第三章 §3 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是( D )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
[解析] 方程mx2－my2＝n可化为：－＝1，
∵mn<0，∴－>0，
∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
2．双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( A )
A．22或2 B．7
C．22 D．2
[解析] ∵a2＝25，∴a＝5，由双曲线定义可得||PF1|－|PF2||＝10，由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22或2.
3．(安徽省蚌埠市2017－2018学年高二期末)双曲线－＝1右焦点为F，点A在双曲线的右支上，以AF为直径的圆M与圆x2＋y2＝a2的位置关系是( B )
A．相交 B．外切
C．相离 D．内切
[解析] 设F′为左焦点，则|AF′|－|AF|＝2a，从而圆心O到AF中点M距离为a＋，所以以AF为直径的圆M与圆x2＋y2＝a2的位置关系是外切，选B．
4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k的取值范围( C )
A．k>3 B．2C．k＝2 D．0[解析] 双曲线－＝1的焦点(±，0)，椭圆的焦点坐标(±，0)，椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，可得：3＋k＝9－k2，k＞0，解得k＝2.故选C．
5．△ABC中，A(－5,0)、B(5,0)，点C在双曲线－＝1上，则＝( D )
A． B．±
C．－ D．±
[解析] 在△ABC中，sinA＝，sinB＝，sinC＝＝.
∴＝＝.
又∵|BC|－|AC|＝±8，
∴＝±＝±.
6．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|－|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为( B )
A．6 B．12
C．12 D．24
[解析] 由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝2
又∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4，由双曲线方程知a2＝1，b2＝12，∴c2＝13，∴|F1F2|＝2c＝2，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2得PF1⊥PF2，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×4＝12.
二、填空题
7．双曲线－x2＝1的两个焦点坐标是__(0，±)__.
[解析] a2＝2，b2＝1，c2＝3，∴c＝±，又焦点在y轴上．
8．若方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是__k>3或k<－3__.
[解析] 当，即k>3时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；
当，即k<－3时，方程表示焦点在y轴上的双曲线．
所以若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是k>3或k<－3.
三、解答题
9．求与双曲线－＝1共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．
[解析] 由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点，从而可设所求的双曲线方程为－＝1.
由于点(3，2)在所求的双曲线上，
从而有－＝1.
整理，得k2＋10k－56＝0，∴k＝4或k＝－14.
又16－k>0,4＋k>0，∴－4从而得k＝4.故所求双曲线的方程为－＝1.
10．若F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
[解析] 由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，
由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，∴c＝5.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6.
上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64＝100，
由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝0.
∴∠F1PF2＝90°.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为( D )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线
D．双曲线的一支和一条射线
[解析] |F1F2|＝＝10
a＝3时，|PF1|－|PF2|＝6<10
∴P点轨迹为靠近F2的双曲线一支
a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|
∴P点轨迹为靠近F2的一条射线．
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是( A )
A．±1 B．1
C．－1 D．不存在
[解析] 验证法：当m＝±1时，m2＝1，
对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.
对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，
故当m＝±1时，它们有相同的焦点．
直接法：显然双曲线焦点在x轴上，
故4－m2＝m2＋2.
∴m2＝1，即m＝±1.
3．已知双曲线－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 求出M点的坐标，写出直线MF2的方程，用点到直线的距离公式求解．
如图，由－＝1知，F1(－3,0)，F2(3,0)．设M(－3，y0)，则y0＝±，取M(－3，)，
∴直线MF2的方程为x＋6y－＝0，即x＋2y－3＝0.
∴点F1到直线MF2的距离为d＝＝.
4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2) 则双曲线的方程是( B )
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析] ∵PF1的中点坐标为(0,2)，
∴P点坐标为(，4)，
∴2a＝|PF1|－|PF2|
＝－
＝6－4＝2，
∴a＝1 又∵c＝ ∴b2＝()2－12＝4，
∴方程为x2－＝1.
二、填空题
5．已知双曲线x2－y2＝1，点F1、F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为__2__.
[解析] 本题考查了双曲线的概念．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据双曲线的定义及已知条件可得|m－n|＝2a＝2，m2＋n2＝4c2＝8，∴2mn＝4，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn＝12，
∴|PF1|＋|PF2|＝2.
充分利用PF1⊥PF2, 将||PF1|－|PF2||＝2a，转化到|PF1|＋|PF2|是解决本题的关键．
6．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离是，则a＋b＝____.
[解析] 由条件知，，
∴或，
∵a>0且a>|b|，∴a＋b＝.
三、解答题
7．已知双曲线经过两点M(1,1)、N(－2,5)，求双曲线的标准方程．
[解析] 设所求双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，将点M(1,1)、N(－2,5)代入上述方程，得到
，解得.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
8．已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)与双曲线－＝1(a2>0，b2>0)有公共焦点F1、F2，设P是它们的一个交点．
(1)试用b1，b2表示△F1PF2的面积；
(2)当b1＋b2＝m(m>0)是常数时，求△F1PF2的面积的最大值．
[解析] (1)如图所示，令∠F1PF2＝θ.
因|F1F2|＝2c，则a－b＝a＋b＝c2.
即a－a＝b＋b.
由椭圆、双曲线定义，得
|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2(令|PF1|>|PF2|)，
所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，
cosθ＝
＝
＝＝.所以sinθ＝.
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ
＝(a－a)·＝b1b2.
(2)当b1＋b2＝m(m>0)为常数时
S△F1PF2＝b1b2≤()2＝，
所以△F1PF2面积的最大值为.
课件57张PPT。第三章圆锥曲线与方程§3 双曲线第1课时 双曲线及其标准方程自主预习学案通过前面的学习，我们已经知道，平面内与两个定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．如果我们把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹还存在吗？如果存在，点的轨迹又是什么呢？它的方程又是怎样的呢？1．双曲线的概念
(1)在平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作________.这两个定点叫作双曲线的________，两焦点之间的距离叫作双曲线的________.
(2)在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是____________；若2a>|F1F2|则动点的轨迹__________.
(3)双曲线定义中应注意关键词“__________”，若去掉定义中“__________”三个字，动点轨迹只能是______________.双曲线 焦点 焦距 两条射线 不存在 绝对值 绝对值 双曲线一支
2．双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程为_______________________，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为________________________________.
(2)在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为____________________.1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
[解析] F1，F2是两定点，|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．DB 4或16 4．已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为______.6 互动探究学案命题方向1 ?双曲线的定义『规律总结』 1.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线．
2．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．
3．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．〔跟踪练习1〕
(2019·济宁高二检测)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．A A 命题方向2 ?待定系数法求双曲线的标准方程
命题方向3 ?判断曲线类型
命题方向4 ?双曲线的实际应用〔跟踪练习5〕
如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA＝100 m，BP＝150 m，BC＝60 m，∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．[解析] 田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA或PB送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．
设M是界线上的任一点，则
|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，
即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)
故所求界线是以A、B为焦点的双曲线一支．命题方向5 ?双曲线的焦点三角形问题a－m 双曲线的其他形式 C B D 3．已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是( )
A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6
C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0
[解析] A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点P的轨迹是双曲线；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A．A课 时 作 业 学 案第三章 §3 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列曲线中离心率为的是( B )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析] 双曲线的离心率e＝＝＝＝，得＝，只有B选项符合，故选B．
2．(2019·安徽黄山市高二期末)“m<0”是“－＝1表示的曲线是双曲线”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由题意得m(m－1)>0，
∴m<0或m>1，
∴“m<0”是“m<0或m>1”的充分不必要条件．故选A．
3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( C )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．－x2＝1 D．y2－＝1
[解析] 由题意，选项A、B的焦点在x轴，故排除A、B；C项的渐近线方程为－x2＝0，即y＝±2x，故选C．
4．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( D )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析] 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，故选D．
5．(2019·安徽蚌埠市高二期末)已知双曲线以△ABC的顶点B，C为焦点，且经过点A，若△ABC内角的对边分别为a，b，c.且a＝4，b＝5, c＝，则此双曲线的离心率为( C )
A．5－ B．
C．5＋ D．
[解析] 由题意，2c′＝4,2a′＝5－，∴e＝＝5＋.故选C．
6．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( A )
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
[解析] e＝＝，e＝＝，
∴e·e＝＝1－()4＝，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
二、填空题
7．(2019·北京理，9)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝__2__.
[解析] 由双曲线的标准方程知a＝1，b2＝m，c＝，
故双曲线的离心率e＝＝＝，
∴1＋m＝3，解得m＝2.
8．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为____.
[解析] 如图，∵c>b，∴∠B1F1B2＝60°，
∴∠B1F1O＝30°.在△B1OF1中，＝tan30°，
∴＝.
∴＝.∴1－＝，∴＝.
∴e2＝＝，∴e＝.
三、解答题
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)过点A(，)，且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为.求此双曲线方程．
[解析] 双曲线－＝1的两渐近线的方程为bx±ay＝0.
点A到两渐近线的距离分别为
d1＝，d2＝
已知d1d2＝，故＝①
又A在双曲线上，则
14b2－5a2＝a2b2②
②代入①，得3a2b2＝4a2＋4b2③
联立②、③解得b2＝2，a2＝4.
故所求双曲线方程为－＝1.
10．[福州市八县(市)协作校2018－2019学年期末]已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(2,0)，直线3x－2y＝0与双曲线C的一个交点的横坐标为2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点(0,1)，倾斜角为135°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．
[解析] (1)设双曲线C的标准方程是－＝1(a>0，b>0)．
由题意可知：点(2,3)在双曲线C上，
从而有
解得
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)由已知得直线l的方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0，
所以原点O到直线l的距离为d＝＝.
联立
消去y可得x2＋x－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，
所以|AB|＝·＝·＝3，
所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝×3×＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·＝( C )
A．－12 B．－2
C．0 D．4
[解析] 由渐近线方程为y＝x知，＝1，∴b＝，
∵点P(，y0)在双曲线上，∴y0＝±1，
y0＝1时，P(，1)，F1(－2,0)、F2(2,0)，
∴·＝0，
y0＝－1时，P(，－1)，·＝0，故选C．
2.如图F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 设|AF1|＝x，|AF2|＝y，∵点A为椭圆C1：＋y2＝1上的点，
∴2a＝4，b＝1，c＝；
∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，即x＋y＝4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，即x2＋y2＝(2c)2＝(2)2＝12，②
由①②得：
解得x＝2－，y＝2＋，
设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，
则2m＝|AF2|－|AF1|＝y－x＝2，2n＝2c＝2，
∴双曲线C2的离心率e＝＝＝.
故选D．
3．(河南洛阳市2018－2019学年高二期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过左焦点F1的直线切圆x2＋y2＝a2于点P，交双曲线C右支于点Q，若＝，则双曲线C的渐近线方程为( B )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
[解析] ∵过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，
左焦点F1引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为P，
∴|OP|＝a，
设双曲线的右焦点为F′，
∵P为线段FQ的中点，
∴|QF′|＝2a，|QF1|＝2b，
由双曲线的定义知：2b－2a＝2a，
∴b＝2a.
∴双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay＝0，
即2ax±ay＝0，
∴2x±y＝0.
故选B．
4．(2018·全国卷Ⅰ理，11)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( B )
A． B．3
C．2 D．4
[解析] 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.
设两渐近线夹角为2α，则有tanα＝＝，所以α＝30°.
所以∠MON＝2α＝60°.
又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．
在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.
则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝·tan60°＝3.
故选B．
二、填空题
5．如果双曲线与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(，4)，那么双曲线其方程是__－＝1__.
[解析] 椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，±3)，
∵双曲线与椭圆＋＝1有相同焦点，
∴双曲线的焦点坐标为(0，±3)
∵双曲线经过点(，4)，
∴2a＝|－|＝4，
∴a＝2，∴b2＝9－4＝5.
∴双曲线的方程是－＝1.
6．从双曲线－＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝9的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|＝__1__.
[解析] 设F2为椭圆右焦点，则|OM|＝|PF2|，|PF|－|PF2|＝6.
∵FT是⊙O的切线，∴|FT|＝4，
∴|MT|＝|MF|－|FT|＝|PF|－4，
∴|MO|－|MT|＝|PF2|－|PF|＋4
＝4－(|PF|－|PF2|)＝1.
三、解答题
7．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，抛物线与双曲线交点为P(，)，求抛物线方程和双曲线方程．
[解析] 依题意，设抛物线方程为y2＝2px，(p>0)，
∵点(，)在抛物线上，∴6＝2p×，
∴p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.
∵双曲线左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点(，)在双曲线上，∴－＝1，
由解得a2＝，b2＝.
∴所求双曲线方程为4x2－y2＝1.
8．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程．
[解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)，则有e＝＝2，c＝2，∴a＝1，则b＝，∴所求的双曲线方程为x2－＝1.
(2)∵直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)，
∴l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)．
令x＝0得M(0,2k)，
∵||＝2||且M、Q、F共线于l，
∴＝2或＝－2，
当＝2时，xQ＝－，yQ＝k，
∴Q，
∵Q在双曲线x2－＝1上，
∴－＝1，∴k＝±，
当＝－2时，同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，
16－＝1，∴k＝±，
则所求的直线l的方程为：
y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)．
课件54张PPT。第三章圆锥曲线与方程§3 双曲线第2课时 双曲线的简单性质自主预习学案凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们的生产生活经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．轴对称 中心对称 双曲线的中心 顶点 (±a,0) 实轴 2a 虚轴 2b 实半轴长 虚半轴长 离心率 (1，＋∞) A C A A 互动探究学案命题方向1 ?根据双曲线的方程研究其性质〔跟踪练习1〕
求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．
[分析] 先将双曲线的形式化为标准方程，再根据其性质的定义依次求解．命题方向2 ?由双曲线的性质求标准方程『规律方法』 1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求得．
命题方向3 ?求双曲线的离心率(或范围)
D 命题方向4 ?最值问题双曲线离心率取值范围问题 在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a，，|a|等非负性求解．B
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