第二章 §4
A级 基础巩固
一、选择题
1．直线a与b的方向向量分别为e＝(2,1，－3)和n＝(－1,1，－)，则a与b的位置关系是( B )
A．平行 B．垂直
C．相交 D．重合
[解析] ∵e·n＝2×(－1)＋1×1＋(－3)×(－)＝－2＋1＋1＝0，∴e⊥n，∴a⊥b.故选B．
2．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( D )
A．(1，－4,2) B．(，－1，)
C．(－，1，－) D．(0，－1,1)
[解析] 因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的法向量，则必须满足，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D．
3．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：
①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；
②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；
③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；
④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．
其中正确的个数为( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] DD1∥AA1，＝(0,0,1)；BC1∥AD1，＝(0,1,1)，直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0,1,0)；C1点坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，∴④错．故选C．
4．四边形ABCD菱形，PA⊥平面ABCD，则下列不等式①·＝0；②·＝0；③·＝0；④·＝0中成立的等式个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，∴·＝0，①式成立；在菱形ABCD中，AC⊥BD，又PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，∴·＝0，故②成立；PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，∴·＝0，故③成立；④式不成立，故选C．
5．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( B )
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
[解析] ∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α.
6．已知直线l1的方向向量为a＝(2，－2，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y,2)，且|a|＝3，l1⊥l2，则y－x的值为( A )
A．2 B．－4或－1
C．4 D．0
[解析] |a|＝3，则x＝±1，
x＝1时，a＝(2，－2,1)，
∴4－2y＋2＝0，
∴y＝3，
∴y－x＝3－1＝2，
x＝－1时，a＝(2，－2，－1)，
∴4－2y－2＝0，
∴y＝1，
∴y－x＝2.
故选A．
二、填空题
7．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则实数x＝__－64__，y＝__－26__，z＝__－17__.
[解析] 因为a，b，c两两垂直，所以a·b＝b·c＝c·a＝0，即，
解得.
8．已知△ABC是∠B为直角顶点的等腰直角三角形，其中＝(1，m,2)、＝(2，m，n)(m、n∈R)，则m＋n＝__－1__.
[解析] 由题意得·＝0，且||＝||，
∴，∴.
∴m＋n＝－1.
三、解答题
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.
(1)证明PA∥平面EDB；
(2)证明PB⊥平面EFD．
[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝a.
(1)连接AC、AC交BD于G，ABCD为正方形，∴G为AC中点，连接EG.
简解：又E为PC中点∴PA∥GE又GE?平面BDE，PA平面BDE∴PA∥平面BDE
(2)依题意，得B(a，a,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．∴＝(a，a，－a)．
又＝(0，，)，故·＝0＋－＝0.
∴PB⊥DE.
又EF⊥PB，且EF∩DE＝E.
∴PB⊥平面EFD．
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E、F分别是AD、PC的中点，求证：PC⊥平面BEF.
[解析] 如图，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，
四边形ABCD是矩形，
∴A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2，0)、D(0,2，0)、P(0,0,2)．
又E、F分别是AD、PC的中点，
∴E(0，，0)、F(1，，1)．
∴＝(2,2，－2)、＝(－1，，1)、＝(1,0,1)，
∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0，
∴⊥，⊥，∴PC⊥BF，PC⊥EF.
又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.
B级 素养提升
一、选择题
1．如图，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，E为AC的中点，那么以下向量为平面ACD的法向量的是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 方法一：判断平面ACD的法向量，可以从平面ACD中找出，，中的两个向量，分别与选项中的向量求数量积，判断垂直而得．
方法二：直接利用已知边角关系判断线面垂直．
设AD＝1，则BD＝CD＝1.因为△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，所以AB＝AC＝.
又因为∠BAC＝60°，所以BC＝.所以△BCD也是直角三角形，且BD⊥CD，从而可得BD⊥平面ACD．
2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( B )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
[解析] a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，
2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，
∵(a＋2b)∥(2a－b)，
∴，
∴.
3．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，3,2)，则( B )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1，l2相交但不垂直 D．l1，l2的关系不能确定
[解析] a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，
∴a⊥b.∴l1⊥l2.
4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( D )
A．(，，－) B．(，－，)
C．(－，，) D．(－，－，－)
[解析] ＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(0，－1，1)．设平面ABC的一个单位法向量为u＝(x，y，z)，则u·＝0，u·＝0，得x，y，z之间的关系，且x2＋y2＋z2＝1，求值即可．故选D．
二、填空题
5．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是__①②③__.
[解析] ·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥.
·＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则⊥，
∵⊥，⊥，∩＝A，
∴⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．
6．如图，已知矩形ABCD，PA＝AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于__2__.
[解析] 先建立如图所示的空间直角坐标系，
设||＝b，则A(0,0,0)，Q(1，b,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，所以＝(1，b，－1)，＝(－1，a－b,0)．
∵⊥，∴b2－ab＋1＝0.
∵b只有一解，∴Δ＝0，可得a＝2.
三、解答题
7．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D．
[证明] 如图，以C1点为原点，C1A1、C1B1、C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)、B(0,2,2)、C(0,0,2)、A1(2,0,0)、B1(0,2,0)、C1(0,0,0)、D(1,1,2)．
(1)∵＝(0，－2，－2)、＝(－2,2，－2)，
∴·＝0－4＋4＝0，∴⊥，∴BC1⊥AB1.
(2)取A1C的中点E，∵E(1,0,1)，∴＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，∴＝－，且ED和BC1不共线，则ED∥BC1.又ED?平面CA1D，BC1?平面CA1D，故BC1∥平面CA1D．
8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
[证明] (1)以A为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．
设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，＝(－，1，－1)，＝(a,0,1)，＝(，1,0)．
∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B1E⊥ AD1.
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE.此时＝(0，－1，z0)．
又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．
∵n⊥平面B1AE，∴n⊥ ，n⊥，得
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝(1，－，－a)．要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP?平面B1AE，
∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.
课件67张PPT。第二章空间向量与立体几何§4 用向量讨论垂直与平行自主预习学案任何一种工具的发明，都是为了方便解决问题，蒸汽机的发明推动了工业革命；计算机的出现解决了复杂的运算问题，提升了运算速度；网络的发明与发展促进了全球化的发展与地球村的形成．向量作为一种工具，它的应用又体现了在哪些方面呢？1．垂直问题
(1)直线与直线垂直：只要两直线的____________垂直，两直线必垂直．
(2)直线与平面垂直：直线的____________若与平面的__________平行，则直线与平面垂直；反之亦成立．
(3)平面与平面垂直：平面与平面垂直的充要条件是：__________________________.方向向量 方向向量 法向量 两平面的法向量互相垂直
2．平行问题
(1)直线与直线平行：只要两条直线的______________________________________.
(2)直线与平面平行：直线的____________若与平面的__________垂直(直线不在平面内)，则直线与平面平行．
(3)平面与平面平行：当两平面的______________(两平面不重合)时两平面平行．方向向量平行且这两条直线不共线即可 方向向量 法向量 法向量平行
3．三垂线定理
(1)三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的________，则这两条直线垂直．
(2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则这条直线也垂直于直线在该平面内的________.投影 投影 1．设两条直线所成角为θ(θ为锐角)，则直线的方向向量的夹角与θ( )
A．相等 B．互补
C．互余 D．相等或互补DA D 4．(山西太原市2018－2019学年高二期末)若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是( )
A．m＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．m＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．m＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．m＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
[解析] A中，m·n＝－2≠0，所以排除A；B中m·n＝1＋5＝6≠0，所以排除B；C中，m·n＝－1，所以排除C；D中，m·n＝0，所以m⊥n，能使l∥α.故选D．D5．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
[解析] n1与n2不是平行向量，且n1·n2≠0，∴α，β相交且不垂直．故选C．C互动探究学案命题方向1 ?线面平行
命题方向2 ?面面平行[思路分析] 用向量证明面面平行有两个途径：利用面面平行的判定定理，即证明一个平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；证明两个平面的法向量平行．『规律方法』 证明面面平行的向量方法有两种：第一种是分别求出两平面的法向量，再证明两法向量平行；第二种是证明一个平面有两不共线向量平行于另一平面，转化为线面平行的问题．命题方向3 ?线面垂直『规律方法』 用向量法证明线面垂直的方法与步骤
(1)基向量法
①确定基向量作为空间的一个基底，用基向量表示有关直线的方向向量；
②找出平面内两条相交直线的方向向量，并分别用基向量表示；
③分别计算有关直线的方向向量与平面相交直线的方向向量的数量积，根据数量积为0，证得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理得出结论．(2)坐标法
方法一：①建立空间直角坐标系；
②将直线的方向向量用坐标表示；
③找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
④分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：①建立空间直角坐标系；
②将直线的方向向量用坐标表示；
③求出平面的法向量；
④判断直线的方向向量与平面的法向量平行．『规律方法』 证明直线与平面垂直的方法有两种：一种是求平面的法向量，然后证明直线与法向量平行；另一种是证明直线与平面内不共线的两直线分别垂直，其实就是转化为线线垂直问题．命题方向4 ?面面垂直『规律方法』 证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理，转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直．探索性问题 探索性、存在性问题：
(1)存在性问题，先假设存在，根据题目条件，利用线面位置关系的向量表示建立方程或方程组，若能求出符合题意要求的值则存在，否则不存在．
(2)探索点的位置的题目，一般先设出符合题意要求的点，再利用题设条件建立方程求参数的值或取值范围．1．已知A(1，－3,5)，B(－1，－1,4)是直线l上两点，则下列可作为直线l的方向向量的是( )
A．(1,1,0) B．(4，－4,2)
C．(－3，－3,0) D．(4,4,2)
2．已知向量n＝(2,3，－1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0,3，－1) B．(2,0，－1)
C．(－2,3，－1) D．(－2，－3,1)BDD 5．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为__________________.
[解析] u·v＝2×(－2)＋0×1＋(－1)×(－4)＝0，∴l∥α或l?α.课 时 作 业 学 案
