第一章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．“x>1”是“x>2”的( B )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 当x＝1.5时，满足x>1，但x>2不成立，当x>2时，一定有x>1成立．
所以“x>1”是“x>2”的必要不充分条件．故选B．
2．(河南洛阳市2018－2019学年高二期末)命题“若a，b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是( D )
A．若a，b都不是奇数，则a＋b是偶数
B．若a＋b是偶数，则a，b都是奇数
C．若a＋b不是偶数，则a，b都不是奇数
D．若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数
[解析] 根据逆否命题的定义可知：命题的逆否命题为：若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数．故选D．
3．一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中( C )
A．真命题与假命题的个数相同
B．真命题的个数一定是奇数
C．真命题的个数一定是偶数
D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
[解析] 互为逆否命题的命题逻辑值相同，一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否，所以真命题的个数可能为0,2,4，一定是偶数，故选C．
4．下列命题中，真命题是( D )
A．存在x0∈R，ex0≤0
B．任意x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
[解析] 本题考查了量词与充分必要条件．由指数函数的性质知A错误．
当x＝3时，8<9，知B错误，由a＝b＝0时知C错误，排除法是解选择题的不错选择．故选D．
5．(2019·山东枣庄二调)已知命题p：N?Q；命题q：?x>0，elnx＝x，则下列命题中的真命题为( A )
A．p∧q B．p∧?q
C．?p∧q D．?p∧?q
[解析] 由题意知p真，q真，所以p∧q为真，故选A．
6．(2019·天津理，3)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( B )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由“x2－5x<0”可得“07．已知命题p：任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则非p是( C )
A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
[解析] 本题考查全称命题的否定．
根据全称命题的否定为存在性命题，即
若p为：“任意x∈M，g(x)”
非p为：“存在x∈M，非g(x)”，故C正确．
要正确区别命题的否定与否命题，这是两个完全不同的概念，不可混淆．
8．已知命题p：无穷数列{an}的前n项和为Sn，若{an}是等差数列，则点列{(n，Sn)}在一条抛物线上；命题q：若实数m>1，则关于x的不等式mx2＋(2m－2)x－1>0的解集为(－∞，＋∞)．
对于命题p的逆否命题s与命题q的逆命题r，下列判断正确的是( C )
A．s是假命题，r是真命题
B．s是真命题，r是假命题
C．s是假命题，r是假命题
D．s是真命题，r是真命题
[解析] 对于命题p，当{an}为常数数列时为假命题，从而其逆否命题s也是假命题；
由于使mx2＋(2m－2)x－1>0的解集为(－∞，＋∞)的m不存在，故命题q的逆命题r是假命题．故选C．
9．下列命题中正确的是( D )
A．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互平行”的充分不必条件
B．“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的充分条件
C．已知a、b、c为非零向量，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的充要条件
D．p：存在x∈R，x2＋2x＋2 013≤0.则?p：任意x∈R，x2＋2x＋2 013＞0
[解析] 特称命题的否定是全称命题，D正确．
10．命题“?n∈N*，f(n)∈N* 且f(n)≤n”的否定形式是( D )
A．?n∈N*, f(n)?N*且f(n)>n
B．?n∈N*, f(n)?N*或f(n)>n
C．?n0∈N*, f(n0)?N*且f(n0)>n0
D．?n0∈N*, f(n0)?N*或f(n0)>n0
[解析] 根据全称命题的否定是特称命题，可知选D．
11．命题p：不等式||>的解集为{x|0A．p真q假 B．“p且q”为真
C．“p或q”为假 D．p假q真
[解析] 分别判断命题p与命题q的真假，
∵||>?<0?0∴p真．
∵由sinA＝sinB不一定有A＝B，如
sin＝sin，而≠，
∴q假，故选A．
12．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；
②ac③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是( D )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
[解析] 本题考查不等式性质，比较大小．
－＝，a>b>1，c<0，所以>0，>，①正确；a>b>1，acb－c>0，由题意知logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确，比较大小的方法有作差法、单调性法等．故选D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若命题“?x0∈R，ax－ax0－2≥0”是假命题，则实数a的取值范围是__(－8,0]__.
14．设p：x＞2或x＜；q：x＞2或x＜－1，则?p是?q的__充分不必要__条件．
[解析] ?p：≤x≤2；?q：－1≤x≤2，?{x|－1≤x≤2}所以?p是?q的充分不必要条件．
15．命题“存在x∈R，使x2＋ax＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是__a>2或a<－2__.
[解析] 由于存在x∈R，使x2＋ax＋1<0，又二次函数f(x)＝x2＋ax＋1开口向上，故Δ＝a2－4>0，所以a>2或a<－2.
16．在下列四个命题中，真命题的个数是__4__.
①?x∈R，x2＋x＋3＞0；
②?x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
③?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sin β；
④?x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.
[解析] ①为真命题，因为x2＋x＋3＝2＋＞0恒成立；
②为真命题，有理数为四则运算，仍为有理数；
③为真命题，当α＝，β＝0时方程成立；
④为真命题，当x0＝6，y0＝4时，方程成立．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：?m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：?x∈R，使得x2＋x＋1≤0.
[解析] (1)?p：?m∈R，使方程x2＋x－m＝0无实数根．
若方程x2＋x－m＝0无实数根，则
Δ＝1＋4m<0，∴m<－，
∴?p为真．
(2)?q：?x∈R，使得x2＋x＋1>0.
∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，
∴?q为真．
18．(本小题满分12分)写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
[解析] 逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0，真命题．
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题．
19．(本小题满分12分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)正三角形的三内角相等；
(2)全等三角形的面积相等；
(3)已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
[解析] (1)原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等”．
逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形(或写成：三个内角相等的三角形是正三角形)．
否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．
逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形(或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形)．
(2)原命题即是“若两个三角形全等，则它们的面积相等”．
逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等(或写成：面积相等的三角形全等)．
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等(或写成：不全等的三角形面积不相等)．
逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等．(或写成：面积不相等的两个三角形不全等)．
(3)原命题即是“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”．其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a与b，c与d都相等”是条件p，“a＋c＝b＋d”是结论q，所以
逆命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.
否命题：已知a、b、c、d是实数，若a≠b，或c≠d，则a＋c≠b＋d.
逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b，或c≠d.
20．(本小题满分12分)求证：“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．
[证明] 充分性：当b＝0时，如果a＋2b＝0，
那么a＝0，此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，
直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直；
当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－，
直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－，如果a＋2b＝0，
那么k1k2＝×＝－1，两直线互相垂直．
必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k1k2＝×＝－1，所以a＋2b＝0；
若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，
则b＝0，且a＝0.所以，a＋2b＝0.
综上，“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．
21．(本小题满分12分)设p：关于x的不等式ax＞1 (a＞0且a≠1)的解集为{x|x＜0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围．
[解析] 当p真时，0＜a＜1，
当q真时，即a＞，
∴p假时，a＞1，q假时，a≤.
又p和q有且仅有一个正确．
当p真q假时，0＜a≤，当p假q真时，a＞1.
综上得，a∈(0，]∪(1，＋∞)．
22．(本小题满分12分)已知命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B．
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] (1)命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1上恒成立，所以m>(x2－x)max，得m>2，即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，
解集A＝{x|2＋a若x∈A是x∈B的充分不必要条件，
则A?B，
所以2＋a≥2，
此时a∈(1，＋∞)；
②当3a＝2＋a，
即a＝1时，
解集A＝?，可得出x∈A是x∈B的充分不必要条件；
③当3a<2＋a，即a<1时，
解集A＝{x|3a若x∈A是x∈B的充分不必要条件，
则A?B成立，
所以3a≥2，此时a∈[，1)．
综上可得a∈[，＋∞)．
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1．学习命题，首先根据能否判断语句的真假看是否是命题，掌握四种命题的组成及互为逆否命题的等价性．
2．由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转而判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”，所以教材在阐述了四种命题后安排了用反证法的例题，可以加深对命题等价性理解．3．充要条件的判断是通过判断命题“若p则q”的真假来判断的．因此，充要条件与命题的四种形式之间的关系密切，可相互转化．
充分、必要条件问题涉及的知识面广，要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及的知识．
4．准确区分全称命题和特称命题的差异，能用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定．
5．准确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，熟练判断“p且q”“p或q”“?p”形式的命题的真假．
6．要注意：否命题与命题的否定是不同的，如果原命题是“若p则q”，那么这个原命题的否命题是“若非p，则非q”，而这个命题的否定是“若p，则非q”，可见：否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论，例如，原命题“若∠A＝∠B，则a＝b”的否命题是“若∠A≠∠B，则a≠b”，而原命题的否定是“若∠A＝∠B，则a≠b.”专 题 突 破可以判断真假的陈述句为命题、反问句也是命题，但疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．专题一 ?命题及其真假判断(4)函数y＝12x＋1是单调增函数；
(5)非典型肺炎是怎样传染的？
(6)奇数的平方仍是奇数；
(7)好人一生平安！
(8)解方程3x＋1＝0；
(9)方程3x＋1＝0只有一个解；
(10)3x＋1＝0.
[解析] (1)(2)(3)(4)(6)(9)都是命题，其中(1)(4)(6)(9)为真命题．『规律总结』 (5)是疑问句，(7)是感叹句，(8)是祈使句都不是命题，(10)中由于x的值未给，故无法判断此句的真假，因而不是命题．『规律总结』 复合命题的真假判断是个难点，当直接判断不易着手时，可转为判断它的等价命题——逆否命题，这是一种重要的处理技巧．1.注意：若p，则q，不能写作“p?q”，因为前者真假未知，而“p?q”是说“若p，则q”是一个真命题．
2．原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题也等价．从而四种命题中有两对同真同假．
3．互逆或互否的两个命题不等价，其真假没有联系．专题二 ?四种命题的关系专题三 ?充分条件与必要条件A B B B C
(2)本题考查两条直线垂直的充要条件．
当a＝1时，直线x－ay＝0化为直线x－y＝0，∴直线x＋y＝0与直线x－y＝0垂直；
当直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直时，有1－a＝0，
∴a＝1，故选C．专题四 ?全称命题与特称命题1.全称命题与特称命题
含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．
判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．
判断特称命题为真命题，只要找到一例即可，而判断特称命题为假时，要有严格的逻辑证明．
2．含有一个量词的命题的否定
这是高考考查的重点，对全称命题和特称命题的考查主要以考查它们的否定为主，多以客观题为主，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．『规律总结』 通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．1.逻辑联结词：在数学中，有时会使用一些联结词，如“或”“且”“非”．
2．“p且q”记作p∧q；“p或q”记作p∨q；“非p”记作?p.
3．命题p∧q，p∨q和?p的真假可以用下表来判断(即真值表)：专题五 ?根据复合命题的真假，求参数的值或范围上述语句可以描述为：对于p∧q而言“一假必假”；对于p∨q而言“一真必真”；对于?p而言“真假相反”．
4．正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断，其步骤为：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中简单命题的真假；(3)根据其真值表判断复合命题的真假． 已知两个命题：r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.如果对任意x∈R，r(x)且s(x)为假命题，r(x)或s(x)为真命题，求实数m的取值范围．此类问题主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．专题六 ?根据充分条件、必要条件求参数的取值范围一、选择题
1．b＝c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过原点的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 若b＝c＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c＝ax2经过原点，
若二次函数y＝ax2＋bx＋c过原点，则c＝0，故选A．A 2．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
[解析] 本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识．
对于A、α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内一定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D．D3．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．
其中真命题为( )
A．①② B．①③
C．②③ D．③④B
[解析] 对于①，“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是：若x，y互为相反数，则x＋y＝0.它是真命题．
对于②，“全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等，它是假命题．
对于③，若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，故命题若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根是真命题；它的逆否命题的真假与该命题的真假相同，故③是真命题．
对于④，原命题为假，故逆否命题也为假．故选B．D 二、填空题
5．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是______________________________________，否命题是____________________ ______________________.
[解析] “末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是“末位数字是0或5的整数，不能被5整除”末位数字是0或5的整数能被5整除的否命题是“末位数字不是0且不是5的整数，不能被5整除”．末位数字是0或5的整数，不能被5整除 末位数字不是0且不是 5的整数，不能被5整除 6．若数列{an}满足(an＋1－an)2＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等差方数列”．甲：数列{an}是等差方数列；乙：数列{an}是等差数列，则甲是乙的______________条件．
[解析] 对于乙：{an}是等差数列，公差为d，即an＋1－an＝d?(an＋1－an)2＝d2.
∴甲命题成立；反之，数列{an}是等差方数列，
即(an＋1－an)2＝q2?an＋1－an＝±q，相邻两项之差不一定为常数，则命题乙不成立．必要不充分 三、解答题
7．(江西九江一中2017－2018期末)已知命题p：?x∈(1,2)使不等式x2－(a＋1)x＋a≤0成立；命题q：函数f(x)＝log2(x2－ax)在[2，＋∞)上单调递增．求使p且q为真命题的实数a的取值范围．
