第二章 2.1 2.1.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( C )
A．50 B．40
C．25 D．20
[解析] 根据系统抽样的特点，可知分段间隔为＝25.
2．某报告厅有50排座位，每排有60个座位，一次报告会坐满了听众，会后留下每排座位号16的50名听众进行座谈，这是运用了( C )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．不确定
[解析] 50排座位相当于分50段，分段间隔k＝60，从每一段中取座位号为16的听众，相当于初始值s＝16，相邻两排的间隔相同，故为系统抽样．
3．(2019·兰州一中高一期中测试)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( C )
A．7 B．9
C．10 D．15
[解析] 从960人中用系统抽样方法抽取32人，则抽样距为k＝＝30，
因为第一组号码为9，
则第二组号码为9＋1×30＝39，…，
第n组号码为9＋(n－1)×30＝30n－21，
由451≤30n－21≤750，即15≤n≤25，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．
4．(2019·甘肃天水一中高一期中测试)某学校高一年级共有480名学生，为了调查高一学生的数学成绩，计划用系统抽样的方法抽取30名学生作为调查对象：将480名学生随机从1～480编号，按编号顺序平均分成30组(1～16号，17～32号，…，465～480号)，若从第1组中用抽签法确定的号码为5，则第8组中被抽中学生的号码是( C )
A．25 B．133
C．117 D．88
[解析] 由系统抽样样本编号的确定方法进行求解．因为第1组抽出的号码为5，所以第8组应抽出的号码是(8－1)×16＋5＝117，故选C．
二、填空题
5．某班有学生54人，现根据学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的编号是__16__.
[解析] 因是系统抽样，54不能被4整除，需先剔除2人，再重新编号分组，最后按系统抽样的步骤抽取，所以抽出的某某号，是编号，并不是学号．先按学号随机剔除2人，再重新给52人编号1～52，每组13人，因为第一组取到3号，29＝2×13＋3,42＝3×13＋3，所以还有一个同学的编号为1×13＋3＝16.
6．将参加数学夏令营的100名学生编号为001,002，…，100.现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046号至078号中，被抽中的人数为__8__.
[解析] 将100名学生分成25组，每组4名，第n组抽中的号码为4＋4(n－1)＝4n，由题意得46≤4n≤78，∴11.5≤n≤19.5，
∵n∈N＋，∴n＝12,13,14,15,16,17,18,19，
∴在046号至078号中，被抽中的人数为8.
三、解答题
7．某单位共有在岗职工624人，为了调查工人上班时，从离开家到来到单位的路上平均所用时间，决定抽取24名工人调查这一情况，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？
[解析] 第一步，将624名在岗职工随机的编号：1,2，3，…，624；
第二步，由于样本容量与总体容量的比是1︰26，所以我们将总体平均分成24个部分，其中每一部分包含26个个体；
第三步，在第一部分，即1号到26号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是8；
第四步，以8作为起始数，然后顺次抽取34、60、86、112、138、164、190、216、242、268、294、320、346、372、398、424、450、476、502、528、554、580、606，这样就得到一个容量为24的样本．
8．一个体育代表队有200名运动员，其中两名是种子选手，现从中抽取13人参加某项运动．若种子选手必须参加，请用系统抽样法给出抽样过程．
[解析] (1)将除种子选手以外的198名运动员用随机方式编号，编号为001、002、…、198；
(2)将编号按顺序每18个为一段，分成11段；
(3)在第一段001、002、…、018，这十八个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如010)作为起始号码；
(4)将编号为010、028、046、…、190的个体抽出，与种子选手一起参加这项运动．
B级 素养提升
一、选择题
1．某年级有1 000名学生，随机编号为0 001,0 002，…，1 000，现用系统抽样的方法从中抽出200人，若0122号被抽到，则下列编号也被抽到的是( B )
A．0 116 B．0 927
C．0 834 D．0 726
[解析] 抽样间隔为1 000÷200＝5，∵122÷5的余数为2，∴被抽到的编号被5除所得余数应为2，而927÷5的余数为2，故选B．
2．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从495到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( B )
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
[解析] 依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每组有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．
令3＋12(k－1)≤300得k≤，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；
令300＜3＋12(k－1)≤495得＜k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.
从而第Ⅲ营区被抽中的人数是50－42＝8.
二、填空题
3．某学校有学生4 022人．为调查学生对2016年巴西里约奥运会的了解状况，现用系统抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则分段间隔是__134__.
[解析] 由于不是整数，所以应从4 022名学生中用简单随机抽样剔除2名，则分段间隔是＝134.
4．一个总体中的100个个体的编号分别为0,1,2,3，…，99，依次将其分成10个小段，段号分别为0,1,2，…，9.现要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0段随机抽取的号码为l，那么依次错位地取出后面各段的号码，即第k段中所抽取的号码的个位数为l＋k或l＋k－10(l＋k≥10)，则当l＝6时，所抽取的10个号码依次是__6,17,28,39,40,51,62,73,84,95__.
[解析] 在第0段随机抽取的号码为6，则由题意知，在第1段抽取的号码应是17，在第2段抽取的号码应是28，依次类推，故正确答案为6,17,28,39,40,51,62,73,84,95.
三、解答题
5．下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样，阅读并回答问题：
本村人口：1 200人，户数300，每户平均人口数4人；
应抽户数：30户；
抽样间隔：＝40；
确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12；
确定第一样本户：编码的后两位数为12的户为第一样本户；
确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户；
……
(1)该村委采用了何种抽样方法？
(2)抽样过程中存在哪些问题，并修改；
(3)何处是用简单随机抽样．
[解析] (1)系统抽样．
(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样，抽样间隔为＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为02(或其他00～09中的一个)；确定第一样本户：编号为02的户为第一样本户；确定第二样本户：02＋10＝12，编号为12的户为第二样本户；….
(3)确定随机数字用的是简单随机抽样，取一张人民币，编码的后两位数为02.
6．一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．
(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．
[解析] (1)当x＝24时，按规则可知所抽取样本的10个号码依次为：24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(2)当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.
又抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，从而x可以为87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.
∴x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．
7．某位同学利用暑假期间准备搞一个社会实践调查，他打算从某小区内的120户居民中选出7户，他使用系统抽样的过程如下：
①编号：将120户居民从“1”到“120”随机地编号；
②决定间隔：因120被7除余1，故可先从总体中随机地剔除1个个体，再将余下的1 19个个体重新随机地编号为1到119号，最后设定间隔为17；
③随意使用一个起点，如38，然后推算出如下编号的居民为样本：38,55,72,89,106,123,140.
由于123和140并不在实际编号内，故他准备重新选取第一个号码，但他爸爸却说没有问题，爸爸的说法有错误吗？需要重新选取号码吗？你帮他解释一下．
[解析] 所谓系统抽样的第一个号码，一般是在第一组内用简单随机抽样的方法选取的一个号码，然后再等距离地抽取，这样就保证了后面所有的号码都在已知的编号内．但在实际应用时却不一定是这样来确定第一个号码的，而是随机确定第一个号码的，如这个学生确定的38，如果这时再等距离地确定后续号码就会使号码超出已编号码，这个时候只要将超过的部分减去若干个间隔，然后再将之放到样本编号之中就可以了．例如，因123－17×7＝4,140－17×7＝21.故抽取的号码如下：4,21,38,55,72,89.106.因此这个学生的爸爸的说法并没有错．
课件36张PPT。第二章统计2.1 随机抽样2.1.2 系统抽样自主预习学案某中学高一年级共有25个班，每班60人，共有1 500人．学校想了解高一学生的视力状况，以便日后与高二、高三时的状况进行比较，决定从这1 500人中抽取一个容量为100的样本进行检查．
你能帮助学校确定一个抽样方法吗？抽签法能行吗？1．系统抽样的概念
将总体分成________的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样叫做系统抽样．在系统抽样中，由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也称作______________.均衡 等距离抽样 编号 确定分段间隔k 简单随机抽样 (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l______________得到第2个个体编号__________，再________得到第3个个体编号____________，依次进行下去，直到获取整个样本．
3．当总体中元素个数较少时，常采用________________；当总体中元素个数较多时，常采用____________.加上间隔k l＋k 加k l＋2k 简单随机抽样 系统抽样 1．期中考试过后，高一年级组把参加数学考试的全体高一学生中考号末位为5的学生召集起来开座谈会，运用的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．抽签法
[解析] ∵考号末位为5的学生考号间距相同，∴高一年级组运用的抽样方法是系统抽样．B 2．中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众．现采用系统抽样法抽样，其分段间隔为( )
A．10 B．100
C．1 000 D．10 000
[解析] 依题意，要抽十名幸运小观众，所以要分成十个组，每个组容量为10 000÷10＝1 000，即分段间隔．C C 4．某厂拟从64名员工中用系统抽样法抽取4名参加2017年职工劳技大赛，将这64名员工编号为1～64，若已知编号为8,24,56的员工在样本中，那么样本中另外一名员工的编号是________.
[解析] 由系统抽样的定义知，将64名员工对应的编号分成4组，每组16个号码，由编号为8,24,56的员工在样本中，知编号8,24,56分别是从第1,2,4组中抽取的，则第3组中抽取的号码是8＋2×16＝40.40 5．在国家政策扶持下，我国的汽车工业获得了极大的发展．现某厂1月份生产了A、B两种型号轿车共822辆，其中A型20辆，B型802辆，现从中抽取82辆检查，其中A型车抽2辆，B型车抽80辆，试选用合适的抽样方法进行抽样，写出抽样过程．
[解析] 先从A型20辆中抽取2辆，用抽签法，步骤如下：
第一步：将20辆车随机编号为01,02,03，…，20；
第二步：将这20个号码分别写在小纸条上，制成号签；
第三步：将号签放入一个不透明的盒子中，搅拌均匀；
第四步：从盒子中逐个抽取2个号签，记录编号；
第五步：从总体中将与抽到的号签编号一致的个体取出．再从B型802辆中抽取80辆，用系统抽样法，步骤如下：
第一步：先将802辆B型轿车编号为001,002，…，802，从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)；
第二步：将余下的800辆轿车重新编号为1,2，…，800，并均分成80段，每段含10个个体；
第三步：从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号(如5)作为起始号；
第四步：将编号为5,15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．互动探究学案 下列抽样中不是系统抽样的是( )
A．从号码为1～15的15个球中任选3个作为样本，先在1～5号球中用抽签法抽出i0号，再将号码为i0＋5，i0＋10的球也抽出
B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检查人员从传送带上每5 min抽取一件产品进行检验
C．搞某项市场调查，规定在商店门口随机地抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止
D．某电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈命题方向1 ?系统抽样概念的理解C 典例 1 [解析] 本题C显然不是系统抽样，因为事先不知道总体数量，抽样方法也不能保证每个个体等可能入样，总体也没有分成均衡的几部分，故C不是系统抽样．
〔跟踪练习1〕 下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是( )
A．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动
B．一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本
C．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况
D．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解某些情况
[解析] A总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B总体中的个体有明显的层次，不适宜用系统抽样法；C总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D总体容量较大，样本容量较小，可用随机数表法．C 为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．命题方向2 ?系统抽样方案的设计典例 2 [解析] (1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15 000.
(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1︰100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体．
(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是56.
(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14 956，这样就得到一个容量为150的样本．
〔跟踪练习2〕 某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1︰5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．(3)采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(1≤l≤5)；
(4)那么抽取的学生编号为l＋5k(k＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当l＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293. 要从参加十二届全运会某些项目比赛的1 013名运动员中抽取100名进行兴奋剂检查，采用何种抽样方法较好？写出过程．
[错解] 应采用系统抽样．过程如下：先将1 013名运动员随机编号1,2,3，…，1 013，将这1 013个号码分成100段，其中前87段每段10人，后13段每段11人，在第一段中用简单的随机抽样确定起始编号L，则将编号为L，L＋10，L＋20，…，L＋990的运动员抽出，从而获得整体样本．系统抽样的抽取机会不均等而致误 典例 3
[正解] 过程如下：第一步，将1 013名运动员随机编号为0 001,0 002，…，1 013；第二步，用随机数表法从总体中抽取13个号码，并将编号相对应的运动员剔除；第三步，将剩下的1 000名运动员重新编号为1,2,3，…，1 000，分成100段，每段10个号码，在第一段十个编号中用简单随机抽样确定第一个个体编号为L，则将编号为L，L＋10，L＋20，…，L＋990的运动员抽出，组成样本．1．系统抽样在第一组抽号和剔除个体时，都要用到简单随机抽样，故它们的关系非常密切．
2．两种抽样方法的选择，可根据样本容量的大小来进行样本选择．容量较小时可采用简单随机抽样，样本容量较大时考虑采用系统抽样．系统抽样与简单随机抽样的综合应用 某集团有员工1 019人，其中获得过国家级表彰的有29人，其他人员990人．该集团拟组织一次出国学习，参加人员确定为：获得过国家级表彰的人员5人，其他人员30人．如何确定人选？
[解析] 获得过国家级表彰的人员选5人，适宜使用抽签法；其他人员选30人，适宜使用系统抽样法．
(1)确定获得过国家级表彰的人员人选：
①用随机方式给29人编号，号码为1,2，…，29；
②将这29个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签；
③将得到的号签放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀；
④从袋子中逐个抽到5个号签，并记录上面的号码；
⑤从总体中将与抽到的号签的号码相一致的个体取出，人选就确定了．典例 4 (2)确定其他人员人选：
第一步：将990名其他人员重新编号(分别为1,2，…，990)，并分成30段，每段33人；
第二步，在第一段1,2，…，33这33个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如3)作为起始号码；
第三步，将编号为3,36,69，…，960的个体抽出，人选就确定了．
(1)、(2)确定的人选合在一起就是最终确定的人选．『规律总结』 1.系统抽样与简单随机抽样的区别与联系
2．面对实际问题，准确合理地选择抽样方法对初学者来说至关重要，在如何选择简单随机抽样和系统抽样两种方法时，主要以总体容量和样本容量的大小作为选择的依据，在符合要求的情况下要以操作简单易行作为标准．1．系统抽样适用的总体应是( )
A．容量较少的总体
B．容量较多的总体
C．个体数较多，但均衡的总体
D．任何总体
[解析] 根据系统抽样的特点可知，选C．C 2．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人做问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为( )
A．5,10,15,20 B．2,6,10,14
C．2,4,6,8 D．5,8,11,14A 3．用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为126，则第1组中用抽签方法确定的号码是______.
[解析] 设第一组抽取的号码为a，则a＋15×8＝126，∴a＝6.6 4．某家政公司有103名保姆，从中抽取10人参加体检，试采用系统抽样进行具体实施．课时作业学案
