第一章 §2
A级 基础巩固
一、选择题
1．(湖南湘潭市2018－2019学年高二期末)“x>2”是“x>1”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 结合题意可知x>2可以推出x>1，但x>1并不能保证x>2，故为充分不必要条件，故选A．
2．(安徽省蚌埠市2017－2018学年高二期末)“直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
[解析] 异面直线一定不相交，不相交可以平行，所以“直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的必要不充分条件，故选B．
3．(2019·北京文，6)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( C )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵ f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，
∴ 对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，
∴ 2bsinx＝0.由x的任意性，得b＝0.
故f(x)为偶函数?b＝0.必要性成立．
反过来，若b＝0，则f(x)＝cosx是偶函数．充分性成立．
∴ “b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．
故选C．
4．设集合M＝{x||x－1|<2}，N＝{x|x(x－3)<0}，那么“a∈M”是“a∈N”的( A )
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] M＝{x|－1
5．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力．由已知m?α，若α⊥β则有m⊥β，或m∥β或m与β相交；反之，若m⊥β，∵m?α，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β.∴α⊥β是m⊥β的必要不充分条件．故选B．
6．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若m＝2，则A＝{1,4}，B＝{2,4}，
A∩B＝{4}，即m＝2?A∩B＝{4}，
若A∩B＝{4}，则m2＝4，m＝±2，
即A∩B＝{4}m＝2，
∴m＝2是A∩B＝{4}的充分不必要条件．
二、填空题
7．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)，都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的__充分不必要__条件．
[解析] 点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，
∴{an}为等差数列，但是{an}是等差数列却不一定就是an＝2n＋1.
8．下列说法不正确的是__①③__.(写出满足条件的所有命题序号)
①x2≠1是x≠1的必要条件；
②x>5是x>4的充分不必要条件；
③xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件；
④x2<4是x<2的充分不必要条件．
[解析] “若x2≠1，则x≠1”的逆否命题为“若x＝1，则x2＝1”，易知x＝1是x2＝1的充分不必要条件，故①不正确．③中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则③不正确．②④正确．
三、解答题
9．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
[证明] 充分性：因为a－b＋c＝0，
即a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，
所以－1是ax2＋bx＋c＝0的一个根．
必要性：因为ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1，
所以a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0.
综上可得ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
10．在下列各题中，判定p是q的什么条件．
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
(3)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
[分析] 看p是否推出q，q是否推出p.
[解析] (1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0.
所以p是q的充分不必要条件．
(2)∵m<－2?方程x2－x－m＝0无实根；而方程x2－x－m＝0无实根m<－2.
∴p是q的充分不必要条件．
(3)由p?q，而qp．所以p是q的充分不必要条件．
B级 素养提升
一、选择题
1．设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题考查简易逻辑中充分性、必要性．
当a>b?a|a|>b|b|
当a>b>0时，a|a|－b|b|＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0成立
当b0成立
当b<00成立
同理由a|a|>b|b|?a>b.选C．
2．已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2019·全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( B )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
[解析] 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B．
4．设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( A )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 方法1：由题意知|m|≠0，|n|≠0.
设m与n的夹角为θ.
若存在负数λ，使得m＝λn，
则m与n反向共线，θ＝180°，
∴m·n＝|m||n|cosθ＝－|m||n|<0.
当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．
故选A．
方法2：∵m＝λn，
∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.
∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.
反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈(，π]，
当〈m，n〉∈(，π)时，m，n不共线．
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．
故选A．
二、填空题
5．用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空：
(1)“m≠3”是“|m|≠3”的__必要不充分条件__；
(2)“四边形ABCD为平行四边形”是“AB∥CD”的__充分不必要条件__；
(3)“a>b，c>d”是“a－c>b－d”的__既不充分也不必要条件__.
6．设m、n是整数，则“m、n均为偶数”是“m＋n是偶数”的
__充分不必要条件__.
[解析] 当“m、n均为偶数”时，“m＋n是偶数”是成立的；而当“m＋n是偶数”时，“m、n均为偶数”不一定成立，如：3＋5＝8为偶数，但3,5都是奇数，∴“m、n均为偶数”是“m＋n是偶数”的充分不必要条件．
三、解答题
7．指出下列各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|；q：x＝y；
(2)p：c＝0；q：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过原点；
(3)p：四边形ABCD为平行四边形；q：四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．
[解析] 观察各题中是由p?q，还是由q?p，然后利用定义得答案．
(1)因为“p?q”为假命题，“q?p”为真命题，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．
(2)c＝0?抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过原点；抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过原点?c＝0，所以p是q的充要条件，q是p的充要条件．
(3)因为p?q为真，所以p是q的充要条件，q是p的充要条件．
8．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，－≤x≤2}，B＝{x||x－m|≥1}，命题p：t∈A，命题q：t∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
[解析] 先化简集合A，由y＝x2－x＋1，配方，
得y＝(x－)2＋.
因为x∈[－，2]．
所以y∈[，2]．
所以A＝{y|≤y≤2}．
由|x－m|≥1，
解得x≥m＋1或x≤m－1.
所以B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}．
因为命题p是命题q的充分条件，
所以A?B．
所以m＋1≤或m－1≥2，
解得m≤－或m≥3.
故实数m的取值范围是(－∞，－]∪[3，＋∞)．
课件55张PPT。第一章常用逻辑用语§2 充分条件与必要条件自主预习学案曹操赤壁兵败之后欲投南郡，除华容道外，还有一条大路，前者路险，但近50里；后者路平，但远50里．曹操发现“小路山边有数处起烟，大路并无动静”．曹操推断“诸葛亮多谋，使人于山僻烧烟，他却伏兵于大路，我偏不中计！”哪知这正与诸葛亮的推断吻合：曹操熟读兵书，会搬用“虚则实之，实则虚之”的原理，不如来一个实而实之，以傻卖傻，故燃炊烟，最终使曹操败走华容道．曹操的错误在于把不可靠的臆测作为已知条件，经过推理，得到的结论当然是不可靠的．1．充分条件和必要条件
(1)当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记作__________，读作____________.
(2)如果p?q，则p叫作q的________条件．
(3)如果q?p，则p叫作q的________条件．
2．充要条件
如果既有p?q成立，又有q?p成立，记作__________，则p叫作q的________条件．p?q p推出q 充分 必要 p?q 充要 1．“x2＞2 019”是“x2＞2 018”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] x2＞2 019的条件下可以推出x2＞2 018，但x2＞2 018不能推出x2＞2 019，所以x2＞2 019是x2＞2 018的充分不必要条件．A2．设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 等比数列中“a1＜a2＜a3”故{an}为递增数列；反之，{an}为递增的等比数列，一定会有a1＜a2＜a3，所以是充分必要条件．C3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1A[解析] a⊥b，则需2(x－1)＋2＝0，解得x＝0，反之，x＝0时，－1×2＋2＝0，a⊥b.D 5．在△ABC中，内角A和B所对的边分别为a和b，则a>b是sinA>sinB的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件C互动探究学案命题方向1 ?充分条件、必要条件、充要条件的判定[思路分析] 先判定“若p则q”“若q则p”的真假，再得两者之间关系即可，也可从集合的角度入手．『规律方法』 1.判断p是q的什么条件其实质是判断“若p则q”及其逆命题“若q则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题、逆命题均为假，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．判断p是q的什么条件，应掌握几种常用的判断方法．
(1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法；(4)传递法．有时借助数轴、韦恩图、集合等知识形象、直观的特点或举反例，赋特殊值对判断各条件之间的推断关系常常起到事半功倍的效果．〔跟踪练习1〕
(1)“x<－1”是“x2－1>0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件AAC 命题方向2 ?充要条件的证明[思路分析] 第一步，审题，分清条件与结论：
“p是q的充要条件”中p是条件，q是结论；“p的充要条件是q”中，p是结论，q是条件．本题中条件是“a＋b＋c＝0”，结论是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1”．
第二步，确定解题步骤．
分别证明“充分性”与“必要性”，先证充分性：“条件?结论”；再证必要性：“结论?条件”．
第三步，规范解答．[解析] 必要性：
∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
充分性：
∵a＋b＋c＝0，
∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
因此，方程有一个根为x＝1.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.『规律方法』 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.命题方向3 ?用集合法判断充分条件与必要条件充分不必要 [思路分析] 对p、q所对应的集合A、B．若A?B，则p是q的充分条件；若A?B，则p是q的充分不必要条件；若B?A，则p是q的必要条件；若B?A，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p、q互为充要条件．命题方向4 ?利用充要条件求解参数
〔跟踪练习4〕
已知条件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，当a为何值时，
(1)p是q的充分不必要条件；
(2)p是q的必要不充分条件；
(3)p是q的充要条件．
[分析] 用条件的充分性、必要性确定范围，一般转化为集合之间的包含关系．[解析] 由p：A＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，
由q：B＝[1,2]．
(1)∵p是q的充分不必要条件，∴A?B且A≠B，
当A＝{1}时，a＝1；
当A＝[1，a]时，1(2)∵p是q的必要不充分条件，
∴B?A且A≠B，
故A＝[1，a]且a>2?a>2.
(3)∵p是q的充要条件，∴A＝B?a＝2.D [－1,5] 充要条件的探求 (1)探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：①先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立．②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件．
(2)求一个命题的充要条件时，往往要从两个方面进行求解：一是充分性，二是必要性． 已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
[思路分析] 方程有两个实数根，则Δ≥0，两根均大于1，则相应二次函数图像的对称轴在x＝1的右侧，且x＝1时对应的函数值大于0，建立不等式组求解． a≤9 6≤a≤9 [错解] C f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝x2a·b＋xb2－xa2－a·b＝x2·a·b＋x(b2－a2)－a·b.
充分性：∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴f(x)＝x(b2－a2)是一次函数．
必要性：∵f(x)是一次函数，
∴a·b＝0，
∴a⊥b.故选C．
[辨析] 错误的原因是：在f(x)＝x(b2－a2)中，忽视了|a|＝|b|，从形式上认为f(x)是一次函数．[正解] B f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)
＝x2a·b＋xb2－xa2－a·b
＝x2a·b＋x(b2－a2)－a·b.
充分性：∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴f(x)＝x(b2－a2)，
若|a|≠|b|，则f(x)是一次函数；若|a|＝|b|，
则f(x)是常数函数，∴充分性不成立．
必要性：∵f(x)是一次函数，
∴a·b＝0且b2－a2≠0，∴a⊥b且|b|≠|a|，
∴必要性成立．
综上可知应选B．1．若α∈R，则“α＝0”是“sinαA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件A2．(山东潍坊2018－2019高二期末)设x∈R，则“x>1”是“|x|>1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由|x|>1，解得x>1或x<－1，
故“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件，故选A．A3．(2019·浙江卷，5)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件AB 5．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由
|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D．D6．若“x[解析] ∵x2－2x－3≥0，∴x≥3或x≤－1.
∵“x∴a≤－1.a≤－1 课 时 作 业 学 案