第二章 2.2 2.2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众多、中位数分别为( C )
A．85,85,85 B．87,85,86
C．87,85,85 D．87,85,90
[解析] 平均数为＝＝87(分)，众数为85，中位数为85，故选C．
2．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( A )
A．63 B．64
C．65 D．66
[解析] 甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数分别是36和27，则中位数之和是36＋27＝63.
3．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( B )
A．92,2 B．92,2.8
C．93,2 D．93,2.8
[解析] 去掉一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为90,90,93,94,93，
所以＝＝＝92，
s2＝
＝＝2.8，故选B．
4．如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是( C )
A．和s2 B．3和9s2
C．3＋2和9s2 D．3＋2和12s2＋4
[解析] ∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为，方差为s2，
∴3x1,3x2,3x3，…，3xn的平均数为3，方差为9s2，∴3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3xn＋2的平均数为3＋2，方差仍为9s2，故选C．
二、填空题
5．已知一组数据从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数为5，则这组数据的众数为__6__.
[解析] 由题意可得＝5，∴x＝6，
故这组数据的众数为6.
6．(2019·山西大同灵丘县高一期末测试)《少年中国说》是清朝末年梁启超所作的散文，写于戊戌变法失败后的1900年，文中极力歌颂少年的朝气蓬勃，其中“少年智则国智，少年富则国富；少年强则国强，少年独立则国独立”等优秀文句激励一代又一代国人强身健体、积极竞技.2019年，甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.5
8.8
8.8
8
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.5
则参加运动会的最佳人选应为__丙__.
[解析] 从表中数据可以看出乙和丙的平均成绩相等且优于甲和丁的平均成绩，但丙的方差小于乙的方差，故丙为最佳人选．
三、解答题
7．某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：
甲班：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74
乙班：90 76 86 81 84 87 86 82 85 83
(1)求两个样本的平均数；
(2)求两个样本的方差和标准差；
(3)试分析比较两个班的学习情况．
[解析] (1)甲＝×(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83.2，
乙＝×(90＋76＋86＋81＋84＋87＋86＋82＋85＋83)＝84.
(2)s＝×[(82－83.2)2＋(84－83.2)2＋(85－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(80－83.2)2＋(91－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(74－83.2)2]＝26.36，
s＝[(90－84)2＋(76－84)2＋(86－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(87－84)2＋(86－84)2＋(82－84)2＋(85－84)2＋(83－84)2]＝13.2，
则s甲＝≈5.13，
s乙＝≈3.63.
(3)由于甲<乙，则甲班比乙班平均水平低．
由于s甲>s乙，则甲班没有乙班稳定．
所以乙班的总体学习情况比甲班好．
8．某体校拟选拔一名帆船运动员参加省大学生运动会，对帆船运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们速度的数据如下：
甲：27,38,30,37,35,31；
乙：33,29,38,34,28,36.
(1)将这两组数据用茎叶图表示；
(2)根据题中数据，请你在甲、乙两人中确定参加省大学生运动会的帆船运动员，并说明理由．
[解析] (1)由题意可得，这两组数据的茎叶图如下：
(2)甲＝＝33，
乙＝＝33.
S＝＝
S＝＝.
∵甲＝乙，s＜s，
∴甲、乙两人的平均速度相同，但乙的发挥比较稳定．
∴确定乙参加省大学生运动会比较合适．
B级 素养提升
一、选择题
1．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为( B )
A． B．
C．36 D．
[解析] 由图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.故s2＝[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝.
2．北京市2017年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是( B )
A．第一季度 B．第二季度
C．第三季度 D．第四季度
[解析] 由图可知，第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5平均浓度指数方差最小．
二、填空题
3．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位，℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为__9__.
[解析] 由于组距为1，则样本中平均气温低于22.5 ℃的城市频率为0.10＋0.12＝0.22.
平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，
所以样本容量为＝50.
而平均气温高于25.5 ℃的城市频率为0.18，
所以，样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为50×0.18＝9.
4．(2019·河南花州实验中学月考)如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图．利用组中值估计，则下列说法正确的是__②③__.
①平均数为62.5；
②中位数为62.5；
③众数为65.
[解析] 由频率分布直方图可知，平均数为0.01×10×45＋0.03×10×55＋0.04×10×65＋0.02×10×75＝62.
设中位数为a，由题意得0.01×10＋0.03×10＋0.04×(a－60)＝0.5，解得a＝62.5.
众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点值，故其众数为65.
三、解答题
5．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量值得如下频数分布表：
质量指标
值分组
[75，
85)
[85，
95)
[95，
105)
[105，
115)
[115，
125]
频数
6
26
38
22
8
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
[解析] (1)
(2)质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋(10)2×0.22＋(20)2×0.08＝104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
6．某工厂36名工人的年龄数据如下表.
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
11
31
20
43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
42
36
39
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；
(3)36名工人中年龄在－s与＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?
[解析] (1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，根据题意，所抽取工人编号为2,6,10,14,18,22,26,30,34，相应工人的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)样本均值＝×(44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37)＝40.
样本方差s2＝×[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝×[42＋02＋(－4)2＋32＋(－4)2＋(－3)2＋42＋32＋(－3)2]＝.
(3)由于＝40，s＝＝≈3.33,36名工人中年龄在－s≈36.67与＋s≈43.33之间有23人，所占比例为≈63.89%.
7．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图所示.
分组
频数
频率
[10,15)
10
0.25
[15,20)
24
n
[20,25)
m
p
[25,30]
2
0.05
合计
M
1
(1)求出表中M，p及图中a的值；
(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；
(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．
[解析] (1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.
因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，m＝4，p＝＝＝0.10.
因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12.
(2)因为该校高三学生有240人，分组在[10,15)内的频率是0.25，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60.
(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是＝17.5.因为n＝＝0.6，
所以样本中位数是15＋≈17.1，
估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17.1，
样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17.25，
估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25.
课件49张PPT。第二章统计2.2 用样本估计总体2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征自主预习学案应届毕业生李刚想找一份年薪2.5万元的工作．有一位招聘员告诉李刚：“我们公司的50名员工中，最高年收入达到了100万元，他们的平均年收入是3.5万元，加盟我们公司吧．”
根据以上信息，能否判断李刚可以成为此公司的一名高收入者？如果招聘员继续告诉李刚：“员工年收入的变化范围是从0.8万元到100万元．”这个信息是否足以使李刚作出决定是否受聘呢？1．众数
2．中位数最多 不止 集中趋势 中间 唯一 集中趋势 相等 3．平均数平均水平 信息 极端值 4．标准差
5．方差平均数 大 小 标准差 6．用样本估计总体
现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的，因此，通常用________的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计．这与上一节用________的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．样本 样本 1．下列刻画一组数据离散程度的是( )
A．平均数 B．方差
C．中位数 D．众数
[解析] 方差能够刻画一组数据的离散程度，故选B．B 2．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( )
A．3,5
B．5,5
C．3,7
D．5,7A 3．(2019·太原市高一期末测试)某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：g)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，则这组数据中众数的估计值是( )
A．100
B．101
C．102
D．103B 4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是__________.0.1 5．从高二抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩．互动探究学案 某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．命题方向1 ?中位数、众数、平均数的应用典例 1 (1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
[思路分析] (1)由频率之和等于1可得x的值；(2)由最高矩形的横坐标中点可得众数，由频率之和等于0.5可得中位数；(3)先计算出月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户的户数，再计算抽取比例，进而可得月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取的户数．『规律总结』 (1)众数、中位数、平均数都是刻画数据特征的，但任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变，而众数、中位数不具有这个性质．所以平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，它是样本数据的重心．
(2)在样本中出现极端值的情况下，众数、中位数更能反映样本数据的平均水平．
(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平． 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.命题方向2 ?标准差、方差的应用典例 2 『规律总结』 1.方差(标准差)越大，说明数据的离散性越大；方差(标准差)越小，说明数据的离散性越小，数据越集中、稳定．
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差，这些偏差是由样本的随机性引起的．虽然样本的数字特征并不是总体真正的数字特征，而是总体的一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本容量很大时，样本的数字特征稳定于总体的数字特征．〔跟踪练习2〕 对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下：
甲：27,38,30,37,35,31；
乙：33,29,38,34,28,36.
根据以上数据，试判断它们谁更优秀． 若甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件，为了检验产品的质量，从产品中随机抽取6件进行测量，测得数据如下：(单位：mm)：甲：99,100,98,100,100,103；乙：99,100,102,99,100,100.通过计算，请你说明哪一台机床加工的零件更符合要求．不能利用数字特征正确判断问题 典例 3 在解决某些实际问题时，我们可以选用科学的抽样方法，从总体中抽取样本，得到样本数据，再根据研究实际问题的需要(是关注平均数的大小，还是注意数据稳定的程度)，求出样本的有关数字特征，利用它估计总体数字特征，从而作出科学决策．总体数字特征的实际应用 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图典例 4 B地区用户满意度评分的频数分布表
(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
B地区用户满意度评分的频率分布直方图[思路分析] (1)由频率分布表，先计算每段的频率值，再画图，然后从直方图的高度及分散程度下结论．
(2)分别计算两个地区不满意的频率再作出判断判．(2)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大．『规律总结』 明确样本数字特征所反映样本的特征，一般地，平均数反映的是样本个体的平均水平，众数和中位数则反映样本中个体的“重心”，而标准差则反映了样本的波动程度、离散程度，即均衡性、稳定性、差异性等．因此，我们可以根据问题的需要选择用样本的不同数字特征来分析问题．1．高一某班第7学习小组在期末的数学测试中，得135分的1人，122分的2人，110分的4人，90分的2人，则该学习小组数学成绩的平均数、中位数分别是
( )
A．110,110 B．110,111
C．111,110 D．112,111C B 3．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的平均成绩分别是x甲、x乙，则下列说法正确的是( )
A．x甲>x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B．x甲>x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C．x甲D．x甲[解析] 由茎叶图可知x甲(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数；
(3)求这次测试数学成绩的平均分．课时作业学案
