第三章 §2 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1.抛物线y2=8px(p>0),F为焦点,则p表示( B )
A.F到准线的距离 B.F到准线距离的
C.F到准线距离的 D.F到y轴的距离
[解析] 设y2=2mx(m>0),则m表示焦点到准线的距离,又2m=8p,∴p=.
2.抛物线y2=4x的焦点到其准线的距离是( C )
A.4 B.3
C.2 D.1
[分析] 利用抛物线y2=2py(p>0)中p的几何意义即可得答案.
[解析] ∵抛物线的方程为y2=4x,
∴2p=4,p=2.由p的几何意义可知,焦点到其准线的距离是p=2.故选C.
3.(2019·甘肃金昌市永昌一中高二期末)抛物线x2=4y关于直线x+y=0的对称曲线的焦点坐标为( B )
A.(1,0) B.(-1,0)
C.(,0) D.(0,-)
[分析] 由题意可得:抛物线x2=4y关于直线x+y=0对称的抛物线方程为(-y)2=4(-x),进而得到抛物线的焦点坐标.
[解析] 由题意可得:抛物线x2=4y关于直线x+y=0对称的抛物线方程为:(-y)2=4(-x),
即y2=-4x,其中p=2,
所以抛物线的焦点坐标为(-1,0).
故选B.
4.(2019·山东菏泽高二检测)过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( D )
A.圆 B.椭圆
C.直线 D.抛物线
[解析] 如图,设点P为满足条件的一点,不难得出结论:点P到点A的距离等于点P到y轴的距离,故点P在以点A为焦点,y轴为准线的抛物线上,故点P的轨迹为抛物线,因此选D.
5.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为( D )
A.2 B.3
C.4 D.5
[解析] 解法一:∵y=4,∴x2=4·y=16,∴x=±4,
∴A(±4,4),焦点坐标为(0,1),
∴所求距离为==5.
解法二:抛物线的准线为y=-1,∴A到准线的距离为5,又∵A到准线的距离与A到焦点的距离相等.
∴距离为5.
6.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A、B两点,过A、B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P、Q,则梯形APQB的面积为( A )
A.48 B.56
C.64 D.72
[解析] 联立
解得A(1,-2),B(9,6),
则|AP|=2,|BQ|=10,|PQ|=8,
S梯形==48.
二、填空题
7.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为__-__.
[解析] 抛物线方程化为标准形式为x2=y,由题意得a<0,∴2p=-,∴p=-,
∴准线方程为y==-=2,∴a=-.
8.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为__x=-2__(提示:抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).
[解析] 由直线y=-2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.
三、解答题
9.已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程.
(1)y2=6x;
(2)2y2-5x=0.
[解析] (1)∵2p=6,∴p=3,开口向右.
则焦点坐标是(,0),准线方程为x=-.
(2)将2y2-5x=0变形为y2=x.
∴2p=,p=,开口向右.
∴焦点为(,0),准线方程为x=-.
10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.
[解析] 解法一:设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点F,
由题设可得
解得或.
故抛物线方程为y2=8x,m的值为±2.
解法二:设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点F,准线方程为x=-.
根据抛物线定义,点M到焦点的距离等于5,也就是点M到准线的距离等于5,
则3+=5,∴p=4,
因此抛物线方程为y2=8x.
又点M(3,m)在抛物线上,于是m2=24,
∴m=±2.
B级 素养提升
一、选择题
1.已知点M是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,F为抛物线的焦点,若以|MF|为直径作圆,则这个圆与y轴的关系是( B )
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上三种情形都有可能
[解析] 如图,由MF的中点A作准线l的垂线AE,交直线l于点E,交y轴于点B;由点M作准线l的垂线MD,垂足为D,交y轴于点C,
则MD=MF,ON=OF,
∴AB====,∴这个圆与y轴相切.
2.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( C )
A.|P1F|+|P2F|=|P3F|
B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2
C.2|P2F|=|P1F|+|P3F|
D.|P2F|2=|P1F|·|P3F|
[解析] 因为P1、P2、P3在抛物线上,且2x2=x1+x3,两边同时加上p,得2(x2+)=x1++x3+,即2|P2F|=|P1F|+|P3F|,故选C.
3.(山西太原2018-2019学年高二期末)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,抛物线C:y2=8ax的焦点为F.若在E的渐近线上存在点P,使得⊥,则E的离心率的取值范围是( B )
A.(1,2) B.(1,]
C.[,+∞) D.(2,+∞)
[解析] 由题意得,A(a,0),F(2a,0),设P(x0,x0),由⊥,得·=0?x-3ax0+2a2=0,因为在E的渐近线上存在点P,则Δ≥0,即9a2-4×2a2×≥0?9a2≥8c2?e2≤?e≤,又因为E为双曲线,则14.(2019·全国Ⅱ卷理,8)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=( D )
A.2 B.3
C.4 D.8
[解析] 抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为,
椭圆+=1的焦点坐标为.
由题意得=,解得p=0(舍去)或p=8.故选D.
二、填空题
5.已知点A(0,2),抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,线段FA交抛物于点B,过B点作l的垂线,垂足为M,若AM⊥MF,则p=____.
[解析] 由抛物线的定义可得BM=BF,F(,0),又AM⊥MF,故点B为线段FA中点,即B(,1),所以1=2p×?p=.
6.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,0)关于原点O对称.点P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,且直线AP与BP的斜率之积等于2,则x0=__1+__.
[解析] ∵点B与点A(-1,0)关于原点O对称,∴B(1,0),根据题意,得=2,又y=4x0,∴2x0=x-1,即x-2x0-1=0,解得x0==1±,舍去负值,得x0=1+.
三、解答题
7.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1,求∠A1FB1.
[解析] 如图所示,由抛物线的定义得,|AF|=|AA1|,
|BF|=|BB1|,∴∠1=∠2,
∠3=∠4,
又∠1+∠2+∠3+∠4
+∠A1AF+∠B1BF=360°,
且∠A1AF+∠B1BF=180°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴2(∠2+∠4)=180°,
即∠2+∠4=90°,故∠A1FB1=90°.
8.如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2)、A(x1,y1)、B(x2,y2)均在抛物线上.
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.
[解析] (1)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px.
∵点P(1,2)在抛物线上,∴22=2p·1,得p=2.
故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1.
(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.
则kPA=(x1≠1),kPB=(x2≠1).
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB.
∴=-.∴y1+2=-(y2+2).
∴y1+y2=-4.
由A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,得
y=4x1,①y=4x2,②
由①-②得直线AB的斜率
kAB===-=-1(x1≠x2).
课件51张PPT。第三章圆锥曲线与方程§2 抛物线第1课时 抛物线及其标准方程自主预习学案
1.抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)____________的点的轨迹叫作抛物线,__________叫作抛物线的焦点,____________叫作抛物线的准线.距离相等 定点F 定直线l 2.抛物线的标准方程的几种形式
同一条抛物线在坐标平面内的位置不同,方程也不同,顶点在原点,以坐标轴为对称轴的抛物线有四种形式.请依据这四种抛物线的图形写出标准方程、焦点坐标及准线方程y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
3.焦点弦
过抛物线焦点的直线与抛物线相交,被抛物线所截得的线段,称为抛物线的__________.
4.通径
通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A、B两点,线段AB称为抛物线的通径,通径|AB|的长等于________.焦点弦 2p D D A 4.抛物线y2=4x上的点P到焦点的距离是5,则P点坐标是________________.(4,±4) 4 互动探究学案命题方向1 ?求抛物线的标准方程『规律方法』 求抛物线标准方程的方法:
①直接法:直接利用题中已知条件确定焦参数p.
②待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定焦参数p.当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线方程为y2=mx或x2=my.
已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式;已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式,需根据四种抛物线的图像及开口方向确定.〔跟踪练习1〕
根据下列条件写出抛物线的标准方程:
(1)准线方程为x=-1;
(2)焦点在x轴的正半轴上,焦点到准线的距离是2.命题方向2 ?抛物线的定义及其应用A 〔跟踪练习2〕
若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求点M的坐标.命题方向3 ?抛物线焦点弦性质『规律方法』 证法一分直线斜率存在与不存在两种情况讨论,同学们容易忽略斜率不存在的情形,应引起重视;证法二对直线方程的设法避免了直线的斜率不存在这一情况,解答更为简洁,在学习过程中应深刻体会.〔跟踪练习3〕
如图,抛物线顶点在原点,圆x2+y2-4x=0的圆心恰是抛物线的焦点.
(1)求抛物线的方程;
(2)一直线的斜率等于2,且过抛物线焦点,它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点,求|AB|+|CD|.[解析] (1)圆的方程为(x-2)2+y2=22,知圆心坐标为(2,0),即抛物线的焦点为F(2,0),∴p=4.
∴抛物线方程为y2=8x.
(2)由题意知直线AD的方程为y=2(x-2),
即y=2x-4,代入y2=8x,
得x2-6x+4=0.
设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=6.
∴|AD|=x1+x2+p=6+4=10.
又圆直径|BC|=4,
∴|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=10-4=6.命题方向4 ?与抛物线有关的最值问题『规律方法』 解决与抛物线有关的最值问题时,一方面注意从几何方面观察、分析,并利用抛物线的定义解决问题;另一方面,还要注意从代数角度入手,建立函数关系,利用函数知识求解.总之,与抛物线有关的最值问题主要有两种方法:①定义法;②函数法.〔跟踪练习4〕
在抛物线y2=2x上求一点P,使其到直线l:x+y+4=0的距离最小,并求最小距离.『规律方法』 解法一应用点到直线的距离公式建立目标函数,将原问题转化为函数的最值问题;解法二转化为求与已知直线平行并且与抛物线只有一个公共点(相切)的直线与已知直线的距离.抛物线的实际应用 (1)在实际应用问题中,有很多问题与抛物线有关.①抛物线在建筑工程中很有用途,如拱桥就是抛物线形.②探照灯或手电筒的反射镜的轴截面也是抛物线的一部分.此外,还有宇宙中的星体轨道等.
(2)要解决这些实际问题中有关的计算,我们可以利用坐标法,建立抛物线方程,利用抛物线的标准方程进行推理、运算.
[思路分析] 图(2)是图(1)中位于直线O′P右边的部分,故O′B为水池的半径,以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,则易得P点坐标,再由P在抛物线上求出抛物线方程,再由B点纵坐标求出B点的横坐标即可获解.『规律总结』 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论.
〔跟踪练习5〕
河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5 m时,水面宽为8 m,一小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面上的部分高0.75 m,则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时,小船开始不能通航?
[思路分析] 建立平面直角坐标系得出抛物线方程,借助抛物线方程分析求解.D 2.(安徽屯溪一中2017-2018学年高二期中)焦点在x轴,且焦点到准线的距离为2的抛物线方程为( )
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=±2x D.y2=±4x
[解析] 根据焦点到准线的距离为2,可得p=2,2p=4,结合抛物线焦点所在轴以及开口方向,即可求得抛物线的方程为y2=±4x,选D.D3.在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是( )
A.直线 B.抛物线
C.圆 D.双曲线
[解析] ∵点(1,1)在直线x+2y=3上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的直线.
4.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离为______.A9 5.(2019·天津文,12)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为_____________________.课 时 作 业 学 案第三章 §2 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1.(河南洛阳市2018-2019学年高二期末)抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是( C )
A.4 B.2
C. D.
[解析] 抛物线y=4x2,即x2=y的焦点到准线的距离为:p=.
2.(2019·阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
A.18 B.24
C.36 D.48
[解析] 设抛物线方程y2=2px(p>0)
|AB|即通径为∴2p=12,∴p=6,
点P到AB的距离为p=6,∴S△ABP=×12×6=36.
3.(福州市八县协作校2018-2019学年期末联考)已知A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是( A )
A.x=-1 B.x=-3
C.x=-1或x-3 D.y=-1
[解析] 过A作准线的垂直AC,过F作AC的垂线,垂足分别为C,B.
由题意∠BFA=∠OFA-90°=30°,
A点到准线的距离为:d=|AB|+|BC|=p+2=4,
解得p=2,
则抛物线的准线方程是x=-1.
故选A.
4.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是( B )
A.或 B.或
C.或 D.
[解析] 解法一:∵抛物线y2=6x,∴2p=6,∴=,
即焦点坐标F(,0)
设所求直线方程为y=k(x-)
与抛物线y2=6x消去y,得
k2x2-(3k2+6)x+k2=0
设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)
∴x1+x2=
∵直线过抛物线y2=6x焦点,弦长为12.
∴x1+x2+3=12,∴x1+x2=9
即=9,解得k2=1
k=tanα=±1,∵α∈[0,π)
∴α=或
解法二:弦长|AB|=(α为直线AB倾斜角)
∴12=,∴sin2α=
∵α∈[0,π),∴sinα=,
∴α=或α=.
5.(2019·安庆高二检测)设抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则·的值是( B )
A. B.-
C.3 D.-3
[解析] 抛物线y2=2x焦点(,0)
当直线AB斜率不存在时,
可得A(,1),B(,-1)
·=(,1)·(,-1)
=-1=-,∴选B.
6.(2018·全国卷Ⅰ理,8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=( D )
A.5 B.6
C.7 D.8
[解析] 由题意知直线MN的方程为 y=(x+2),
联立直线与抛物线的方程,得
解得或
不妨设M为(1,2),N为(4,4).
又∵ 抛物线焦点为F(1,0),∴ =(0,2),=(3,4).
∴ ·=0×3+2×4=8.
故选D.
二、填空题
7.一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=ax上,另一个顶点是坐标原点,如果这个三角形的面积为36,则a=__±2__.
[解析] 设正三角形边长为x.
36=x2sin60°,∴x=12.
当a>0时,将(6,6)代入y2=ax得a=2,
当a<0时,将(-6,6)代入y2=ax得a=-2,
故a=±2.
8.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为____.
[解析] 由条件B(,1)代入y2=2px得
1=2p×,∴p2=2,∴p=,∴B(,1),故d=.
三、解答题
9.一抛物线拱桥跨度为52 m,拱顶离水面6.5 m,一竹排上载有一宽4 m,高6 m的大木箱,问竹排能否安全通过?
[解析] 如图所示建立平面直角坐标系,
设抛物线方程为x2=-2py,则有A(26,-6.5),
设B(2,y),由262=-2p×(-6.5)得p=52,
∴抛物线方程为x2=-104y.
当x=2时,4=-104y,y=-,
∵6.5->6,∴能安全通过.
10.已知抛物线y2=8x,
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围.
(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
[解析] (1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.
(2)如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,又焦点F是△OAB的重心,则|OF|=|OM|.
因为F(2,0),所以|OM|=|OF|=3,
所以M(3,0),故设A(3,m).
代入y2=8x得m2=24,
所以m=2或m=-2,
所以A(3,2),B(3,-2),
所以|OA|=|OB|=,
所以△OAB的周长为2+4.
B级 素养提升
一、选择题
1.(山东潍坊2018-2019学年高二期末)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作倾斜角为60°的直线交曲线C于A,B,则|AB|=( D )
A.8 B.
C.16 D.
[解析] 抛物线C:y2=4x的焦点(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵过F且倾斜角为60°的直线为y=(x-1),
∴,整理得3x2-10x+3=0,
由韦达定理可知x1+x2=,
由抛物线的定义可知:|AB|=p+x1+x2=2+=.
故选D.
2.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( D )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知,准线方程为x=-2,∴p=4,
抛物线方程:y2=8x,焦点坐标(2,0).
设过A点的直线为y=k(x+2)+3
联立
化简得y2-y++16=0①
∴Δ=-4(+16)=0,
∴k=,k=-2(舍去).
将k=代入方程①,∴y=8,∴x=8.
B点坐标为(8,8).
∴kBF==.
3.(安徽省蚌埠市2017-2018学年高二期末)设抛物线y2=2x的焦点为F,互相垂直的两条直线过F,与抛物线相交所得的弦分别为AB,CD,则|AB|·|CD|的最小值为( A )
A.16 B.8
C.4 D.2
[解析] 设AB倾斜角为α,则|AB|=,因为AB,CD垂直,所以|CD|=,因此|AB|·|CD|==≥16,选A.
4.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( D )
A. B.
C. D.
[解析] 设A、B两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
由消去y得,k2x2+4x(k2-2)+4k2=0,
∴x1+x2=,x1x2=4.
由抛物线定义得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,
又∵|AF|=2|BF|,∴x1+2=2x2+4,
∴x1=2x2+2代入x1x2=4,得x+x2-2=0,
∴x2=1或-2(舍去),∴x1=4,
∴=5,∴k2=,
∵k>0,∴k=.
二、填空题
5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A,与C的一个交点为B,若A=M,则p=__2__.
[解析] 准线l为x=-,过点M(1,0)且斜率为的直线为y=(x-1).
联立解得
∴点A的坐标为(-,-(+1)).
又∵=,∴M点为AB的中点,
∴B点坐标为(+2,(+1)).
将B(+2,(+1))代入y2=2px(p>0),
得3(+1)2=2p(+2),解得p=2或p=-6(舍).
6.(2019·天津理,5)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为____.
[解析] 由已知易得,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1,所以|OF|=1.又双曲线的两条渐近线的方程为y=±x,不妨设点A,B,所以|AB|==4|OF|=4,所以=2,即b=2a,所以b2=4a2.又双曲线方程中c2=a2+b2,所以c2=5a2,所以e==.
三、解答题
7.如图,过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.
[解析] (1)当y=时,x=,
又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,
由抛物线定义得,所求距离为-=.
(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,
由y=2px1,y=2px0,相减得
(y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0),
故kPA==(x1≠x0).
同理可得kPB=(x2≠x0).
由PA、PB倾斜率角互补知kPA=-kPB,
即=-.
∴y1+y2=-2y0,故=-2.
设直线AB的斜率为kAB,由y=2px2,y=2px1,
相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1).
∴kAB==(x1≠x2).
将y1+y2=-2y0(y0>0)代入得
kAB==-,所以kAB是非零常数.
8.(2019·全国Ⅰ卷理,19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
[解析] 设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+.
又|AF|+|BF|=4,所以x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=-.
从而-=,得t=-.
所以l的方程为y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0,
所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=.
故|AB|=.
课件48张PPT。第三章圆锥曲线与方程§2 抛物线第2课时 抛物线的简单性质自主预习学案一只很小的灯泡发出的光,会分散地射向各方,但把它装在手电筒里,经过适当调节,就能射出一束较强的平行光,这是什么原因呢?
提示:手电筒内,在小灯泡的后面有一个反光镜,镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面,这种曲面叫抛物面,抛物线有一条重要性质,从焦点发出的光线,经过抛物面上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴射出,手电筒就是利用这个原理设计的.1.抛物线的几何性质x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 x轴 y轴 坐标原点 1 2p x1+x2+p -p2 C 2.设抛物线的顶点在原点,其焦点F在y轴上,又抛物线上的点P(k,-2)与点F的距离为4,则k等于( )
A.4 B.4或-4
C.-2 D.-2或2BA 4.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( )
A.8 B.16
C.32 D.61
[解析] 由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2.
代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0.
∴x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.B±8 互动探究学案命题方向1 ?抛物线的对称性『规律总结』 1.为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论.
2.不能把抛物线看作是双曲线的一支.虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴,但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线.〔跟踪练习1〕
等腰Rt△ABO内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△ABO的面积是( )
A.8p2 B.4p2
C.2p2 D.p2B 命题方向2 ?抛物线焦点弦的性质『规律总结』 解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解.〔跟踪练习2〕
(2019·河南洛阳市高二期末测试)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若x1+x2=10,则弦AB的长度为( )
A.16 B.14
C.12 D.10
[解析] 设抛物线的焦点为F,则|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=10+2=12.C命题方向3 ?抛物线性质的综合应用『规律总结』 应用抛物线性质解题的常用技巧
1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便.
2.轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.
3.在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.
4.圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表示要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值探路法找定点、定值.〔跟踪练习3〕
(福建泉州市普通高中2017-2018学年质量检测)如图,等腰直角三角形直角顶点位于原点O,另外两个顶点M,N在抛物线C:y2=2px(p>0)上,若三角形OMN的面积为16.
(1)求C的方程;
(2)若抛物线C的焦点为F,直线l:y=2x-1与C交于A,B两点,求△ABF的周长.与抛物线有关的最值问题 (1)具备定义背景的最值问题,可用定义转化为几何问题来处理.
(2)最值问题常用方法是由条件建立目标函数,然后利用函数求最值的方法进行求解,如利用二次函数在闭区间上最值的求法,利用函数的单调性等,亦可用均值不等式求解.『规律总结』
常见题型及处理方法:
(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离.可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离,再利用函数求最值的方法求解,亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题.
(2)求抛物线上一点到定点的最值问题.可以利用两点间的距离公式表示出所求距离,再利用函数求最值的方法求解,要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围.
(0,0) 1.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程是( )
A.x+4=0 B.x-4=0
C.y2=8x D.y2=16x
[解析] 依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x=-4的距离,因此其轨迹是抛物线,且p=8,顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,
∴其方程为y2=16x,故答案是D.DA 3.(2019·潍坊一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点(其中M在G、N之间且G在第一象限),若|GF|=4,|MN|=2|MF|,则p=______.2 4.抛物线y2=x的焦点和准线的距离等于__________.
[解析] 抛物线y2=x中2p=1,∴p=0.5,∴抛物线y2=x的焦点和准线的距离等于0.5.0.5 5.过抛物线y2=8x的焦点作直线l,交抛物线于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|的值为________.10 课 时 作 业 学 案