B.?70°??????????????????????????????????????C.?72°?????????????????????????????????????D.?144°
解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC=∠C= (5?2)×180°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CBD== (180°?108°)=36°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°，
故答案为：C.
7.如图，已知圆 的内接六边形 的边心距 ，则该圆的内接正三角形 的面积为（ ??）
A.?2???????????????????????????????????????B.?4????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
解：如图所示，连接 ，过 作 于 ，
∵多边形 是正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴该圆的内接正三角形 的面积 ，
故答案为：D．
8.如图，等腰 的内切圆⊙ 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，且 ， ，则 的长是( ??)
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
解：连接 、 、 ， 交 于 ，如图，
等腰 的内切圆⊙ 与 ， ， 分别相切于点 ， ，
平分 ， ， ， ，
，
，
点 、 、 共线，
即 ，
，
在 中， ，
，
，
设⊙ 的半径为 ，则 ， ，
在 中， ，解得 ，
在 中， ，
， ，
垂直平分 ，
， ，
，
，
，
故答案为：D．
9.如图，正六边形 的边长为2，分别以点 为圆心，以 为半径作扇形 ，扇形 .则图中阴影部分的面积是（??? ）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
解：∵正六边形 的边长为2，
∴正六边形 的面积是： ， ，
∴图中阴影部分的面积是： ，
故答案为：B。
10.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，把 沿BC折叠后，与弦AB交于点P，恰好OP⊥AB．若OP=1，AB=4，则BC：AC等于（?? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
解：作点P关于BC的对称点P’，延长BO交 ⊙O?于另一点Q，连接AQ，P'Q，BP',延长PO交P'Q于点N，作CM⊥AB于点M. ∵AB=4，OP⊥AB， ∴AP=BP= AB=2， 由折叠可得BP'=BP=2，四边形ABP'Q是矩形， ∴四边形APNQ，BPNP'为正方形且边长都为2， ∴NB= ∵OP=1， ∴OB= ， 在等腰直角三角形QCN中，CN= QN= . ∵NP∥CM，∴△CMB∽△NPB， ∴ ， ∴CM=3，MB=3， ∴AM=AB-MB=1， 在Rt△ABC中，AC= ， ∴ . 故答案为:B. 二、填空题（每小题4分，共24分）
11.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝8，OM：CM＝3：8，则⊙O的周长为________．
?
解：如图，连接AO， 设比的每份为k, 则OM=3k, CM=8k, 则OC=CM-OM=8k-3k=5k, ∴OA=OC=5k, ∵AB⊥CD， ∴AM=BM=4, 在Rt△AOM中， AM2+OM2=OA2 ， 即9k2+16=25k2, 解得k=1, k=-1(舍)， ∴r=OA=5k=5， ⊙O的周长=2 πr=10 π. 12.如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，若∠DCA=30°，AB=3，则阴影部分的面积为________．
解：作DN⊥AB，垂足为N， ∵∠DCA=30°， ∴∠AOD=2∠ACD=60°， ∴∠BOD=120°， ∵AB=3， ∴OB= ， ∴S扇形BOD= ， ∵DN⊥AB，∴∠DNO=90°，在Rt△BOD中，sin60°=,∴DN= ， ∴S△BOD=,∴S阴影=S扇形BOD-S△BOD= 。 故答案为： 。
13.如图， 是⊙ 上的四点，且点 是 的中点， 交 于点 ， ， ，那么 ________.
解：连接 .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 。
故答案为:60°。
14.如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD= ，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________.
解：连接AE ， ∵∠ADE＝90°，AE＝AB＝4，AD＝2， ∴sin∠AED＝， ∴∠AED＝45°， ∴∠EAD＝45°，∠EAB＝45°， ∴AD＝DE＝2， ∴阴影部分的面积是：（4×﹣）+（）＝8﹣8， 故答案为：8﹣8． 15.? 75°的圆心角所对的弧长是 cm，则此弧所在圆的半径是________cm．
解：设此弧所在圆的半径是 rcm， 由题意得, 解得：r=6。 故答案为：6。 16.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放人平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为________
解：如图， ∵ △ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动， ∴△ABC≌△A1BC1≌△A1CA2 ， ∴A1B=AB=A1A2 ， AC1=BC=1， ∵ Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1 ∴∠CAB=∠CBA=45°， ∴∠OBA=45°+90°=135° ∴AB= ， ∴A1B=AB=A1A2= ， 扇形OBA1的面积= ， 半圆A1A2的面积为： ∴ 点A经过的路线与x轴围成图形的面积= 故答案为：
三、解答题（每小题6分，共18分）
17.如图，在方格纸中，A，B，C三点都在小方格的顶点上（每个小方格的边长为1）．
（1）在图甲中画一个以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形，并求出它的周长．
（2）在图乙中画一个经过A，B，C三点的圆，并求出圆的面积．
（1）解：如图甲，?ABCD即为所求作平行四边形，
其周长为2（AD+CD）=2（2 +4 ）=12 ；
（2）解：如图乙，⊙O即为所求作圆，
其面积为π?（ ）2=10π．
18.如图，AE为△ABC外接圆⊙O的直径，AD为△ABC的高．
求证：
（1）∠BAD=∠EAC；
（2）AB?AC=AD?AE
（1）证明：如图，连接CE，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠EAC+∠E=90°，
又∵∠B=∠E，
∴∠BAD=∠EAC
（2）在△ABD与△AEC中， ， ∴△ABD∽△AEC， ∴, ∴AB?AC=AD?AE
19.如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．
（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；
（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．
（1）解：）连接OC．
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAE=2α，
∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠E=90°，
∴2α+β=90°（0°＜α＜45°）
（2）解：连接OF交AC于O′，连接CF．
∵AO′=CO′，
∴AC⊥OF，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，
∴CF∥OA，∵AF∥OC，
∴四边形AFCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形AFCO是菱形，
∴AF=AO=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠FAO=2α=60°，
∴α=30°，
∵2α+β=90°，
∴β=30°，
∴α=β=30°．
四．解答题（每小题7分，共21分）
20.如图， 内接于⊙ ， 于 ， 是⊙ 的直径，若 ， ， ．
（1）求证： ．
（2）求 的长． （1）证明： 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
（2）解：∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
21.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切;
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．
（1）证明：如图，
连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD=BC=3，
又∵AE=7，
∴，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
22.已知，AB是 的直径，点C在 上，点P是AB延长线上一点，连接CP
（1）如图1，若 ．
求证：直线PC是 的切线；
若 ， ，求CP的长；
（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N， ，求BM的值．
（1）解：①证明：如图1中，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠PCB=∠A，
∴∠ACO=∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
②∵CP=CA，
∴∠P=∠A，
∴∠COB=2∠A=2∠P，
∵∠OCP=90°，
∴∠P=30°，
∵OC=OA=2，
∴OP=2OC=4，
∴ ．
（2）解：如图2中，连接MA．
∵点M是弧AB的中点，
∴ = ，
∴∠ACM=∠BAM，
∵∠AMC=∠AMN，
∴△AMC∽△NMA，
∴ ，
∴AM2=MC?MN，
∵MC?MN=9，
∴AM=3，
∴BM=AM=3．
五．解答题（每小题9分，共27分）
23.如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分 ， ，垂足为E.
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2， ，求线段EF的长.
（1）解：直线DE与⊙O相切，
连结OD.
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴DE是⊙O的切线
（2）解：过O作 于G，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形AODF是菱形，
∵ ， ，
∴ ，
∴
（2） 解：过O作 于G，
∴ ，∠AGO=90°，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形AODF是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴
24.如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC ， 切点是C ， 过点C作弦 于E ， 连接CO ， CB ．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若 ， ，求PA的长；
（3）试探究线段AB ， OE ， OP之间的数量关系，并说明理由．
（1）证明：连接OD ，
∵PC是⊙O的切线，
∴ ，即 ，
∵
∴
∴
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∴PD是⊙O的切线
（2）解：如图2，连接AC ，
∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∴
设 ， ，则由勾股定理得： ，解得： ，
， ，
∵ ，即 ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵
∴ ，即 ，
∴ ，
（3）解：
如图2，∵PC切⊙O于C ，
∴ ，
∴
∴ ，即
∵
∴
即 ．
25.如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．
（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由；
（2）求证：ND＝NE；
（3）若DE＝2，EC＝3，求BC的长．
（1）解：四边形AMCD是菱形，理由如下：
∵M是Rt△ABC中AB的中点，
∴CM＝AM，
∵CM为⊙O的直径，
∴∠CNM＝90°，
∴MD⊥AC，
∴AN＝CN，
∵ND＝MN，
∴四边形AMCD是菱形
（2）证明：∵四边形CENM为⊙O的内接四边形，
∴∠CEN+∠CMN＝180°，
∵∠CEN+∠DEN＝180°，
∴∠CMN＝∠DEN，
∵四边形AMCD是菱形，
∴CD＝CM，
∴∠CDM＝∠CMN，
∴∠DEN＝∠CDM，
∴ND＝NE
（3）解：∵∠CMN＝∠DEN，∠MDC＝∠EDN，
∴△MDC∽△EDN，
∴ ，
设DN＝x，则MD＝2x，由此得 ，
解得：x＝ 或x＝﹣ (不合题意，舍去)，
∴ ，
∵MN为△ABC的中位线，
∴BC＝2MN，
∴BC＝2 ．
2019-2020北师大版九年级数学下册第三章圆单元提高测试卷
姓名:___________班级：___________座号：___________得分：___________
一．选择题（30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二。填空题（24分）
11_________12_________13_________14_________15_________16_________
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
