第一章 §4
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知命题“正方形的对角线互相垂直平分”，则( D )
A．该命题是假命题
B．该命题的条件是对角线互相垂直平分
C．该命题的逆否命题是假命题
D．该命题是“p且q”形式的命题
[解析] 这是一个“p∧q”形式的真命题，条件是正方形，逆否命题也是真命题，所以A，B，C不正确，D正确，故选D．
2．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是( B )
A．“p∨q”为假 B．“p∨q”为真
C．“p∧q”为真 D．以上都不对
3．下列命题中既是“p或q”形式，又是真命题的是( D )
A．方程x2－x＋2＝0的两根是－2,1
B．方程x2＋x＋1＝0没有实根
C．2n－1(n∈Z)是奇数
D．a2＋b2≥0(a，b∈R)
[解析] A选项中－2,1都不是方程的根；B选项不是“p或q”的形式；C选项也不是“p或q”的形式；D选项中a2＋b2≥0由a2＋b2>0或a2＋b2＝0构成，且是真命题，故选D．
4．已知p与q是两个命题，给出下列命题：
①只有当命题p与q同时为真时，命题“p或q”才能为真；
②只有当命题p与q同时为假时，命题“p或q”才能为假；
③只有当命题p与q同时为真时，命题“p且q”才能为真；
④只有当命题p与q同时为假时，命题“p且q”才能为假．
其中真命题是( B )
A．③ B．②和③
C．②和④ D．③和④
[解析] 利用“p或q”与“p且q”真假表判断．故选B．
5．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是( C )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
[解析] 由题意知点P(x，y)的坐标满足，验证各选项知，只有C成立．故选C．
6．(福建龙岩高中2018－2019学年期中)已知命题p：对?x∈R，总有2x>0；命题q：“x>1”是“x>3”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( D )
A．p∧q B．(?p)∧q
C．(?p)∨q D．p∧(?q)
[解析] 命题p：对?x∈R，总有2x>0，故p为真命题；
由x>1，不能得到x>3，由x>3，能够得到x>1，
∴“x>1”是“x>3”的必要不充分条件，故q为假命题．
∴p∧q为假命题，(?p)∧q为假命题，(?p)∨q为假命题，p∧(?q)为真命题．
故选D．
二、填空题
7．分别用“p或q”“p且q”“非p”填空：
(1)命题“2是偶数且为质数”是__p且q__的形式；
(2)命题“|x－1|>1的解为x>2或x<0”的是__p或q__的形式；
(3)命题“－3不小于零”是__非p__的形式．
8．已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k<0，则函数h(x)＝在(0，＋∞)上是增函数．则下列结论中错误的是__②③__.
①命题“p且q”为真；
②命题“p或?q”为假；
③命题“p或q”为假；
④命题“非p且非q”为假．
[解析] 由3－x>0，得x<3，所以命题p为真，命题?p为假．
又由k<0，易知函数h(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，所以命题q为真，命题?q为假．
综上可知命题“p且q”为真，命题“p或?q”为真，命题“p或q”为真，命题“?p且?q”为假．
三、解答题
9．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题的真假：
(1)p：2＋2＝5，q：3>2；
(2)p：9是质数，q：8是12的约数；
(3)p：??{0}，q：?＝{0}．
[解析] (1)p假q真
故“p且q”为假，“p或q”为真，“非p”为真
(2)p假q假
故“p且q”为假，“p或q”为假，“非p”为真
(3)p真q假
故“p且q”为假，“p或q”为真，“非p”为假．
10．指出下列命题的真假：
(1)命题：“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；
(2)命题：“－1是偶数或奇数”；
(3)命题：“属于集合Q，也属于集合R”；
(4)命题：“A(A∪B)”．
[解析] (1)此命题是“非p”的形式，其中，p：不等式|x＋2|≤0有实数解．因为x＝－2是该不等式的一个解，所以命题p是真命题，即非p为假命题．所以原命题为假命题．
(2)此命题是“p或q”的形式，其中，p：－1是偶数；q：－1是奇数．因为命题p为假命题，命题q为真命题，所以命题“p或q”为真命题．故原命题为真命题．
(3)此命题为“p且q”的形式，其中，p：∈Q；q：∈R，因命题p为假命题，命题q为真命题，所以，命题“p且q”为假命题，故原命题为假命题．
(4)此命题为“非p”的形式，其中，p：A?(A∪B)．因p是真命题，所以“非p”是假命题．故原命题为假命题．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( C )
A．(非p)或q B．p且q
C．(非p)或(非q) D．(非p)且(非q)
[解析] 本题考查命题的真假．
命题p：所有有理数都是实数为真命题．
命题q：正数的对数都是负数是假命题．
非p为假命题，非q是真命题，(非p)或(非q)是真命题，故选C．
2．命题s具有“p或q”形式，已知“p且r”是真命题，那么s是( B )
A．假命题
B．真命题
C．与命题q的真假性有关
D．与命题r的真假性有关
[解析] 由题意可知，“p且r”是真命题，则可知p是真命题，则可知“p或q”是真命题．故选B．
3．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R为减函数．
则在命题q1：p1或p2，q2：p1且p2，q3：(非p1)或p2和q4：p1且(非p2)中，真命题是( C )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
[解析] 本小题考查了命题的相关知识，结合指数函数的单调性，综合考查了含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题真假．
p1是真命题，则非p1为假命题；p2是假命题，则非p2为真命题；
∴q1：p1或p2是真命题，q2：p1且p2是假命题，
∴q3：(非p1)或p2为假命题，q4：p1且(非p2)为真命题．
∴真命题是q1，q4，故选C．
4．(2019·全国Ⅲ卷文，11)记不等式组表示的平面区域为D．命题p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q ②?p∨q ③p∧?q ④?p∧?q
这四个命题中，所有真命题的编号是( A )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
[解析] 方法1：画出可行域如图中阴影部分所示．
目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴ 2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；
命题q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．∴ ①③真，②④假．
故选A．
方法2：取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．
∴ ①③真，②④假．
故选A．
二、填空题
5．已知命题p：任意x∈R，x<－1，则该命题的否定是?p：
__存在x∈R，x≥－1__.
[解析] 由全称命题的否定为特称命题，可得命题p：任意x∈R，x<－1，则该命题的否定是?p：存在x∈R，x≥－1.
故答案为：存在x∈R，x≥－1
6．已知命题p：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2，命题q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，那么p且q：__方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2且方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3__，其真假是__假命题__；p或q：__方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2或方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3__，其真假是__假命题__.
[解析] ∵p：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2，
q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，
∴p且q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2且方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，为假命题．
p或q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2或方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，为假命题．
三、解答题
7．写出下列命题的否定：
(1)a、b、c都相等；
(2)任何三角形的外角都至少有两个钝角；
(3)(x－2)(x＋5)>0.
[解析] (1)a、b、c不都相等，也就是说a、b、c中至少有两个不相等．
(2)存在一个三角形，其外角最多有一个是钝角．
(3)因为(x－2)(x＋5)>0表示x<－5或x>2，
所以它的否定是x≥－5且x≤2，即－5≤x≤2.
另解：(x－2)(x＋5)>0的否定是(x－2)(x＋5)≤0，
即－5≤x≤2.
8．已知p：|3x－4|>2；q：>0；r：(x－a)(x－a－1)<0.
(1)?p是?q的什么条件；
(2)若?r是?p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[解析] (1)p：|3x－4|>2?x>2或x<，
q：>0?x>2或x<－1，
?p：≤x≤2，?q：－1≤x≤2，
∴?p??q，?q?p，
∴?p是?q的充分不必要条件．
(2)r：a
记A＝{x|x≥a＋1或x≤a}
B＝{x|≤x≤2}
∵?r是?p的必要不充分条件，
∴B?A，∴a≥2或a＋1≤，即a≥2或a≤－.
所以实数q的取值范围(－∞，－]∪[2，＋∞)．
课件39张PPT。第一章常用逻辑用语§4 逻辑联结词“且”“或”“非”自主预习学案要在某居民楼一楼与二楼的楼梯间安一盏灯，一楼和二楼各有一个开关，使得任意一个开关都能独立控制这盏灯，你能运用“或”“且”的方法解决吗？
1．“且”“或”命题与真假判定p∧q p且q 真命题 假命题 p∨q p或q 真命题 假命题 2.命题p的否定?p
(1)“非”命题的表示及读法
对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“________”，读作“________”或“p的否定”．
(2)含有“非”的命题的真假判定?p 非p 假 真 1．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( )
A．“p或q”形式的命题
B．“p且q”形式的命题
C．“非p”形式的命题
D．以上均不正确
[解析] 相等且平分包含两个同时成立的结论，所以它是p且q形式的命题．故选B．B2．如果命题“p或q”与命题“?p”都是真命题，那么( )
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定为真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q的真假相同
[解析] ?p为真命题，所以p为假命题，又p∨q为真命题，∴q为真命题．故选B．B3．“x不大于y”是指( )
A．x≠y B．x＜y或x＝y
C．x＜y D．x＜y且x＝y
[解析] “不大于”是指“小于或等于”．故选B．B4．由下列各组命题构成“p∨q”“p∧q”“?p”形式的新命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“?p”为真的是( )
A．p：3是偶数；q：4是奇数
B．p：3＋2＝6；q：5＞3
C．p：a∈{a，b}，q：{a}?{a，b}
D．p：Q?R；q：N＝Z
[解析] 由题意知，p假q真，只有B满足．故选B．B5．命题p：a2＋b2＜0(a、b∈R)，命题q：a2＋b2≥0(a、b∈R)，下列结论正确的是( )
A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真
C．“?p”为假 D．“?q”为真
[解析] 因为p为假q为真，所以“p∧q”为假；“p∨q”为真；“?p”为真；“?q”为假．故选A．A6．(2019·福建龙岩市高二期末)已知命题p：?x∈R，x2＋3x＝4.则?p是____________________________.
[解析] ∵命题p：?x∈R，x2＋3x＝4，
∴命题?p：?x∈R，x2＋3x≠4，
故答案为：?x∈R，x2＋3x≠4.互动探究学案命题方向1 ?p且q命题『规律方法』 判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断．〔跟踪练习1〕
指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q，并判断它们的真假．
(1)(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)既能被2整除，也能被3整除；
(2)函数y＝x2＋x＋2的图像与x轴没有公共点，并且不等式x2＋x＋2＜0无解．
[解析] (1)此命题为“p且q”形式的命题，其中p：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被2整除；q：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被3整除，其中p为真命题，q为真命题，所以“p∧q”为真命题．
(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中，p：函数y＝x2＋x＋2的图像与x轴没有公共点；q：不等式x2＋x＋2＜0无解．因为p为真命题，q也为真命题，所以“p且q”为真命题．命题方向2 ?p或q命题[解析] (1)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：相似三角形的面积相等；q：相似三角形的对应角相等．
因为p假、q真，所以p∨q为真命题．
(2)命题“集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集”是由命题：
p：集合A是A∩B的子集；
q：集合A是A∪B的子集
用“或”联结后构成的新命题，即p∨q.
因为命题q是真命题，所以命题p∨q是真命题．
(3)命题“周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等”是由命题：
p：周长相等的两个三角形全等；
q：面积相等的两个三角形全等
用“或”联结后构成的新命题，即p∨q.
因为命题p，q都是假命题，所以命题p∨q是假命题．『规律方法』 判断p∨q形式命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为有真则真，全假为假．〔跟踪练习2〕
对下列各组命题，用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假．
(1)p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
(3)p：π是整数，q：π是分数．
[解析] (1)p∨q：“正数或负数的平方大于0”，即“非零实数的平方大于0”，是真命题．
(2)p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解，是真命题．
(3)p∨q：“π是整数或分数”，即“π是有理数”，是假命题．命题方向3 ??p命题『规律方法』 ?p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反．对一些词语的正确否定是写?p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”“p∧q”的否定是“?p∨?q”等．〔跟踪练习3〕
写出下列命题的否定形式．
(1)面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
[解析] (1)面积相等的三角形不都是全等三角形．
(2)?m、n满足m2＋n2＝0，但实数m、n不全为零．
(3)?xy＝0，但x≠0且y≠0.用逻辑联结词求参数的范围 由复合命题的真假求参数的取值范围的解题思路：①此类题目一般会出现“p或q”为真，“p或q”为假，“p且q”为真，“p且q”为假等条件，解题时应先将这些条件转化为p，q的真假．p，q的真假有时是不确定的，需要讨论．但无论哪种情况，一般都是先假设p，q为真，求出参数的取值范围，当它们为假时取补集即可．②相关结论：使“p或q”为真的参数的取值范围为使命题p，q分别为真的参数的取值范围的并集；使“p且q”为真的参数的取值范围为使命题p，q分别为真的参数的取值范围的交集． (2019·福州八县一中期末改编)设命题p：?x∈R，x2－2x>a，其中a∈R，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.如果?p为假命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
[思路分析] 求出两个命题是真命题时的a的范围，判断复合命题的真假，然后求解实数a的取值范围．『规律总结』 1.根的分布
已知方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况求参数的范围时，一般要从两个方面分析：(1)判别式．(2)根与系数的关系．
2．重视命题真假的判断规律
对于含有联结词的命题的真假的判断，要根据“p且q”“p或q”的真假判断p、q的真假，如本例就是由“p或q”为真，“p且q”为假，判断出p、q一真一假．
3．分类讨论的意识
在解决问题时，当出现不同情况时要注意分类讨论．
〔跟踪练习4〕
若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出非p.若非p是假命题，则a的取值范围是什么？
[解析] 非p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．
因为非p为假命题，所以p为真命题．
故－(a－1)≥4.
所以a≤－3，即所求a的取值范围是(－∞，－3]．[辨析] 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论．
[正解] (1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.
(2)p∧q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．『规律方法』 (1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p∨q”，“p∧q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；
(2)只联结了两个命题的条件．1．若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p且q是真命题 B．p或q是假命题
C．非p是真命题 D．非q是真命题
[解析] 本题主要考查逻辑联结词．利用命题真值表进行判断．根据命题真值表知，q是假命题，非q是真命题．故选D．DC 3．命题“任意x∈R,2x>0”的否定是( )
A．存在x∈R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0≤0
C．任意x∈R,2x<0 D．任意x∈R,2x≤0 B4．(安徽省蚌埠市2017－2018学年高二期末)命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是________________________.
[解析] 命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是：存在四面体没有内切球．存在四面体没有内切球 5．写出下列命题的否定形式和否命题．
(1)等腰三角形有两个内角相等；
(2)自然数的平方是正数．
[解析] (1)否定形式：存在某个等腰三角形，它的任意两个内角都不相等．
否命题：任意两边都不相等的三角形，其任意两个内角都不相等．
(2)否定形式：存在一个自然数，它的平方不是正数．
否命题：如果一个数不是自然数，则它的平方不是正数．课 时 作 业 学 案