2.3 双曲线培优训练 同步练习（解析版）

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双曲线强化训练
1．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（　　）
A． B． C． D．
【解析】由题意，设，如图所示，
因为是以为直角顶点的直角三角形，且，
由，所以，
由，所以，
所以，即，
所以，
所以，，
在直角中，，即，
整理得，所以，
故选D.

2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于，，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】由题意知直线的斜率为，，又，

由双曲线定义知，，.
由余弦定理：，，
即，
即，解得.
故双曲线渐近线的方程为.
故答案选D
3．，是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题，取点P为右支上的点，设
根据双曲线的定义知：
在三角形中，由余弦定理可得：
又因为 可得
即
又因为
所以
即
故选B
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】

连接,由双曲线的定义可得:, ,由,可得,在中,可得,在中,可得,由，可得,即有,可得,化为,得,解得 ,负值舍去,故选C.
5．若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【解析】依题意可得，设，则由，
得，整理得.
由得，
依题意可知，解得，
则双曲线C的虚轴长.
6．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线,交双曲线于,是另一焦点,若,则双曲线的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
【解析】由双曲线的对称性可知，是以点为直角顶点，且，则，
由双曲线的定义可得，
在中，，，故选：B.
7．双曲线的顶点为两点，为双曲线上一点，直线交的一条渐近线于点，若的斜率分别为求双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，由于，故，而，即，由于，故，化简得①，由于在双曲线上，故，即②，对比①②两个式子可知，故双曲线的离心率为，故选B.
8．设椭圆与双曲线在第一象限的交点为为其共同的左右的焦点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的取值范围为
A． B． C． D．
【解析】依题意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8，
∴ ，
，
解得
.
故选：D．
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作的渐近线的垂线，垂足为点，则的离心率为
A. B. C. D.
【解析】如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，

由点到直线的距离公式可得，
由勾股定理得，
在中，，，
在中，，，，
，
由余弦定理得，化简得，，
即，因此，双曲线的离心率为，故选：D。
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，且.设的离心率为，则=（ ）
A. B. C. D.
【解析】由题意，则①，又②，得＝，∵在渐近线上且，设为双曲线右顶点，如图，则，且，由得，于是，变形为，解得（舍去），故选B．


11．已知为双曲线的右焦点，是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，，且的中点在双曲线上，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解析】由双曲线的渐近线方程及，
可得，不妨设A在第二象限

设，由
可得，双曲线的右焦点坐标
可得的中点坐标，
所以：．
,整理得：，
所以或 （舍去）
故选：D．
12．已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意，，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为，则，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.
13．如图，F1，F2分别是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)

A. B.2
C. D.
【解析】连接，依题意知：
，，
所以
.
14．设，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上一点，若的重心和内心的连线与轴垂直，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【解析】画出图形如图所示，

设的重心和内心分别为，且圆与的三边分别切于点，由切线的性质可得．
不妨设点在第一象限内，
∵是的重心，为的中点，
∴，
∴点坐标为．
由双曲线的定义可得，
又，
∴，
∴为双曲线的右顶点．
又是的内心，
∴．
设点的坐标为，则．
由题意得轴，
∴，故，
∴点坐标为．
∵点在双曲线上，
∴，整理得，
∴．
故选A．
15．已知P为双曲线上一点，为双曲线C的左、右焦点，若，且直线与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【解析】依据题意作出图象，如下：

则，，
又直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，
所以,
所以
由双曲线定义可得：，所以，
所以
整理得：，即：
将代入，整理得：，
所以C的渐近线方程为
故选：A
16．设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为。若，则的离心率为_______________________。
【解析】如图所示：

因为焦点到渐近线的距离为，所以，则，所以，
因为，所以，
解得：.
17．已知双曲线的左、右焦点分别为，,过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________．
【解析】如图所示：
切点为，连接，过作于
是中点，

在中，根据勾股定理得：

渐近线方程为：
故答案为
18．已知双曲线：的左、右焦点为、，过且斜率为的直线与的一条渐近线在第一象限相交于点，若，则该双曲线的离心率为______.
【解析】∵，∴是直角三角形，又是中点，∴，又在双曲线渐近线上，∴，∴，变形可得：，，∴，.故答案为3.
19．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为_________.
【解析】
由题意，得，另一个焦点，
由对称性知，，
又因为线段的垂直平分线经过点，，
则，可得是正三角形，
如图所示，连接，则，
由图象的对称性可知，，
又因为是等腰三角形，
则，
在中，
由余弦定理：，
上式可化为，
整理得：，即，由于，
则，
故，故答案为.
在平面直角坐标系中，双曲线（）的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为____．

【解析】由题可得：双曲线（）的右准线方程为：，
两条渐近线方程分别，
由可得：
由双曲线的对称性可得：
所以△AOB的面积为
整理得：，即：
所以该双曲线的离心率为
21．已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，以为半径的圆交双曲线的右支于，两点（为坐标原点），的一个内角为，则双曲线的离心率为_______．
【解析】如下图所示：，且的一个内角为，
则为等边三角形，所以
连接，，则
，

，即
，故
又因为P为双曲线：上一点
所以，即
解得

22．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为__________．
【解析】由双曲线方程，得，所以渐近线方程为
比较方程，得
所以双曲线方程为，点
记双曲线的右焦点为，且点在双曲线右支上，所以
所以
由两点之间线段最短，得最小为
因为点在圆上运动
所以最小为点F到圆心的距离减去半径2
所以
所以的最小值为7
故答案为：7.

23．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．
【答案】（1）；（2）λ＝0或λ＝－4.
【解析】(1)由点在双曲线上，有.
由题意有，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，.
(2)联立得.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①
设，即.
又C为双曲线上一点，即，有.
化简得.②
又在双曲线上，所以.
由①式又有，
②式可化为，解得λ＝0或λ＝－4.
24．双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为双曲线的一条渐近线.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线交双曲线于、两点，交轴于点（点与的顶点不重合），当，且，求点的坐标.
【解析】（1）依题意可知：椭圆焦点坐标为，故双曲线的半焦距为.由于双曲线的渐近线为，故，结合可解得.故双曲线方程为.
（2）由题意知直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为，，则，因为，所以，所以，同理，所以，即①，又以及，消去得.当时，直线与双曲线的渐近线平行，不合题意，所以.由韦达定理有，代入①得，，所以所求点的坐标为.
25．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)依题意，b＝，＝2?a＝1，c＝2，∴双曲线的方程为：x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F2(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，
由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，
k≠±时，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，
△F1AB的面积S＝＝＝
2|k|·＝12|k|·＝6?k4＋8k2－9＝0，k2＝1，k＝±1，所以直线l的方程为y＝±(x－2)．
26．已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．
（）求双曲线的方程；
（）若直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（）设双曲线方程为．
由已知得，，，
∴．
故双曲线的方程为．
（）联立，
整理得．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴，
可得．（）
设、，的中点为．
则，，．
由题意，，∴．
整理得．（）
将（）代入（），得，
∴或．
又，即．
∴的取值范围是．
27．如图，设双曲线的上焦点为，上顶点为，点为双曲线虚轴的左端点，已知的离心率为，且的面积.

（1）求双曲线的方程；
（2）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，动直线与相切于点，与的准线相交于点，试推断以线段为直径的圆是否恒经过轴上的某个定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由已知，即，则，即，得， ，
又，则，得.
从而， ，所以双曲线的方程为.
（2）由题设，抛物线的方程为，准线方程为，
由，得，设点，则直线的方程为，
即，联立，得，
假设存在定点满足题设条件，则对任意点恒成立，
因为， ，则，
即对任意实数恒成立，
所以，即，故以为直径的圆恒经过轴上的定点.
28．双曲线过点且与椭圆有相同的焦点.
(1)求双曲线标准方程；
(2)若点M在双曲线上， 分别是双曲线的左、右焦点，且，求的面积.
【解析】（1）椭圆方程可化为，焦点在轴上，且，
故设双曲线方程为，
则有解得， ，
所以双曲线标准方程为．
（2）因为点在双曲线上，又，所以点在双曲线的右支上，
则有，
故解得， ，又，
因此在中， ，
所以．
．
29．如图为双曲线的两焦点，以为直径的圆与双曲线交于是圆与轴的交点，连接与交于，且是的中点，

（1）当时，求双曲线的方程；
（2）试证：对任意的正实数，双曲线的离心率为常数．
【解析】（1）由1有
设：

（2）
设
为常数
30．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过双曲线右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于，求．
【解析】(1)设双曲线方程为：，点代入得：，
所以所求双曲线方程为：
（2）直线的方程为：，
由 得：，
．
考点：(1)双曲线的方程； （2）直线与双曲线的综合问题．


























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