第二章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下列说法中不正确的是( D )
A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a、b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
[解析] 只有当a、b不共线且a∥α，b∥α时，D才正确．
2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( D )
A．1 B．
C． D．
[解析] 因为ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0?k＝.故选D．
3．(福州市八县市协作校2018－2019学年高二期末)如图，平面六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设＝a，＝b，＝c，则＝( D )
A．－a－b－c B．a＋b－c
C．a－b－c D．－a＋b－c
[解析] ＝＋，＝，＝＋，
∴＝－＋(－＋)
＝－c－a＋b.
故选D．
4．下列各组向量平行的是( A )
A．a＝(1,1，－2)，b＝(－3，－3,6)
B．a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)
C．a＝(0,1，－1)，b＝(0，－2,1)
D．a＝(1,0,0)，b＝(0,0,1)
[解析] 对A，a＝－3b，∴A正确；对B、C、D，不存在λ，使a＝λb，∴a、b不共线，B、C、D不正确．故选A．
5．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，则与的夹角为( B )
A．30° B．60°
C．45° D．90°
[解析] 由题意得＝(0,1,1)，＝(－1,1,0)，cos〈A，A〉＝＝＝，所以A与A的夹角为60°.故选B．
6．(2019·安徽合肥高二检测)已知平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，＝(－3,1,2)，点A不在α内，则直线AB与平面α的位置关系为( D )
A．AB⊥α B．AB?α
C．AB与α相交不垂直 D．AB∥α
[解析] ∵n·＝(2，－2,4)·(－3,1,2)＝－6－2＋8＝0，∴n⊥，而点A不在α内，故AB∥α.故选D．
7．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E、F分别是AD、DC的中点，则·＝( B )
A．1 B．－1
C． D．－
[解析] 如图所示，＝，所以·B＝A·(－)＝－×2×2cos60°＝－1，故选B．
8．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 如图所示：
∵B1B⊥平面ABCD，∴∠BCB1是B1C与底面所成角，
∴∠BCB1＝60°.
∵C1C⊥底面ABCD，∴∠CDC1是C1D与底面所成的角，
∴∠CDC1＝45°.
连接A1D，A1C1，则A1D∥B1C．
∴∠A1DC1或其补角为异面直线B1C与C1D所成的角．
不妨设BC＝1，则CB1＝DA1＝2，BB1＝CC1＝＝CD，
∴C1D＝，A1C1＝2.
在等腰△A1C1D中，cos∠A1DC1＝＝.
故选A．
9．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( B )
A．2· B．2·
C．2· D．2·
[解析] 2·＝－2·＝－2a2cos60°＝－a2，
2·＝2·＝2a2cos60°＝a2，
2·＝·＝－a2,2·＝·＝－·＝－a2.故选B．
10．(山东潍坊2018－2019学年高二期末)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，底面ABCD的边长为1，则二面角A－CD1－D的余弦值为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 过D作DO⊥CD1于O，连接AO，则∠AOD就是二面角A－CD1－D的平面角．
∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，底面ABCD的边长为1，
∴AA1＝.
在Rt△CDD1中，CD＝1，DD1＝，可得CD1＝2，DO＝.
在Rt△ADO中，AO＝＝，cos∠AOD＝＝×＝.
故选C．
11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E、F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为( C )
A．1 B．
C． D．
[解析] 以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1,1，)、F(2,1，)，所以|EF|＝＝，故选C．
12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则D1(0,0,1)、E(1,1,0)、A(1,0,0)、C(0,2,0)．
从而＝(1,1，－1)、＝(－1,2,0)、＝(－1,0,1)，
设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，
则，即，
得.令a＝2，则n＝(2,1,2)．
所以点E到平面ACD1的距离为
h＝＝＝.故选C．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为____.
[解析] a·b＝0＋2－2＝0，∴a⊥b，∴a与b的夹角为.
14．已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P是x轴上的动点，当·取最小值时，点P的坐标为__(，0,0)__.
[解析] 设P(x,0,0)，则＝(x－1，－2,0)，＝(x，－1,1)，
·＝x(x－1)＋2＝(x－)2＋，
∴当x＝时，·取最小值，此时点P的坐标为(，0,0)．
15．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成角的大小为__45°__.
[解析] 由条件知，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴BC＝，
∵PB＝PC＝1，∴∠BPC＝90°，
取BC边中点E，则
PE＝，AE＝，
又PA＝1，∴∠PEA＝90°，故∠PAE＝45°，
∵E为BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，
∴BC⊥平面PAE，
∴平面PAE⊥平面ABC，
∴∠PAE为直线PA与平面ABC所成角．
16．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为____.
[解析] 如图，过B、D分别向AC作垂线，垂足分别为M、N.则可求得AM＝、BM＝、CN＝、DN＝、MN＝1.
由于＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝()2＋12＋()2＋2(0＋0＋0)＝，∴||＝.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示.
[解析] 解法一：设BC边中点为D，则＝－，
∵＝＝×(＋)＝(b＋c)，
＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋×(＋)＝a＋b＋c，
∴＝(b＋c)－a－b－c＝－a，
∴＝－a.
解法二：简解：取BC的中点D，连OD、AD，由题意知
＝＝∴＝且GH∥OA∴＝a.
18．(本小题满分12分)(2019·黑龙江哈师大附中高二期中测试)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2.
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．
[解析] (1)如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD．
∵O为B1C的中点，D为AC的中点，∴OD∥AB1.
∵AB1?平面BC1D，OD?平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．
(2)建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.
则B(0,0,0)、A(0,2,0)、C1(2,0,2)、B1(0,0,2)．
∴＝(0，－2,2)、＝(2,0,2)．
cos〈，〉＝＝＝，
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cosθ＝，
∵θ∈(0，)，∴θ＝.
19．(本小题满分12分)在四棱锥P－ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ACD＝90°，△PAC 是边长为2的等边三角形，PB＝，E为PA的中点．
(1)求证：BE⊥平面PAD；
(2)求二面角C－PA－D的余弦值．
[解析] (1)证明：△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠DAC＝45°，AC＝BC，
∴BC∥AD，AB＝BC＝，
∵E为PA的中点，且AB＝PB＝，∴BE⊥PA，
在△PBC中，PC2＝PB2＋BC2，∴BC⊥PB．
又∵BC⊥AB，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB．
∵BC?平面PAB，∴BE⊥BC，
又∵BC∥AD，∴BE⊥AD，
又∵PA∩AD＝A，∴BE⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BC，AB，BP两两垂直，以B为原点，BC，AB，BP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，，0)，B(0,0,0)，C(，0,0)，P(0,0，)，则＝(，－，0)，＝(0，－，)．
设平面PAC的一个法向量为m＝(x，y，z)，则
∴
∴取m＝(1,1,1)
又由(1)知BE⊥平面PAD，故＝(0，，)为平面PAD的一个法向量，
∴cos〈m，〉＝＝，故二面角C－PA－D的余弦值.
20．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.
(1)求证：BE⊥平面ACF；
(2)求点E到平面ACF的距离．
[解析] (1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．
∴＝(－2,2,0)、＝(0,2,4)、＝(－2，－2,1)、＝(－2，0,1)．
∵·＝0，·＝0，
∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A．
∴BE⊥平面ACF.
(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，
∴点E到平面ACF的距离d＝＝.
故点E到平面ACF的距离为.
21．(本小题满分12分)(2019·全国Ⅱ卷理，17)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，求二面角B-EC-C1的正弦值．
[解析] (1)证明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，
故B1C1⊥BE.
又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，
所以BE⊥平面EB1C1.
(2)解：由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB．
以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(1，－1,1)，CC1＝(0,0,2)．
设平面EBC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则即
所以可取n＝(0，－1，－1)．
设平面ECC1的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则
即
所以可取m＝(1,1,0)．
于是cos?n，m?＝＝－.
所以，二面角B-EC-C1的正弦值为.
22．(本小题满分12分)(2019·天津理，17)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
(1)求证：MN∥平面BDE；
(2)求二面角C－EM－N的正弦值；
(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．
[解析] 如图，以A为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)．
(1)证明：＝(0,2,0)，＝(2,0，－2)．
设n＝(x，y，z)为平面BDE的一个法向量，
则即
不妨设z＝1，可得n＝(1,0,1)，
又＝(1,2，－1)，可得·n＝0.
因为MN?平面BDE，
所以MN∥平面BDE.
(2)解：易知n1＝(1,0,0)为平面CEM的一个法向量．
设n2＝(x1，y1，z1)为平面EMN的一个法向量，则
因为＝(0，－2，－1)，＝(1,2，－1)，
所以
不妨设y1＝1，可得n2＝(－4,1，－2)．
因此有cos〈n1，n2〉＝＝－，
于是sin〈n1，n2〉＝.
所以二面角C－EM－N的正弦值为.
(3)解：依题意，设AH＝(0≤h≤4)，则H(0,0，h)，进而可得＝(－1，－2，h)，＝(－2,2,2)．
由已知得
|cos〈，〉|＝＝＝，
整理得10h2－21h＋8＝0，
解得h＝或h＝.
所以线段AH的长为或.
课件77张PPT。第二章空间向量与立体几何章末整合提升知 识 网 络知 识 整 合
1．空间向量的加减运算
(1)空间向量可以看作是平面向量的推广，注意空间向量的三维多向性，有许多概念的定义是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量．
(2)空间向量的加减法的法则仍是三角形法则和平行四边形法则，即转化为平面向量的加减法，这是因为空间的任意两个向量都是共面的．4．线面位置关系
用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下．
(1)线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
(2)线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则a⊥b?a·b＝0.
(3)线面平行
用向量证明线面平行的方法主要有
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量用直线的方向向量线性表示．
(4)线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．5．空间角
(1)求异面直线所成的角
设两异面直线的方向向量分别为n1，n2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，故cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.
(2)求二面角的大小
如图，设平面α，β的法向量分别为n1，n2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面α，β所成的锐二面角θ，所以cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.
(3)用法向量求直线到平面的距离
首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化为直线上一点到平面的距离问题．
(4)用法向量求两平行平面间的距离
首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化为点到平面的距离问题．专 题 突 破1.空间向量的加减运算
空间向量的加、减法的法则仍是三角形法则和平行四边形法则，即转化为平面向量的加减法，这是因为空间的任意两个向量都是共面的．
2．空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件
(1)空间向量的数乘运算、平行向量的概念、向量平行的充要条件与平面向量的性质是一致的．专题一 ?空间向量的基本概念和几何运算①②③⑤ 专题二 ?空间向量的坐标运算B A (1)线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
(2)线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则a⊥b?a·b＝0.
(3)线面平行
用向量证明线面平行的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量．专题三 ?利用空间向量解决平行与垂直问题(4)线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．
专题四 ?利用空间向量求空间角(1)空间距离有两点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距六种情况，高考中以两点距与点面距为重点考查，而线面距、面面距通常可转化为点面距求解．
(2)两点距一般利用向量模求解，即利用两点间距离公式，而点面距主要利用平面法向量求解，有时也利用等体积转化法求解．专题五 ?利用空间向量求空间距离1．若平面α∥β，则下面可以是这两个平面法向量的是( )
A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)
B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)
C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)
D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)
[解析] ∵α∥β，∴平面α与β的法向量平行，又n2＝(－2，－2，－2)，n1＝(1,1,1)，n2＝－2n1，n1∥n2，故选D．D 2．已知线段MN的两端点坐标为M(3，－2,2)、N(1,2,2)，则线段MN与坐标平面( )
A．xOy平行 B．xOz平行
C．yOz平行 D．yOz相交AC D －3 90°
