第二章 2.1 2.1.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( A )
A．100 B．150
C．200 D．250
[解析] 抽样比为＝，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则＝，故n＝100.
2．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2︰1，现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是( D )
A．8 B．12
C．16 D．24
[解析] 设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x，则＝，解得x＝24.
3．已知某单位有职工120人，其中男职工有90人，现采用分层抽样(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为( B )
A．30 B．36
C．40 D．没法确定
[解析] 设样本容量为m，由题意得＝，∴m＝36.
4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( B )
A．6 B．8
C．10 D．12
[解析] 设在高二年级的学生中应抽取的人数为n，由题意得＝，∴n＝8.
5．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有10个特大型销售点，要从中抽取7个销售点调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次为( B )
A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
D．简单随机抽样法，分层抽样法
[解析] 由调查①可知个体差异明显，故宜用分层抽样；调查②中个体较少，故宜用简单随机抽样．
二、填空题
6．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4︰5︰5︰6，则应从一年级本科生中抽取__60__名学生．
[解析] ∵300×＝60，∴取60人．
7．防疫站对学生进行身体健康调查．红星中学共有学生1 600名，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是__760__.
[解析] 设该校的女生人数是x，则男生人数是1 600－x，抽样比是＝，则x＝(1 600－x)－10，解得x＝760.
三、解答题
8．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3︰2︰5︰2︰3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
[解析] 因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而应采用分层抽样的方法．具体过程如下：
(1)将3万人分成5层，一个乡镇为一层．
(2)按照各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇的样本：
300×＝60(人)，300×＝40(人)，
300×＝100(人)，300×＝40(人)，
300×＝60(人)．
各乡镇分别抽取的人数分别为60,40,100,40,60.
(3)从5个乡镇的人中分别用简单随机抽样的方法抽取相应的人数，将抽取的这300人组到一起，即得到一个样本．
9．为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)
高校
相关人数
抽取人数
A
x
1
B
36
y
C
54
3
(1)求x、y；
(2)若从高校B相关的人中选2人做专题发言，应采用什么抽样法，请写出合理的抽样过程．
[解析] (1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有：＝?x＝18，＝?y＝2，故x＝18，y＝2.
(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：
第一步，将36人随机的编号，号码为1,2,3，…，36；
第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；
第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次抽取2个号码，并记录上面的编号；
第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．
B级 素养提升
一、选择题
1．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表所示：
一年级
二年级
三年级
女生
373
380
y
男生
377
370
z
现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( C )
A．24 B．18
C．16 D．12
[解析] 一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋270＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×＝16.
2．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．
①采用随机抽样法，将零件编号为00,01，…，99，抽签取出20个；
②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；
③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个．从三级品中随机抽取10个，对于上述抽样方式，下面说法正确的是( A )
A．不论哪一种抽样方法，这100个零件中每一个个体被抽到的概率都是
B．①②两种抽样方法中，这100个零件每一个个体被抽到的概率为.③并非如此
C．①③两种抽样方法中，这100个零件中每一个个体被抽到的概率为，②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个个体被抽到的概率是不同的
[解析] 虽然三抽样方式、方法不同，但最终每个个体被抽取的机会是均等的，这正说明了三种抽样方法的科学性和可行性．
二、填空题
3．将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5︰3︰2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取__20__个个体．
[解析] 由题意可设A，B，C中个体数分别为5k,3k,2k，所以C中抽取个体数为×100＝20.
4．经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的学生比持“不喜欢”态度的学生多12人，用分层抽样的方法从全班中选出部分学生座谈摄影知识，如果选出的是5位“喜欢”摄影的学生、1位“不喜欢”摄影的学生和3位持“一般”态度的学生，那么全班学生中“喜欢”摄影的人数比全班学生人数的一半还多__3__人．
[解析] 设班里学生持“喜欢”态度的有y人，持“一般”态度的有x人，则持“不喜欢”态度的有(x－12)人，因为采用分层抽样的方法，故有y︰(x－12)︰x＝5︰1︰3，解得x＝18，y＝30，故全班共有30＋18＋6＝54(人)．又30－＝3，即全班学生中“喜欢”摄影的人数比全班学生人数的一半还多3人．
三、解答题
5．某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表：
第一车间
第二车间
第三车间
女工
173
100
y
男工
177
x
z
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？
[解析] (1)由＝0.15得x＝150.
(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350人，第二车间的工人数是100＋150＝250人，
∴第三车间的工人数是1000－350－250＝400人．
设应从第三车间抽取m名工人，
则由＝得m＝20，
∴应在第三车间抽取20名工人．
6．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
[解析] (1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有＝47.5%，＝10%，解得b＝50%，c＝10%.故a＝100%－50%－10%＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人数为200××40%＝60(人)，抽取的中年人数为200××50%＝75(人)；抽取的老年人数为200××10%＝15(人)．
课件39张PPT。第二章统计2.1 随机抽样2.1.3 分层抽样自主预习学案某电视台在互联网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数为：很喜欢4 800人，喜欢3 600人，一般1 800人，不喜欢1 800人．电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应采用什么样的抽样方法呢？1．分层抽样互不交叉 比例 独立 合在一起 简单随机抽样 系统抽样 2．三种抽样方法的区别与联系
为了方便使用，这里以表格的形式给出三种抽样方法的对比：1．(2019·太原市高一期末测试)某中学为了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．随机数法 B．分层抽样法
C．抽签法 D．系统抽样法
[解析] 由题意可知，样本是由差异明显的几部分组成，抽取的比例由每层个体占总体的比例抽取，即为分层抽样，故选B．B 2．我国古代数学“算经十书”之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( )
A．104人 B．108人
C．112人 D．120人B 3．(2018·全国卷Ⅲ文，14)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是____________.
[解析] 因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以最合适的抽样方法是分层抽样．分层抽样 4．具有A、B、C三种性质的元素的总体，其容量为63，将A、B、C三种性质的元素的个体按1︰2︰4的比例进行分层调查，如果抽取的样本容量为21，则A、B、C三种性质的元素分别抽取的数量为________________.3,6,12 互动探究学案命题方向1 ?分层抽样的概念典例 1 C (2)下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
[思路分析] 1.分层抽样是等可能抽样吗？2.分层抽样的适用范围是什么？B 『规律总结』 分层抽样的前提和遵循的两条原则
(1)前提：分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取．
(2)遵循的两条原则：
①将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
②分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．〔跟踪练习1〕 (1)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2、p3，则( )
A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1
C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3
(2)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法D D
[解析] (1)根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p1＝p2＝p3，故选D．
(2)由于被抽取的个体的属性具有明显差异，所以宜采用分层抽样法． 一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，写出用分层抽样的方法抽取样本的过程．
[思路分析] 分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配，确定各层抽取的个体数之后，可采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体．命题方向2 ?分层抽样的方案设计典例 2 [解析] 三部分所含个体数之比为112︰16︰32＝7︰1︰2，设三部分各抽个体数为7x，x,2x，则由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取个体数分别为14,2和4.
对112名业务人员按系统抽样分成14个部分，其中每个部分包括8个个体，对每个部分利用简单随机抽样抽取个体．若将160名人员依次编号为1,2,3，…，160.那么在1～112名业务人员中第一部分的个体编号为1～8.从中随机取一个号码，如它是4号，那么可以从第4号起，每隔8个抽取1个号码，这样得到112名业务人员被抽出的14个号码依次为4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108.
再用抽签法可抽出管理人员和服务人员的号码．
将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本．『规律总结』 分层抽样的注意事项
分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：
(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，各层之间的样本差异要大，且互不重叠．
(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比，等可能抽样．
(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．[特别提醒] 保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽样共同的特征，为了保证这一点所有层按同一抽样比，等可能抽样．〔跟踪练习2〕 某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表：
电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？ 某单位有职工120人，欲从中抽取20人调查职工的身体状况．领导安排工会某干部负责抽样，他应该怎样做？
[错解] 将120名职工编号，并分为20组，每组6人，用系统抽样抽取20人作为样本．
[辨析] 年龄对人的身体状况有较大影响，这种不考虑年龄抽取的样本不能准确反应单位职工的身体状况．抽样方法选择不当导致所得样本不具有代表性 典例 3 随机抽样有以下三种方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，简单随机抽样又有抽签法和随机数法两种方法，在具体选取抽样方法时应根据它们各自的适用范围选取．抽样方法的选取 为了考察某校的教学水平，将对这个学校高三年级的部分学生的本学年考试成绩进行考察，为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查：(已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)
①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；
②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；
③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察．(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)典例 4 根据上面的叙述，试回答下列问题．
(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽取方式中各自采用何种抽取样本的方法？
(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．
[思路分析] 本题目主要考查数理统计的一些基本的概念和基本方法．做这种题目时，应该注意叙述的完整和条理．[解析] (1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.
(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．(3)第一种方式抽样的步骤如下：
第一步，首先在这20个班中用抽签法任意抽取一个班．
第二步，然后从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩．
第二种方式抽样的步骤如下：
第一步，首先在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为a.
第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计19人．1．(2019·山西大同五县高一期末测试)某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工对“木桶理论”的理解情况，决定用分层抽样的方法从中抽取一个样本，若样本中的青年职工为7人，则样本中的中年职工为( )
A．3人 B．5人
C．7人 D．8人B 2．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012B 3．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A．12,24,15,9 B．9,12,12,7
C．8,15,12,5 D．8,16,10,6D 60 5．某校按分层抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生调查，从三个年级抽取人数的比例为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1 200人，并从中抽取了40人．
(1)该校的总人数为多少？
(2)其他两个年级分别抽取多少人？
(3)在各层抽样中可采取哪种抽样方法？课时作业学案
