第一章 §3
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题中全称命题的个数是( C )
①任意一个自然数都是正整数；
②有的等差数列也是等比数列；
③三角形的内角和是180°.
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①③为全称命题，②为特称命题．故选C．
2．选出与其他命题不同的命题( B )
A．有一个平行四边形是菱形
B．任何一个平行四边形是菱形
C．某些平行四边形是菱形
D．有的平行四边形是菱形
[解析] B选项为全称命题，其余的为特称命题．故选B．
3．(2019·长沙高二检测)已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( C )
A．存在x0∈R，f(x0)≤f(x1) B．存在x0∈R，f(x0)≥f(x1)
C．任意x∈R，f(x)≤f(x1) D．任意x∈R，f(x)≥f(x1)
[解析] a>0，f(x)＝ax2＋bx＋c为开口向上的二次函数，∴f(x)min＝f(－)
即?x∈R，f(x)≥f(－)＝f(x1)
∴C为假命题．故选C．
4．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( C )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
[解析] 本题考查了全称、特称命题及命题的否定．
“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．
这类题目应遵循“存在变任意(任意变存在)，再否定结论”的原则．故选C．
5．下列四个命题中，其中为真命题的是( C )
A．任意x∈R，x2＋3<0 B．任意x∈N，x2≥1
C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，x2＝3
[解析] 由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“任意x∈R，x2＋3<0”为假命题；
由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，
所以命题“任意x∈N，x2≥1”是假命题；
由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，
所以命题“存在x∈Z，使x5<1”为真命题；
由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x∈Q，x2＝3”是假命题．故选C．
6．命题“存在x0∈?RQ，x∈Q”的否定是( D )
A．存在x0??RQ，x∈Q B．存在x0∈?RQ，x?Q
C．任意x??RQ，x3∈Q D．任意x∈?RQ，x3?Q
[解析] 本题考查量词命题的否定改写．
任意x0∈?RQ，x?Q，注意量词一定要改写．故选D．
二、填空题
7．给出下列命题：
①任意x∈R，是无理数；
②任意x、y∈R，若xy≠0，则x、y至少有一个不为0；
③存在实数既能被3整除又能被19整除；
④x>1是<1的充要条件．
其中真命题为__②③__.
[解析] ①是假命题，例如是有理数；②是真命题，若xy≠0，则x，y全都不为0；③是真命题；④x>1是<1的充分不必要条件．
8．填上适当的量词，使下列命题为真命题．
(1)__任意__x∈R，使x2＋2x＋1≥0.
(2)__存在__α，β∈R，使cos(α－β)＝cosα－cosβ.
(3)__存在__a，b∈R，使方程组有唯一解．
(4)__存在__m∈R，n∈R，使mn＝n.
三、解答题
9．写出下列命题的否定并判断真假：
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)每一个非负数的平方都是正数；
(3)有的四边形没有外接圆；
(4)某些梯形的对角线互相平分．
(5)有些质数是奇数；
(6)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
[解析] (1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定是非p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实根，因此非p是真命题．
(2)命题的否定：存在一个非负数的平方不是正数，是真命题．
(3)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．
(4)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．
(5)命题的否定为：所有的质数不是奇数．很明显，质数3就是奇数，所以命题的否定是假命题．
(6)命题的否定为：存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1.因为原命题是真命题，所以命题的否定为假命题．
10．若命题“对任意x∈R，关于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0都成立”为真命题，求a的取值范围．
[解析] 当a＝－1时，不等式不成立；
当a＝1时，原不等式恒成立．
当a2－1≠0时，
所以－
B级 素养提升
一、选择题
1．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( C )
A．所有奇数的立方不是奇数
B．不存在一个奇数，它的立方是偶数
C．存在一个奇数，它的立方不是奇数
D．不存在一个奇数，它的立方是奇数
[解析] 全称命题的否定是特称命题．故选C．
2．下列命题中的假命题是( B )
A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C．对任意α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ
[解析] cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，显然选项C，D为真；sinα·sinβ＝0时，选项A为真；选项B为假．故选B．
3．(2019·安徽安庆高二检测)命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( C )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
[解析] x2－a≤0，?x∈[1,2]恒成立，
则a≥x2在x∈[1,2]恒成立
令g(x)＝x2，g(x)max＝4
∴a≥4
a≥5?a≥4且a≥4a≥5
∴a≥5是一个充分不必要条件，故选C．
4．若命题p：任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(－2,2)
[解析] ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1对任意x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0恒成立．当a＋2＝0时，不符合题意．
故有，即，
解得a≥2.
二、填空题
5．下列特称命题是真命题的序号是__①③④__.
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数x0，使x＋x0＋1<0；
③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
[解析] ①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以不存在实数x0，使x＋x0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.
6．下列语句：①能被7整除的数都是奇数；②|x－1|<2；③存在实数a使方程x2－ax＋1＝0成立；④等腰梯形对角线相等且不互相平分．
其中是全称命题且为真命题的序号是__④__.
[解析] ①是全称命题，但为假命题；②不是命题；③是特称命题．
三、解答题
7．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．
(1)至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
(2)任意的x∈R，则x2＋2x＋1<0.
[解析] (1)由于整数1既不是合数，也不是素数，所以特称命题“至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数”是真命题．
(2)x2＋2x＋1＝(x＋1)2，找不到一个x使x2＋2x＋1<0，所以全称命题“任意的x∈R，则x2＋2x＋1<0，是假命题”．
8．为使下列p(x)为真命题，求x的取值范围：
(1)p(x)：x＋1>x；
(2)p(x)：x2－5x＋6>0；
(3)p(x)：sinx>cosx.
[解析] (1)∵对任意实数x，都有(x＋1)－x＝1>0，∴x＋1>x，∴x∈R.
(2)由x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)>0得x<2或x>3，∴使p(x)成立的x的取值范围是x<2或x>3.
(3)sinx－cosx＝sin>0，
∴2kπ∴2kπ＋cosx成立的x的取值范围是，k∈Z.
课件44张PPT。第一章常用逻辑用语§3 全称量词与存在量词自主预习学案生活中经常遇到这样的描述：“我国13亿人口，都解决了温饱问题”“我国还存在着犯罪活动”“今天，全班所有同学都按时到校”“这次数学竞赛至少有3人参加”等等．其中“都”“存在”“所有”“至少”在数学命题中也经常出现，它们在命题中充当什么角色呢？它们对命题的真假的判断有什么影响呢？1．全称量词和全称命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作____________，并用符号“______”表示．
(2)全称命题：含有____________的命题叫作全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为______________________，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．全称量词 ? 全称量词 2．存在量词和特称命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作____________，并用符号“______”表示．
(2)特称命题：含有____________的命题叫作特称命题．特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为__________________________，读作“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”．
3．全称命题与特称命题的关系
全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．存在量词 ? 存在量词 特称 全称 1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
[解析] 全称命题的否定：所有变为存在，且否定结论．
所以原命题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．DD 3．下列命题中的假命题是( )
A．存在x0∈R，log2x0＝0 B．存在x0∈R，tanx0＝1
C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞0CA
5．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为____________________________________________________.
[解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 互动探究学案命题方向1 ?全称命题与特称命题的判定B (2)下列命题为特称命题的是( )
A．偶函数的图像关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
[解析] (1)中，只有②③含有全称量词，故选B．(2)中，只有选项D含有存在量词，故选D．D『规律方法』 1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：
(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．
2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．
3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．〔跟踪练习1〕
判断下列语句是否是全称命题或特称命题．
(1)有一个实数a，a不能取对数；
(2)若所有不等式的解集为A，则有A?R；
(3)三角函数都是周期函数吗？
(4)有的向量方向不定；
(5)自然数的平方是正数．
[解析] 因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4)为特称命题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(5)均含有全称量词，故为全称命题，(3)不是命题．
综上所述，(1)(4)为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是命题．命题方向2 ?全称命题与特称命题的真假判断『规律方法』 (1)要确定一个全称命题是真命题，必须对所有元素验证，即给出严格的证明；要确定一个全称命题是假命题，只需举出一个反例．
(2)要确定一个特称命题是真命题，只需找到一个满足要求的特例；要确定一个特称命题是假命题，需要严格证明对所有元素均不符合要求．〔跟踪练习2〕
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；
(3)任意x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(4)存在x∈{x|x∈Z}，log2x>0.命题方向3 ?全称命题的否定[思路分析] 全称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，后面进行否定．『规律方法』 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．〔跟踪练习3〕
判断下列命题是否为全称命题，并写出命题的否定：
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)数列1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)所有的a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
[解析] (1)是全称命题，其否定：存在一个矩形，不是平行四边形．
(2)是全称命题，其否定：数列1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．
(3)是全称命题，其否定：存在a、b∈R，使方程ax＝b的解不唯一．
(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.命题方向4 ?特称命题的否定
[思路分析] 特称命题的否定是全称命题．
[解析] (1)p的否定：所有的x∈R，x2＋2x＋2＞0.
(2)p的否定：所有的三角形都不是等边三角形．
(3)p的否定：每一个素数都不含三个正因数．〔跟踪练习4〕
写出下列命题的否定．
(1)存在x＞1，使x2－2x－3＝0.
(2)p：有些棱台的底面是梯形；
(3)p：有些平行四边形不是矩形．
[解析] (1)p的否定：所有的x＞1，x2－2x－3≠0.
(2)p的否定：所有的棱台的底面都不是梯形．
(3)p的否定：所有的平行四边形都是矩形．利用全称命题与特称命题求参数的取值范围 全称命题的考查在试题中经常出现，如：“恒成立”问题就属于这一题型．其命题方向往往是求式子中某个参数的取值范围．而存在性命题常常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”，求出相应的参数的取值范围．解题时的依据是：“假设存在，利用条件进行推理论证，若导出合理结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则可否定存在性．”[思路分析] 本题看上去是一个不等式的问题，但是经过等价转化，确定适当的变量和参数，把它转化为一个简单的一次函数，并借助函数图像建立一个关于x的不等式组，从而求得x的取值范围．〔跟踪练习5〕
命题：“不等式x2＋2y＋y2＋2y≥－a”恒成立，则实数a的取值范围是________________.
[解析] 将命题中的不等式转化为(x＋1)2＋(y＋1)2≥2－a恒成立．
当x∈R，y∈R时，(x＋1)2＋(y＋1)2的最小值为0.
∴0≥2－a，即a≥2.∴a的取值范围是[2，＋∞)
[总结反思] 本题中的不等式是一个恒成立的不等式，可将原问题转化为求最小值的问题，从而使问题迎刃而解．[2，＋∞) [错解] p的否定：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．
[辨析] 不能正确否定结论．
[正解] p的否定：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．『规律方法』 命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“p的否定”应否定“有”，而不能否定“相等”．『规律方法』 该命题是特称命题，其否定是全称命题，但误解(1)中得到的“p的否定”仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；误解(2)中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定． 写出下列命题的否定：
(1)不相交的两条直线是平行直线；
(2)奇函数的图像关于y轴对称．
[错解] (1)不相交的两条直线不是平行直线；
(2)奇函数的图像不关于y轴对称．
[辨析] 忽略了隐含的量词．
[正解] (1)存在不相交的两条直线不是平行直线；
(2)存在一个奇函数的图像不关于y轴对称．『规律方法』 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意．1．下列命题中全称命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；
②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．故选C．C2．(山西太原2018－2019学年高二期末)命题：“?x∈R，3x>0”的否定是( )
A．?x0∈R,3x0≤0
B．?x0∈R,3x0<0
C．?x∈R,3x≤0
D．?x∈R,3x<0
[解析] 因为全称命题的否定为特称命题，所以命题：“?x∈R,3x>0”的否定是“?x0∈R,3x0≤0”．故选A．AD A [解析] 假设p为真，x2＋ax0＋a<0，?x0∈R.
Δ＝a2－4a>0
即a>4或a<0
∵p为假，∴0≤a≤4
∴实数a的取值范围[0,4]．A
6．写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)q：?x∈R，x不是5x－12＝0的根．
(2)r：有些质数是奇数．
(3)s：?x0∈R，|x0|>0.
[解析] (1)?q：?x0∈R，x0是5x0－12＝0的根，真命题．
(2)?r：每一个质数都不是奇数，假命题．
(3)?s：?x∈R，|x|≤0，假命题．课 时 作 业 学 案