第二章 §1
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中正确的是( D )
A．任意两个空间向量都可以比较大小
B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小
C．空间向量的大小与方向有关
D．空间向量的模可以比较大小
[解析] 任意两个空间向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A、B不正确；向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确；由于向量的模是一个实数，故可以比较大小．
2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么与直线AM垂直的向量有( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由于所求的是向量，所以首先排除B，在剩下的三个选项中，通过正方体的图形可知D项正确．
3．空间中，起点相同的所有单位向量的终点构成的图形是( D )
A．圆 B．球
C．正方形 D．球面
[解析] 根据模的概念知终点在以起点为球心，半径为1的球面上．
4．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是( C )
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
[解析] 先画出平行六面体的图像，可看出向量、在平面ACD1上，由于向量平行于，所以向量经过平移可以移到平面ACD1上，因此向量、、为共面向量．
5.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°.在所有棱所在的向量中，平面BB1C1C的法向量有( D )
A．0个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 由于三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱且∠ACB＝90°，所以A1C1⊥平面BB1C1C，AC⊥平面BB1C1C，所以平面BB1C1C的法向量是：，，，，共4个．
6．已知正方形ABCD的边长为4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则向量的模为( A )
A．6 B．9
C．4 D．5
[解析] GC⊥平面ABCD，所以GC⊥AC．在Rt△GAC中，AC＝4，GC＝2，所以AG＝＝6，即||＝6.
二、填空题
7．下列有关平面法向量的说法中，正确的是__①②③__(填写相应序号)．
①平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量；
②一个平面的所有法向量互相平行；
③如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直；
④如果a，b与平面α平行，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．
[解析] 当a与b共线时，n就不一定是平面α的法向量，故④错误．
8．在长方体中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1,2,3，在以长方体的两个顶点为起点和终点的向量中，模为1的向量有__8__个．
[解析] 研究长方体模型可知，棱长为1的棱有4条，故模为1的向量有8个．
三、解答题
9．如图，在棱长为1的正三棱柱ABC－A1B1C1中：
(1)以正三棱柱的两个顶点为始点和终点的向量中，举出与向量相等的向量；
(2)以正三棱柱的两个顶点为始点和终点的向量中，举出向量的相反向量；
(3)若E是BB1的中点，举出与向量平行的向量．
[解析] (1)由正三棱柱的结构特征知与相等的向量只有向量.
(2)向量的相反向量为、.
(3)取AA1的中点F，连接B1F，则、、都是与平行的向量．
10.如图，正方体ABCD－EHGF，写出平面ABCD所有的法向量，并求〈，〉、〈，〉．
[解析] 平面ABCD所有的法向量有、、、、、、、.由于正方体的三条棱DA、DC、DF互相垂直，所以〈，〉＝90°，〈，〉＝90°.
B级 素养提升
一、选择题
1．对于空间向量，有以下命题：
①单位向量的模为1，但方向不确定；
②如果一个向量和它的相反向量相等，那么该向量的模为0；
③若a∥b，b∥c，则a∥c；
④若ABCD－A′B′C′D′为平行六面体，则＝.
其中真命题的个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ③中当b＝0时，结论不成立，其它3个命题都是真命题，故选C．
2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，与向量的模相等的向量至少有( A )
A．7个 B．3个
C．5个 D．6个
3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有( A )
A．8个 B．7个
C．6个 D．5个
[解析] 与向量平行的向量就是直线AB的方向向量，有、、、、、、、，共8个，所以选A．
4.＝的一个必要不充分条件是( C )
A．A与C重合
B．A与C重合，B与D重合
C．||＝||
D．A、B、C、D四点共线
[解析] 向量相等只需方向相同，长度相等，而与表示向量的有向线段的起点、终点的位置无关．表示两个共线向量的两条有向线段所在的直线平行或重合，不能得到四点共线．
二、填空题
5．在下列命题中：①若a、b为共面向量，则a、b所在的直线平行；②若向量a、b所在直线是异面直线，则a、b一定不共面；③平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；④平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量．其中正确命题的个数为__2__.
[解析] ①②是错误的，共面向量所在的直线不一定平行，只要能平移到一个平面内就可以．
6．如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，O、O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则〈、〉＝__0°__，〈，〉＝__0°，〈，〉＝__90°__.
[解析] 由题意得，方向相同，是在同一条直线AC上，故〈，〉＝0°；可平移到直线AC上，与重合，故〈，〉＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故〈，〉＝90°.
三、解答题
7.如图所示，正四棱锥P－ABCD的底面边长为1.
(1)试判断向量，，，中哪个是单位向量；
(2)举出与向量相等的向量．
[解析] (1)单位向量即模为1的向量，则、、、都是单位向量．
(2)由于向量与向量方向相同，且模都为1，故是与向量相等的向量．
8．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，F是D1B1的中点．
(1)问：向量、、是否为共面向量？
(2)求〈，〉；
(3)写出平面BB1C1C的一个法向量．
[解析] (1)向量在平面D1B1BD上，由于向量、平行于平面D1B1BD，所以向量、、都能够平移到平面D1B1BD上，即向量、、是共面向量．
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，为平面A1B1BA的法向量，又在平面A1B1BA上，所以⊥，即〈，〉＝90°.
(3)平面BB1C1C的一个法向量为(或、、)．
课件48张PPT。第二章空间向量与立体几何向量(或矢量)，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．
从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系.18世纪末，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算，把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数(包括数量部分和向量部分)，以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克斯韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积，并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为一套优良的数学工具．
学习目标
1.空间向量及其运算
(1)了解空间向量的概念、空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
2.空间向量的应用
(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．
(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
(3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．
(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．§1 从平面向量到空间向量自主预习学案刘强从家出发，先乘电梯下行15 m，再向北行走100 m，最后向东行走200 m，到达学校．
在这个例子中，刘强从家到学校所发生的总位移是三个位移的合成，它们是不在同一个平面内的位移．如何刻画这样的位移？
既有大小又有方向 大小 0或π
5．向量与平面
(1)平面的法向量：如果直线l垂直于平面α，那么把______________________叫作平面α的法向量．
(2)共面向量：在空间中，如果__________________________________，则称这个向量平行于该平面．平行于同一平面的一组向量叫作共面向量．
不共面向量：不平行于同一平面的一组向量叫作不共面向量．直线l的方向向量a 一个向量所在直线平行于一个平面 1．若空间向量a与向量b不相等，则a与b一定( )
A．有不同的方向 B．有不相等的模
C．不可能是平行向量 D．不可能都是零向量
[解析] a、b不相等，可能方向不同，也可能模不相等，所以A、B、C都不正确，只有D正确．DB D 4．直线的方向向量与直线上任意一向量的夹角是__________________.
[解析] 由直线的方向向量的定义易得．0°或180° 120° 互动探究学案命题方向1 ?向量的有关概念C 『规律方法』 本题重点考查了空间向量的相关概念，解决此类题往往借助实例和举反例的方法求解，因此，又考查了数形结合思想、特殊与一般的思想．命题方向2 ?向量的夹角
命题方向3 ?法向量方向向量 『规律总结』 证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证直线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量，只要证明直线垂直于平面即可．都可转化为已学过的空间几何问题．
[辨析] 在选项A中，若b＝0，则结论不成立；在选项B中，向量共面与直线共面的不同点在于三个向量中的一个向量所在直线与另两个向量所在平面平行时，三个向量所在的直线虽然不共面，但这三个向量是共面的；选项D中，若a＝b＝0时，有无数个λ满足等式，而不是唯一一个；若b＝0，a≠0，则不存在λ使a＝λb.
[正解] C1．下列说法正确的是( )
A．零向量即是模为零的向量，所以它没有方向
B．在空间，向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
[解析] A错误．零向量的方向任意；B错误．空间中，向量可以任意平行移动；C错误，若a与b互为相反向量，向量不同，但长度相等，D正确．DB 60° 相等 相反 ③④ 课 时 作 业 学 案
