第三章 §4 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k＝( A )
A．±3 B．0
C．±2 D．一切实数
[解析]
得
∴交点为(0，－k)，
∴k2＝9，k＝±3.故选A．
2．(2019·广州高二检测)方程|y|－1＝表示的曲线是( A )
A．两个半圆 B．两个圆
C．抛物线 D．一个圆
[解析] y≥1时，(x－1)2＋(y－1)2＝1，
y≤－1时，(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
∴表示两曲线为两个半圆．故选A．
3．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的( B )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 到两坐标轴距离相等点的轨迹如图(1)，y＝|x|的曲线如图(2)．
∴“点M在曲线y＝|x|上”?“点M到两坐标轴距离相等”．故选B．
4．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线形状是( C )
[解析] 由x2＋y2＝1可知方程表示的曲线为圆．又∵xy<0，∴图象在第二、四象限内．故选C．
5．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( A )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
[解析] 本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，以及抛物线的定义．
由题意作图可知，圆C的圆心到(0,3)的距离等于到直线y ＝－1的距离，所以C的圆心轨迹为抛物线．
6.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( A )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
[解析] 设P1、P2为P的轨迹上两点，则AP1⊥BD1，AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2＝A，
∴直线AP1与AP2确定一个平面α，与面BCC1B1交于直线P1P2，且知BD1⊥平面α，
∴P1P2⊥BD1，
又∵BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1，∴P1P2⊥BC1，而在面BCC1B1内只有B1C与BC1垂直，
∴P点的轨迹为B1C．
二、填空题
7．M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP∶PM＝3，则动点P的轨迹方程为__8x－4y＋3＝0__.
[解析] 设点M、P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得
，∴.
因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2×－＋3＝0，
即8x－4y＋3＝0，
从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.
8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，动抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是__＋＝1__.
[解析] 设P(x0，y0)为圆上任一点，过该点的切线l：x0x＋y0y＝4 (|x0|≤2)，
以l为准线过A，B两点的抛物线焦点F(x，y)，A，B到l距离分别为d1，d2，根据抛物线的定义，
|FA|＋|FB|＝d1＋d2，
即＋＝＋＝4>|AB|，
∴F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，
∴c＝1，∴b2＝3，
∴方程为＋＝1.
三、解答题
9．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．
[解析] 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，
则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以＝，＝，从而由N(x＋3，y－4)在圆上，得(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求P点的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点：和.
10．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点P在椭圆上运动，B为(4,0)，M点是线段BP上的靠近点P的三等分点，求点M的轨迹方程．
[解析] (1)设右焦点为(c,0)，
因为右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
所以＝3，即c＋2＝±3，
所以c＝或c＝－5(舍)．
又由b＝1，得a2＝3.
因此所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设M(x，y)，P(x0，y0)，由题意可知，＝，所以(x－x0，y－y0)＝(4－x0，－y0)，
所以
又由P在椭圆上，则有＋()2＝1，
即＋＝1，
故点M的轨迹方程为＋＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·青岛高二检测)“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的( B )
A．充发不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
[解析] 当m的坐标为(1,2)时，显然点M在y2＝4x上，但不满足方程y＝－2，故选B．
2．平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是( C )
A．x＋y＝4 B．2x＋y＝4
C．x＋2y＝4 D．x＋2y＝1
[解析] 由＝(x，y)，＝(1,2)得·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，x＋2y＝4即为所求轨迹方程，故选C．
3．平行四边形ABCD的顶点A、C的坐标分别为(3，－1)、(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为( A )
A．3x－y－20＝0 B．3x－y－10＝0
C．3x－y－12＝0 D．3x－y－9＝0
[解析] 设AC、BD交于点O，
∵A、C分别为(3，－1)、(2，－3)，
∴O点坐标为(，－2)，设B点坐标为(x，y)，
∴D点坐标为(5－x，－4－y)，
∵D在直线3x－y＋1＝0上，∴15－3x＋4＋y＋1＝0，
即3x－y－20＝0，故选A．
4．已知点A(2,0)，B、C在y轴上，且|BC|＝4，△ABC外心的轨迹S的方程为( C )
A．y2＝2x B．x2＋y2＝4
C．y2＝4x D．x2＝4y
[解析] 设△ABC外心为G(x，y)，B(0，a)，C(0，a＋4)，
由G点在BC的垂直平分线上知y＝a＋2，
∵|GA|2＝|GB|2，∴(x－2)2＋y2＝x2＋(y－a)2，
整理得y2＝4x.
即点G的轨迹S方程为y2＝4x.
二、填空题
5．已知0≤α≤2π，点P(cosα，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为__或__.
[解析] 由已知(cosα－2)2＋sin2α＝3
∴cos2α－4cosα＋4＋sin2α＝3
∴cosα＝，∵α∈[0,2π]，∴α＝或α＝
6．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0.由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是__x＝__.
[解析] 由⊙O：x2＋y2＝2，⊙O′：(x－4)2＋y2＝6知两圆相离，记切点分别为T、Q，则|PT|＝|PQ|.如图：
而|PT|2＝|PO|2－2，|PQ|2＝|PO′|2－6.
∴|PO|2－2＝|PO′|2－6.设P(x，y)，
则x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6.
即8x＝12，即x＝.
三、解答题
7．已知△ABC的两个顶点坐标为A(－2,0)、B(0，－2)，第三个点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC重心的轨迹方程．[注：设△ABC顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC重心坐标为G(，)．]
[解析] 设C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐标公式得3x＝－2＋0＋x1,3y＝0－2＋y1，
即x1＝3x＋2，y1＝3y＋2，
∵C(x1，y1)在曲线y＝3x2－1上，
∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1.
化简得y＝9x2＋12x＋3.
故△ABC的重心的轨迹方程为y＝9x2＋12x＋3.(不包括和直线AB的交点)
8．(2019·全国Ⅰ文，20)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
[解析] (1)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)解：由y＝，得y′＝.
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.
所以直线AB的方程为y＝x＋7.
课件52张PPT。第三章圆锥曲线与方程§4 曲线与方程第1课时 曲线与方程、圆锥曲线的共同特征自主预习学案在我们的日常生活中，许多物体都呈现出多种多样的曲线，你所熟悉的曲线有哪些？你知道它们有怎样的特性吗？一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
(1)__________________________________；
(2)______________________________________.
那么，这条曲线叫作______________，这个方程叫作______________.曲线上点的坐标都是这个方程的解 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 方程的曲线 曲线的方程 1．圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.
当______________时，圆锥曲线是椭圆；当__________时，圆锥曲线是双曲线；当__________时，圆锥曲线是抛物线．
2．圆锥曲线的统一定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离的比等于常数e的点的集合叫作圆锥曲线．
这个定点F叫作圆锥曲线的焦点，这条定直线l叫作圆锥曲线的准线，常数e叫作圆锥曲线的离心率．0＜e＜1 e＞1 e＝1 D C 3．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( )
A．a＞1 B．0＜a＜1
C．0＜a＜1或a＞1 D．a∈?
4．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为______________.
[解析] 本题考查了抛物线的定义及p的几何意义．
由抛物线的定义知p＝4，方程为：y2＝8x.Ay2＝8x 互动探究学案命题方向1 ?曲线与方程的概念C [解析] 直接法：原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线l上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题即“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线l上”，此即说法C．
特值方法：作如图所示的曲线l，考查l与方程F(x，y)＝x2－1＝0的关系，显然A、B、D中的说法全不正确．
∴选C．『规律方法』 本例给出了判定方程和曲线对应关系的两种方法——等价转换和特值方法．其中特值方法应引起重视，它的使用依据即“方程的曲线上的点的纯粹性和完备性”，简言之，即“多一点不行，少一点不可”．〔跟踪练习1〕
判断下列结论的正误，并说明理由．
(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝0；
(2)到x轴距离为2的点的直线方程为y＝－2；
(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；
(4)△ABC的顶点A(0，－3)、B(1,0)、C(－1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程为x＝0.[解析] (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x＝3.
∴结论错误．
(2)因到x轴距离为2的点的直线方程还有一个y＝2，即不具备完备性．
∴结论错误．
(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|＝1，即xy＝±1.
∴所给问题不具备完备性．∴结论错误．
(4)中线AD是一条线段，而不是直线，应为x＝0(－3≤y≤0)，
∴所给问题不具备纯粹性．
∴结论错误．命题方向2 ?求曲线的方程『规律方法』 坐标系的选取，一般将定点或定直线选在坐标轴上，原点有时选在定点处较为方便，有时也要考虑“对称”性(如此例)．〔跟踪练习2〕
过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．命题方向3 ?直接法求曲线的方程『规律方法』 求曲线方程的基本方法是：建系设点、列等式、代换、化简、证明“五步法”．在解题时，根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明．一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去．命题方向4 ?定义法求曲线方程A 『规律方法』 (1)本题是用定义法求动点的轨迹方程，当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可求出a、b时，直接根据定义写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．
(2)由于动点M到两定点C2、C1的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其轨迹只能是双曲线的一支．这一点要特别注意！〔跟踪练习4〕
如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．命题方向5 ?参数法求曲线方程『规律方法』 本题中的四种方法都是求轨迹方程的常用方法，在求轨迹方程时，要注意挖掘题目的条件，恰当选取方法．〔跟踪练习5〕
过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，再以OA、OB为邻边作矩形AOBM，求点M的轨迹方程．曲线方程与其他数学知识的交汇问题(1)曲线的方程探求中，在给出的条件中刻画条件关系时，常用其他部分的知识来表达．如数列、集合、函数、平面向量等．
(2)平面向量既有数的特点又有形的特点，因而它与解析几何的联系尤为密切．如平行关系可用向量共线关系来表示，垂直关系可用向量垂直的关系来表示．
(3)解答此类问题时，只要充分运用诸如向量的数量积、数列等相关概念即可求得．『规律总结』 求解此类平面向量、曲线方程、数列等多知识点交汇的问题的思路是：先转化，即利用平面向量的坐标表示，去掉平面向量的“外衣”；再应用数列的相关公式与性质，转化为关于x，y的关系式；最后下结论．1．“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 根据曲线方程的概念“曲线C的方程是f(x，y)＝0”包含“曲线C上的点的坐标都是这个方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义．B2．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是( )
A．直线2x－y＝0
B．直线2x＋y＋3＝0
C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0
D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0
[解析] ∵4x2－y2＋6x－3y＝(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝(2x－y)(2x＋y＋3)，
∴原方程表示两条直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0.CD D 课 时 作 业 学 案第三章 §4 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．抛物线y＝x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是( A )
A．(2，－1) B．(1，－1)
C．(，－) D．(，－)
[解析] y＝x2?x2＝4y，焦点为(0,1)，其关于x－y－1＝0的对称点为(2，－1)．
2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是( D )
A．(－，) B．(0，)
C．(－，0) D．(－，－1)
[解析] 由，得(1－k2)x2－4kx－10＝0.
由题意，得，
解得－3．直线y＝x＋3与曲线－＝1( D )
A．没有交点 B．只有一个交点
C．有两个交点 D．有三个交点
[解析] 当x≥0时，曲线－＝1方程可化为：－＝1①
将y＝x＋3代入①得：5x2－24x＝0，解得x＝0或x＝，
即此时直线y＝x＋3与曲线－＝1有两个交点；
当x＜0时，曲线－＝1方程可化为：＋＝1②将y＝x＋3代入②得：13x2＋24x＝0，解得x＝0(舍去)或x＝－，
即此时直线y＝x＋3与曲线－＝1有一个交点；
综上所述直线y＝x＋3与曲线－＝1有三个交点．故选D．
4．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则·的值是( D )
A．12 B．－12
C．3 D．－3
[解析] 设A(，y1)、B(，y2)，则＝(，y1)，
＝(，y2)，则·＝(，y1)·(，y2)＝＋y1y2，又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，
∴·＝＋y1y2＝－4＝－3，故选D．
5．如果AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kCM的值为( C )
A．e－1 B．1－e
C．e2－1 D．1－e2
6．(2019·全国Ⅰ文，12)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( A )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
[解析] 方法1：设焦点在x轴上，点M(x，y)．
过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，
则N(x,0)．
故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)
＝
＝.
又tan∠AMB＝tan120°＝－，
且由＋＝1可得x2＝3－，
则＝＝－.
解得|y|＝.
又0<|y|≤，即0<≤，结合0对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.
则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．
故选A．
方法2：当0要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan60°＝，即≥，
解得0当m>3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
故选A．
二、填空题
7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是__y＝±x__.
[解析] 因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1(b>0)，解得b＝，即双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.
8．(2019·安徽合肥高二检测)过双曲线－＝1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线有__1__条．
[解析] 依题意得右焦点F(5,0)，所以过F且垂直x轴的直线是x＝5，代入－＝1，得y＝±，所以此时弦长为×2＝.
当不垂直于x轴时，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比长．因为两顶点间距离为4，即左右两支上的点的最短距离是4，所以如果交于两支的话，弦长不可能为，故只有一条．
三、解答题
9．设抛物线y2＝4x被直线y＝2x＋k截得的弦长为3，求k的值．
[解析] 由得4x2＋(4k－4)x＋k2＝0，
设直线与抛物线交于A(x1，y1)与B(x2，y2)两点．
当Δ＝(4k－4)2－4×4k2>0，
即k<时，x1＋x2＝1－k，x1x2＝，
所以|AB|＝
＝
＝＝.
因为|AB|＝3，
所以＝3，解得k＝－4.
10．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)设椭圆的方程
＋＝1(a>b>0)，
∵F(2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A(2,3)，
∴，∴.∵a2＝b2＋c2，
∴b2＝12，故椭圆方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程y＝x＋t.
由，消去y，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ＝(3t)2－12(t2－12)≥0，
解得－4≤t≤4.
另一方面，由直线OA与l的距离等于4，
可得，＝4，∴t＝±2.
由于±2?[－4，4]，
故符合题意的直线l不存在．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·全国Ⅰ文，5)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．
因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．
因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，
所以P(2，±3)，|PF|＝3.
又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，
所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.
故选D．
2．(陕西汉中市汉台中学2017－2018学年联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( B )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
3．(2019·天津文，5)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( D )
A．－＝1 B．－＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
[解析] 根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线y＝x上)．
由△AOF的边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.
又点A在双曲线的渐近线y＝x上，
∴＝tan60°＝.
又a2＋b2＝4，
∴a＝1，b＝，
∴双曲线的方程为x2－＝1.
故选D．
4．(2019·全国Ⅲ理，10)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，
解得a＝b，∴＝，
∴e＝＝＝＝＝.
二、填空题
5．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得弦长为，则抛物线方程为__y2＝12x或y2＝－4x.
[解析] 设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)①
直线变形为y＝2x＋1②
设抛物线截直线所得弦长为AB
消y得(2x＋1)2＝ax
整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0
|AB|＝＝
解得a＝12或a＝－4
∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.
6．(2019·全国Ⅰ卷理，16)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为__2__.
[解析] 由＝，得A为F1B的中点．
又∵ O为F1F2的中点，∴ OA∥BF2.
又·＝0，∴ ∠F1BF2＝90°.
∴ OF2＝OB，∴ ∠OBF2＝∠OF2B．
又∵ ∠F1OA＝∠BOF2，
∠F1OA＝∠OF2B，
∴ ∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴ △OBF2为等边三角形．
如图①所示，不妨设B为.
∵ 点B在直线y＝－x上，∴ ＝，
∴ 离心率e＝＝2.
∵ ·＝0，∴ ∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴ |OF2|＝|OB|＝c.如图②，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴ |BH|＝b，|OH|＝a，∴ B(a，－b)，F2(c,0)．
又∵ ＝，∴ A为F1B的中点．
∴ OA∥F2B，∴ ＝，∴ c＝2a，∴ 离心率e＝＝2.
三、解答题
7．已知曲线C上的任意一点M到点F(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，直线l过点A(1,1)，且与C交于P，Q两点．
(1)求曲线C的方程；
(2)若A为PQ中点，求三角形OPQ的面积．
[解析] (1)设曲线上任意一点M(x，y)，
由抛物线定义可知，曲线是以点F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，
所以曲线的方程为y2＝4x.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2，
所以y－y＝(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
因为A为PQ中点，所以y1＋y2＝2，
所以直线l的斜率为kPQ＝＝2，
所以直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此时直线l与抛物线相交于两点．
设T为l与x轴交点，则|OT|＝，
由消去x得y2－2y－2＝0，
所以y1＋y2＝2，y1y2＝－2，
所以三角形OPQ的面积为S＝|OT||y1－y2|＝＝.
8．(2019·浙江，21)如图，已知抛物线x2＝y，点A(－，)，B(，)，抛物线上的点P(x，y)(－(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
[解析] (1)解：设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，
因为－所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．
(2)解：联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是xQ＝.
因为|PA|＝(x＋)＝(k＋1)，
|PQ|＝(xQ－x)＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3.
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间(－1，)上单调递增，(，1)上单调递减，
因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.
课件65张PPT。第三章圆锥曲线与方程§4 曲线与方程第2课时 直线与圆锥曲线的交点自主预习学案如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA＝100 m，PB＝150 m，BC＝60 m，∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．
反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线某一个交点的坐标．
由此可知：_______________________________________________________ ______________________________.
说明：两条曲线有交点的充要条件是__________________________________________.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点．若方程组无 实数解，则这两条曲线没有交点 由两条曲线的方程所组成的方程组有实数解 1．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( )
A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0
C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0C C 3．已知抛物线y2＝8x的弦AB过它的焦点，直线AB的斜率为2，则弦AB的长为( )
A．6 B．8
C．10 D．12CD 5．如果过两点A(a,0)和B(0，a)的直线与抛物线y＝x2－2x－3没有交点，那么实数a的取值范围是________________.互动探究学案命题方向1 ?曲线的交点命题方向2 ?弦长问题『规律方法』 解决直线与圆锥曲线的交点弦问题常用根与系数的关系及弦长公式．命题方向3 ?中点弦问题
命题方向4 ?定值定点问题最值问题 求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决．『规律总结』 在求最值时注意抛物线定义的应用．准确理解概念和参数的含义 [辨析] 本题虽然巧妙地使用了“点差法”，时忽视了求轨迹的前提是直线和双曲线必须相交．1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( )
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3CB A 2x＋4y－3＝0 课 时 作 业 学 案
