第三章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2019·浙江，2)椭圆＋＝1的离心率是( B )
A． B．
C． D．
[解析] ∵椭圆方程为＋＝1，
∴a＝3，c＝＝＝.
∴e＝＝.
故选B．
2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( D )
A．2 B．2
C． D．1
[解析] 由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝＝1.
3．已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为( D )
A．10 B．20
C．2 D．4
[解析] 由椭圆定义可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴△ABF2的周长L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a.
由题意可知b2＝25,2c＝8，∴c2＝16
a2＝25＋16＝41，∴a＝，∴L＝4，故选D．
4．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( D )
A．4 B．5
C．7 D．8
[解析] 由题意，得m－2>10－m，且10－m>0，于是65．已知方程(m－3)x2＋(5－m)y2＝(m－3)(5－m)，其中m∈R，对m的不同取值，该方程不可能表示的曲线是( D )
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析] 由题意，m∈R，对m的不同取值，该方程不可能出现一次项，故方程不表示抛物线．故选D．
6．(2019·山东济宁二模)已知直线l过抛物线C：y2＝3x的焦点F，交C于A，B两点，交C的准线于点P，若＝，则|AB|＝( B )
A．3 B．4
C．6 D．8
[解析] 如图，由抛物线C：y2＝3x，可得F(，0)，准线DP：x＝－，因为＝，所以F是AP的中点，则AD＝2CF＝3，所以可得A(，)，则KAF＝，所以直线AP方程：y＝(x－)，联意方程，
整理得x2－x＋＝0，
所以x1＋x2＝，则|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝4.故选B．
7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( C )
A． B．2
C．4 D．8
[解析] |AB|＝4，∴准线方程为x＝－4，∴A(－4，2)在双曲线上设方程－＝1(a≠0)，即－＝1，∴a＝2，∴实轴长2a＝4.
8．如图，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为( A )
A．e1＜e2＜e4＜e3 B．e1＜e2＜e3＜e4
C．e2＜e1＜e3＜e4 D．e2＜e1＜e4＜e3
9．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的任意一点，则|PF1|·|PF2|的最大值是( C )
A．9 B．16
C．25 D．
[解析] 设P(x0，y0)，|PF1|＝5＋x0，|PF2|＝5－x0，
∴|PF1|·|PF2|＝25－x，
∴|PF1|·|PF2|的最大值是25.
故选C．
10．(福建泉州普通高中2017－2018学年质量检测)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋相切，则C的离心率为( A )
A． B．
C．2 D．
[解析] 由题意得，联立直线与抛物线得x2－kx＋＝0，由Δ＝0得k＝±，即＝，所以e＝＝，故选A．
11．(2019·全国Ⅱ卷理，11)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( A )
A． B．
C．2 D．
[解析] 设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得2＋2＝a2，故＝，即e＝.故选A．
12．(2019·全国Ⅱ文，12)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交于C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( C )
A． B．2
C．2 D．3
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立得方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
故选C．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝__2__.
[解析] 由题意可知，抛物线的准线方程为x＝－，因为p＞0，所以该准线过双曲线的左焦点，由双曲线的方程可知，左焦点坐标为(－，0)；故由－＝－可解得p＝2.
14．(2019·全国Ⅲ文，14)双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝__5__.
[解析] ∵双曲线的标准方程－＝1(a>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴a＝5.
15．(2019·江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是__2__.
[解析] 如图所示，双曲线－y2＝1的焦点为F1(－2，0)，F2(2,0)，
所以|F1F2|＝4.
双曲线－y2＝1的右准线方程为x＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
由得P(，)．同理可得Q(，－)．
∴|PQ|＝，
∴S四边形F1PF2Q＝·|F1F2|·|PQ|＝×4×＝2.
16．(山东潍坊2018－2019学年高二期末)给出下列四个命题
①已知P为椭圆＋y2＝1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|·|PF2|的范围是[3,4]；
②已知M是双曲线－＝1上任意一点，F2是双曲线的右焦点，则|MF2|≥1；
③已知直线l过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F，且l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2＋4y1y2＝0；
④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点F1，F2是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，若静放在点F1的小球(小球的半径忽略不计)从点F1沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点F1时，小球经过的路程恰好是4a.其中正确命题的序号为__②③__(请将所有正确命题的序号都填上)．
[解析] ①椭圆＋y2＝1的a＝2，b＝1，c＝，e＝＝，设P的横坐标为m，
由焦半径公式可得，则|PF1|·|PF2|＝(2＋m)(2－m)＝4－m2，由－2≤m≤2，
可得所求范围是[1,4]，故①错误；
②已知M是双曲线上任一点，若M在双曲线左支上，可得|MF2|≥5；
若M在双曲线右支上，可得|MF2|≥1，故②正确；
③已知直线l过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F，设直线l的方程为y＝kx＋，代入抛物线的方程可得x2－2pkx－p2＝0，且l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，可得x1x2＝－p2，y1y2＝＝，则x1x2＋4y1y2＝0，故③正确；对于④，假设长轴在x轴，短轴在y轴，设A为左焦点，B是它的右焦点，以下分为三种情况：
(1)球从A沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是2(a－c)；
(2)球从A沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是2(a＋c)；
(3)球从A不沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点C，反弹后经过椭圆的另一个焦点B，
再弹到椭圆上一点D，经D反弹后经过点A，此时小球经过的路程是4a.
综上所述，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，
小球经过的路程是4a或2(a－c)或2(a＋c)．故④错误．
故答案为②③.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹．
[解析] 设点M的坐标为(x，y)、点A的坐标为(x0，y0)．
由题意得，∴，
又∵点A(x0，y0)在圆(x＋1)2＋y2＝4上，
∴(2x－3)2＋(2y－3)2＝4，
即(x－)2＋(y－)2＝1.
故线段AB的中点M的轨迹是以点(，)为圆心，以1为半径的圆．
18．(本小题满分12分)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
[解析] (1)求椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)l的方程式为y＝x＋c，其中c＝，
设A(x1，y1)、B(x1，y1)，则A、B两点坐标满足方程组，
消去y化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，
即＝|x2－x1|.则＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－＝，
解得b＝.
19．(本小题满分12分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
[解析] ①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，且c＝.
设双曲线为－＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.
因为＝，所以＝，解得a＝7，m＝3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为，
所以b2＝36，n2＝4.
所以椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
20．(本小题满分12分)点A、B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
[解析] (1)由已知可得点A(－6,0)、F(4,0)，设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)，
由已知得，
消去y得，2x2＋9x－18＝0，∴x＝或x＝－6.
由于y>0，只能x＝，于是y＝.
∴点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0，设点M的坐标为(m,0)，则M到直线AP的距离是，于是＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2.
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
∴d2＝(x－2)2＋y2＝2＋15，
∵－6≤x≤6，∴当x＝时，d取最小值.
21．(本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅱ理，19)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解析] (1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
22．(本小题满分12分)(2019·北京文，19)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．
[解析] (1)解：由题意，得b2＝1，c＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线AP的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得点M的横坐标xM＝－.
又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝.
同理，|ON|＝.
由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|OM|·|ON|＝·
＝
＝
＝2.
又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.
解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．
课件57张PPT。第三章圆锥曲线与方程章末整合提升知 识 网 络知 识 整 合坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数的方法研究几何问题．
本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路，建立直角坐标系，设出点的坐标，根据条件列出等式，求出圆锥曲线方程，再通过曲线方程，研究曲线的几何性质．
本章内容主要有两部分：一部分是求椭圆、抛物线、双曲线的标准方程，基本方法是利用定义或待定系数法来求；另一部分是研究椭圆、抛物线、双曲线的几何性质，并利用它们的几何性质解决有关几何问题．
学习本章应深刻体会数形结合的思想，转化的思想，函数的思想及待定系数法等重要的数学思想和方法．
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决．
直线l与圆锥曲线有无公共点，等价于由它们的方程组成的方程组有无实数解，方程组有几组实数解，直线l与圆锥曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，直线l与曲线C就没有公共点．
(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；
(2)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算．专 题 突 破椭圆、抛物线、双曲线是三种重要的圆锥曲线，其上动点M分别满足以下条件：(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，其中F1、F2为定点；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，其中F1、F2为定点；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M到定直线l的距离，F为l外一定点)．凡涉及圆锥曲线上点与焦点的距离问题，一般从定义入手．专题一 ?圆锥曲线定义的应用高考往往在选择题或填空题中结合圆锥曲线的几何性质求圆锥曲线方程，在解答题中根据给出的条件建立圆锥曲线的方程，圆锥曲线的标准方程是高考中解析几何的必考内容．专题二 ?圆锥曲线的标准方程B y2＝8x 『规律总结』 (1)在已知圆锥曲线的类型时，求圆锥曲线方程的关键是根据已知的几何条件或者代数条件，列出方程或者方程组，求出圆锥曲线的方程中的系数(待定系数法)．(2)当动点随另一个在已知曲线上运动的点而变化时，建立两个动点坐标之间的关系，代入已知曲线方程得出圆锥曲线方程(代入法)．专题三 ?圆锥曲线的几何性质A B 高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．专题四 ?直线与圆锥曲线的关系与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法：
1．结合定义利用图形中几何量之间的大小关系．
2．不等式(组)求解法：根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围．
3．函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、另一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．
4．利用代数基本不等式：代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思．
5．构造一个一元二次方程，利用判别式Δ≥0来求解．专题五 ?与圆锥曲线有关的最值和范围问题求一般的动点的轨迹方程要根据动点满足的条件选择合理的方法(如待定系数法、代入法、参数法等)，在动点满足一个几何表达式时，一般采用直接把动点坐标代入几何表达式，得到关于动点坐标的代数方程，化简整理这个方程的方法求解(直接法)，要注意变换过程的同解性、特殊的点以及动点的变化范围等，使求得的方程恰好是满足几何条件的动点的轨迹方程．专题六 ?轨迹问题一、选择题
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)B D A 二、填空题
4．直线l与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，若点P(4,1)为线段AB的中点，则直线l的方程是__________________.x－y－3＝0 2
