第二章 §3 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知向量a、b不共线,p=ma+nb,则p=0的充要条件是( B )
A.mn=0 B.m=0且n=0
C.m+n=0 D.m=n
[解析] ∵a、b不共线,p=ma+nb=0,∴m=0且n=0.故选B.
2.已知m=a+b,n=2a+2b(a、b不共线),则m与n( A )
A.共线 B.不共线
C.不共面 D.以上都不对
[解析] ∵n=2m,∴m与n共线.故选A.
3.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x+y等于( D )
A.2 B.-2
C.1 D.0
[解析] ∵m与n共线,∴xa+yb+c=z(a-b+c).
∴∴∴x+y=0.
4.已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是( A )
A.(12,14,10) B.(10,12,14)
C.(14,12,10) D.(4,3,2)
[解析] =8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.
5.在空间四边形OABC中,G是△ABC的重心,若=a,=b,=c,则等于( A )
A.a+b+c B.a+b+c
C.a+b+c D.3a+3b+3c
[解析] 如图,取AB的中点M,连接CM,则必过G点,则=(+)=[(-)+(-)]=a+b-c.
==a+b-c,
所以=+=a+b+c.故选A.
6.下列各命题中,正确的是( B )
A.单位向量都相等
B.若=+,则O、P、A、B共面
C.若=x+y+z,当x+y+z=1时,四点P、A、B、C共线
D.如果向量a、b、c不是共面向量,那么对于空间任意一个向量p均可用a、b、c表示,但表示方法是不唯一的
二、填空题
7.设命题p:a、b、c是三个非零向量;命题q:{a,b,c}为空间的一个基底,则命题p是命题q的__必要不充分__条件.
8.{a,b,c}构成空间中的一个基底,==是p=x1a+y1b+z1c与q=x2a+y2b+z2c共线的__充分不必要__条件.
三、解答题
9.如图所示,空间四边形OABC中,G、H分别是△ABC、△OBC的重心,设=a,=b,=c.试用向量a、b、c表示向量.
[解析] 设BC的中点为D.
∵=+,而=,
=-,=(+),
∴=+
=+(-)
=+×(+)-
=++=a+b+c.
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O为正方形ABCD的中心,试求向量,的坐标.
[解析] 设正方体的棱长为1,如图,可设=e1,=e2,=e3,以e1,e2,e3为坐标向量建立空间直角坐标系D-xyz.
∵=-
=+-(+)
=+--
=e1-e2+e3,
∴=(,-,1).
又=+=+=-e1+e3,
∴=(-1,0,).
综上:=(,-,1),=(-1,0,).
B级 素养提升
一、选择题
1.三棱柱ABC-A1B1C1中,M、N分别BB1,AC的中点,设=a,=b,=c,则等于( D )
A.(a+b+c) B.(a+b-c)
C.(a+c) D.a+(c-b)
[解析] 因为=++=-b+a+c,所以选D.
2.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,p=a+b,q=a-b,一定可以与向量p,q构成空间的另一个基底的是( C )
A.a B.b
C.c D.无法确定
[解析] ∵a=p+q,∴a与p、q共面,
∵b=p-q,∴b与p、q共面,
∵不存在λ、μ,使c=λp+μq,
∴c与p、q不共面,故{c,p,q}可作为空间的一个基底,故选C.
3.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,又d=αa+βb+γc,则α、β、γ分别为( A )
A.,-1,- B.,1,
C.-,1,- D.,1,-
[解析] d=αa+βb+γc=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3.又因为d=e1+2e2+3e3,
所以有:解得
4.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量与向量所成的角为( D )
A.60° B.150°
C.90° D.120°
[解析] 由条件知,||=a,||=a,
·=(-)·(+)
=·-||2+·-·
=-||2-·=-a2,
∴cos〈,〉===-.
∴向量与所成的角为120°,故选D.
二、填空题
5.在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,则在如图所示的空间直角坐标系中,的坐标是__(-2,-1,-4)__,的坐标是__(-4,2,-4)__.
[解析] =-=---=-2i-j-4k;=++=-4k-4i+2j.
∴=(-2,-1,-4),=(-4,2,-4).
6.三棱锥P-ABC中,∠ABC为直角,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M为PC的中点,N为AC中点,以{,,}为基底,则的坐标为__(,0,-)__.
[解析] =-=(+)-(+)=-,即=.
三、解答题
7.如图,已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′,点E在AC′上,且AE∶EC′=1∶2,点F,G分别是B′D′和BD′的中点,求下列各式中的x,y,z的值.
(1)=x+y+z;
(2)=x+y+z;
(3)=x+y+z.
[解析] (1)∵AE∶EC′=1∶2,
∴=
=(++)
=(++)
=++,
∴x=,y=,z=.
(2)∵F为B′D′的中点,
∴=(+)=(+++)
=(2++)=++,
∴x=1,y=,z=.
(3)∵G、F分别为BD′、B′D′的中点,
∴=,∴x=,y=0,z=0.
8.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=1,AD=2,AA′=3,E、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的中点,以{,,}为基底,求下列向量的坐标.
(1),,;(2),,.
[解析] (1)=+=+
=+=(0,2,),
=+=+=(1,1,0),
=++
=++
=(,2,3).
(2)=-
=(++)-(+)
=+=(,0,),
=-
=(+)-(+)
=--=(1,-1,-),
=-=+-
=-
=(1,-1,0).
课件41张PPT。第二章空间向量与立体几何§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理第1课时 空间向量的标准正交分解
与坐标表示及空间向量基本定理自主预习学案众所周知,地球上的每一点都对应着唯一的经度和纬度,如山东省的省会济南市就位于北纬36度40分,东经117度00分,而我们的首都北京的经度是东经116度42分,纬度是北纬39度54分.经度和纬度是地球上任意点的“坐标”,无独有偶,在数学上我们用到的很多量(包括向量)也有坐标,今天我们要学习的就是空间向量的坐标及其运算问题.
1.空间向量基本定理
定理:如果三个向量a、b、c__________,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=____________________.其中{______________}叫作空间向量的一个基底,______________都叫作基向量.
2.空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底
三个有公共起点O的____________的单位向量e1、e2、e3称为单位正交基底.不共面 两两垂直 原点 e1,e2,e3 平移 xe1+ye2+ze3 x,y,z p=(x,y,z) 1.如果a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则( )
A.a与b共线 B.a与b同向
C.a与b反向 D.a与b共面
[解析] 因为空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底,因此,a、b必与任何向量共面,所以a、b为共线向量.故选A.A 2.向量a=(0,2,3),则( )
A.a平行于x轴 B.a平行于平面yOz
C.a平行于平面zOx D.a平行于平面xOy
[解析] 因为a的横坐标为0,所以a平行于平面yOz.故选B.BB 互动探究学案命题方向1 ?空间向量基本定理『规律方法』 用基底表示空间向量,一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则,及加法的平行四边形法则,加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡,直到全部用基向量表示.命题方向2 ?探索性问题
〔跟踪练习2〕
设a1=2i-j+k,a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+5k,试问是否存在实数λ、μ、v,使a4=λa1+μa2+va3成立?如果存在,求出λ、μ、v的值;如果不存在,请给出证明.『规律方法』 本题的意思是a4能否用a1、a2、a3线性表示.其实,只要a1、a2、a3不共面,就可以表示空间任一向量.线性运算在向量运算中具有十分重要的作用.空间向量的坐标表示 1.建立空间直角坐标系时,必须寻求三条两两垂直的直线.
2.空间向量坐标表示的方法与步骤:
(1)观图形:充分观察图形特征.
(2)建坐标系:根据图形特征建立空间直角坐标系.
(3)用运算:综合利用向量的加减及数乘运算.
(4)定结果:将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标.
共面 [错解]
[辨析] 正确理解共面向量的概念.『规律方法』 判断三个向量是否共面,注意向量共面的充要条件的表达式,在解题时切记结合图形,运用数形结合法写出向量表达式,如本例中(1)式,注意相反向量在化简中的作用,如本例中(2)式.A C 4.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:
①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},
④{x,y,a+b+c},
其中可以作为空间的基底的向量组有______个.
[解析] ②③④都可以作为空间的一组基底,对于①,x=a+b,显然a、b、x共面,故{a,b,x}不能作为空间的一个基底.3 课 时 作 业 学 案第二章 §3 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1.(山西太原2018-2019学年高二期末)在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,1),B(3,2,1),则线段AB的中点的坐标是( B )
A.(1,1,1) B.(2,1,1)
C.(1,1,2) D.(1,2,3)
[解析] ∵A(1,0,1),B(3,2,1),
∴线段AB的中点的坐标(,,),即(2,1,1).
故选B.
2.(2019·河南郑州市高二期末测试)已知a=(2,4,x)、b=(2,y,2),若|a|=6,a⊥b,则x+y的值是( A )
A.-3或1 B.3或-1
C.-3 D.1
[解析] ∵|a|=6,∴|a|2=36,
∴4+16+x2=36,∴x2=16,x=±4.
又∵a⊥b,∴a·b=4+4y+2x=0,
∴x+2y+2=0.
当x=4时,y=-3,当x=-4时,y=1,
∴x+y=1或-3.
3.(浙江湖州2017-2018学年期末调研)如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过点D的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.若的坐标为(3,4,5),则的坐标是( A )
A.(-3,4,-5) B.(-3,5,4)
C.(-3,4,5) D.(3,-4,5)
4.(2019·福建三明市高中联盟高二期末)已知a=(1,0,2),b=(-1,1,0),c=(-1,y,2),若a,b,c三向量共面,则实数y的值为( D )
A.-2 B.-1
C.0 D.2
5.已知A(2,1,3)、B(-4,2,x)、C(1,-x,2),若向量+与垂直(O为坐标原点),则x等于( D )
A.-4 B.-3
C.3 D.4
[解析] +=(2,1,3)+(-4,2,x)=(-2,3,x+3)
∵(+)⊥,
∴-2-3x+2x+6=0,解得x=4.
6.已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是( B )
A.(-2,+∞) B.(-2,)∪(,+∞)
C.(-∞,-2) D.(,+∞)
[解析] ∵a与b的夹角为钝角,
∴a·b<0且〈a,b〉≠180°
∴a·b=(3,-2,-3)·(-1,x-1,1)
=3×(-1)+(-2)·(x-1)+(-3)×1<0
∴x>-2
〈a,b〉≠180°即x≠,∴x>-2且x≠,故选B.
二、填空题
7.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|=__3__.
[解析] a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+2(3,1,0)=(9,3,0),所以|a-b+2c|==3.
8.下列各组向量中共面的为__①③__.(填序号)
①a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)
②a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2)
③a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1)
④a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)
[解析] 不妨设基底为{i,j,k}.
①设a=xb+yc,则可得
i+2j+3k=(3x+4y)i+2yj+(2x+5y)k,
∴,∴
这表明存在实数x=-1,y=1,使a=xb+yc,
∴a、b、c共面.
同理可知③中a、b、c共面,其余不共面.
三、解答题
9.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.
(1)设a与b的夹角为θ,求cosθ;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k的值.
[解析] a==(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),
b==(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2).
(1)cosθ===-.
(2)ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),
ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4),
∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,
即2k2+k-10=0,∴k=-或k=2.
10.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以、为边的平行四边形的面积.
(2)若|a|=,且a分别与、垂直,求向量a.
[解析] (1)=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
cosθ===,
∴sinθ=.
∴S?=||||sinθ=7.
∴以、为边的平行四边形面积为7.
(2)设a=(x,y,z),由题意,得
解得或.
∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).
B级 素养提升
一、选择题
1.已知空间四点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),D(x,-1,3)共面,则x的值为( D )
A.4 B.1
C.10 D.11
[解析] =(-2,2,-2),=(-1,6,-8),=(x-4,-2,0),
∵A、B、C、D共面,∴、、共面,
∴存在λ、μ,使=λ+μ,
即(x-4,-2,0)=(-2λ-μ,2λ+6μ,-2λ-8μ),
∴∴
2.若向量a=(1-t,1-t,t-1),b=(2,t-2,t+1),则|b-a|的最小值是( B )
A. B.3
C. D.5
[解析] ∵b-a=(2,t-2,t+1)-(1-t,1-t,t-1)=(1+t,2t-3,2),
∴|b-a|=
==,
当t=1时,|b-a|有最小值3.故选B.
3.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( C )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
[解析] =(5,1,-7),=(2,-3,1).
因为·=2×5-3×1-7×1=0,
所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.
又因为||=5,||=,
即||≠||,
所以△ABC为直角三角形.故选C.
4.已知两点的坐标为A(3cosα,3sinα,1),B(2cosβ,2sinβ,1),则||的取值范围是( B )
A.[0,5] B.[1,5]
C.(1,5) D.[1,25]
[解析] =(2cosβ-3cosα,2sinβ-3sinα,0),则||
=
=.
由于cos(α-β)∈[-1,1],所以||∈[1,5].故选B.
二、填空题
5.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)满足条件(c-a)·(2b)=-2,x=__2__.
[解析] c-a=(1,1,1)-(1,1,x)=(0,0,1-x).
∴(c-a)·(2b)=(0,0,1-x)·(2,4,2)=2-2x=-2.
∴x=2.
6.已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则:
(1)a·(b+c)=__9__;
(2)(a+2b)·(a-2b)=__-38__.
[解析] (1)b+c=(2,0,5),a·(b+c)
=(2,-3,1)·(2,0,5)=9.
(2)|a|=,|b|=,(a+2b)·(a-2b)
=|a|2-4|b|2=-38.
三、解答题
7.设a、b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量,根据下列条件判断l1,l2的位置关系:
(1)a=(4,6,-2)、b=(-2,-3,1);
(2)a=(5,0,2)、b=(0,1,0);
(3)a=(-2,-1,-1)、b=(4,-2,-8).
[解析] (1)∵a=(4,6,-2)、b=(-2,-3,1),
∴a=-2b,∴a∥b,∴l1∥l2.
(2)∵a=(5,0,2)、b=(0,1,0),
∴a·b=0,a⊥b,∴l1⊥l2.
(3)∵a=(-2,-1,-1),b=(4,-2,-8),
∴a与b不共线也不垂直.∴l1与l2相交或异面.
8.已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).
(1)求△ABC的面积.
(2)求△ABC中AB边上的高.
[解析] (1)由已知,得=(1,-3,2),=(2,0,-8),
∴||==,
||==2,
·=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,
∴cos〈,〉=
==,
∴sin〈,〉==.
∴S△ABC=||·||·sin〈,〉
=×2××=3.
(2)设AB边上的高为CD.
则||==3,
即△ABC中AB边上的高为3.
课件43张PPT。第二章空间向量与立体几何§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理第2课时 空间向量运算的坐标表示自主预习学案向量的坐标表示为我们展示了一幅美丽的画卷,那么将向量坐标化之后,向量的线性运算、数量积运算及向量平行、垂直、向量的模、夹角的坐标表示是不是更简化了?1.空间向量坐标运算的法则
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
a+b=__________________________________________;
a-b=__________________________________________;
λa=________________________________________;
空间向量平行的坐标表示为a∥b(b≠0)?x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).(x1+x2,y1+y2,z1+z2) (x1-x2,y1-y2,z1-z2) (λx1,λy1,λz1)(λ∈R) (x2-x1,y2-y1,z2-z1) x1x2+y1y2+z1z2 对应坐标的乘积之和 x1x2+y1y2+z1z2=0 1.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是( )
A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6)
C.a·b=10 D.|a|=6DB B -2 π 互动探究学案命题方向1 ?向量运算的坐标表示[思路分析] 利用空间向量的运算法则坐标形式求解.
[解析] (1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)
=(2+0,-1-1,-2+4)
=(2,-2,2).
(2)a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)
=(2-0,-1+1,-2-4)
=(2,0,-6).(3)(2a)·(-b)=(4,-2,-4)·(0,1,-4)
=4×0+(-2)×1+(-4)(-4)
=14.
(4)(a+b)·(a-b)=a2-b2
=4+1+4-(0+1+16)
=-8.『规律方法』 进行运算时可以适当地选择求解方法,如计算(a+b)·(a-b),可以先求a+b与a-b,再点乘,也可以用公式写出a2-b2=|a|2-|b|2然后计算.〔跟踪练习1〕
已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求3a+2b,a·b.
[分析] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似,向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.
[解析] 因为a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),
所以3a+2b=3(2,-1,-2)+2(0,-1,4)=(3×2,3×(-1),3×(-2))+(2×0,2×(-1),2×4)=(6,-3,-6)+(0,-2,8)=(6,-5,2).
a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=0+1-8=-7.
[总结反思] 空间向量的加、减、数乘、数量积运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础,必须熟练掌握,并且能够灵活地应用.命题方向2 ?空间向量的垂直与平行的判断『规律方法』 已知两个空间向量的坐标,当这两个向量平行或垂直时,就可以根据a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0,a∥b?a1=xb1,a2=xb2,a3=xb3(x∈R)进行求解.其中,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).〔跟踪练习2〕
设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),若(ka+b)∥(a-3b),则k=________.
[分析] 由向量线性运算的坐标表示可求出ka+b,a-3b,再由向量共线的坐标表示可求出k.向量的夹角与长度 1.求点的坐标时,一定要注意向量的起点是否在原点,在原点时,向量的坐标与终点坐标相同,不在原点时,向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.
2.运用空间向量解决立体几何问题,先要考察原图形是否方便建立直角坐标系,将问题中涉及的点、线(向量)、面(向量的线性组合)用坐标表示,如果容易表示则先建系,将点用坐标表示出来,然后,利用垂直、平行、共面的条件通过向量运算推证有关结论,利用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角,最后将计算的结果转化为几何结论;当图形中的点不方便用坐标表示时,可直接设出向量的基底,将各条件、结论中涉及的向量表示为基底的线性组合,再运用向量线性运算及内积运算的规则进行推理、计算,最后转化为相应几何结论.
3.已知两向量夹角为锐角或钝角,求参数取值范围时,要注意共线的情形.『规律总结』 根据正方体的特殊性,可考虑建立空间直角坐标系,写出相关点及向量的坐标,应用数量积、夹角公式即可.B [辨析] 两向量平行或两向量同向不是等价的,同向是平行的一种情况,两向量同向能推出两向量平行,但反过来不成立,也就是说,“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件.错解就忽视了这一点.1.若a=(1,-2,1),b=(2,0,1),c=(0,2,2),则a·(c-b)的值为( )
A.4 B.5
C.7 D.-5DB 3.(安徽省蚌埠市2017-2018学年高二期末)空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于平面xOz对称的点的坐标为( )
A.(-1,2,3) B.(1,-2,3)
C.(1,2,-3) D.(-1,-2,-3)
[解析] 点P(1,2,3)关于平面xOz对称的点的坐标为(1,-2,3),选B.B4.已知a=(2,-3,0)、b=(k,0,3),
=120°,则k=________.5.(2019·山东临沂市高二期末测试)已知a=(2,-1,3)、b=(-1,4,-2)、c=(7,7,λ),若a、b、c共面,则实数λ=______.9 课 时 作 业 学 案