第二章 2.3 2.3.1 2.3.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( C )
A．正方体的棱长与体积
B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量
C．日照时间与水稻的亩产量
D．电压一定时，电流与电阻
[解析] A，B，D中的两个变量之间的关系是确定的，不是相关关系；对于C，日照时间会影响水稻的亩产量，但不是唯一因素，它们之间是相关关系．
2．设一个回归方程为＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时( A )
A．y平均增加1.2个单位
B．y平均增加3个单位
C．y平均减少1.2个单位
D．y平均减少3个单位
[解析] 由题意可知，变量x每增加一个单位时，y平均增加1.2个单位．
3．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( C )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
[解析] ＝＝176，
＝＝176，
∵y对x的线性回归直线过点(176,176)，故选C．
4．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋中的的值为0.7，则记忆力为14的同学的判断力约为( B )
A．7 B．7.5
C．8 D．8.5
[解析] 因为＝9，＝4，代入＝0.7x＋，得＝－2.3，所以线性回归方程为＝0.7x－2.3，把x＝14代入，得＝7.5，选择B．
二、填空题
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为__65.5万元__.
[解析] 样本点的中心是(3.5,42)，则＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，所以线性回归方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.
6．在2017年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x(元/件)和销售量y(件)之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
通过分析，发现销售量y与商品售价x具有线性相关关系，则销售量y对商品售价x的回归直线方程为__＝－3.2x＋40__.
[解析] 由表格可得＝10，＝8，＝502.5，iyi＝392.
∴＝＝＝－3.2，＝－＝40，
∴回归直线方程为＝－3.2x＋40.
三、解答题
7．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？
[解析] (1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如下图所示：
(2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x
与y成正相关关系．
8．(2019·山西沁县中学高一月考)通过市场调查，得到某产品的资金投入x(万元)与获得的利润y(万元)的数据，如下表所示：
资金投入x
2
3
4
5
6
利润y
2
3
5
6
9
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程＝x＋；
(2)现投入资金10万元，估计获得的利润为多少万元？
(相关公式：＝，＝－ )
[解析] (1)＝＝4，
＝＝5，
＝
＝＝1.7.
∴＝－ ＝－1.8，
∴＝1.7x－1.8.
(2)当x＝10万元时，＝15.2万元，
即估计获得的利润为15.2万元．
B级 素养提升
一、选择题
1．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：
x
10
20
30
40
50
y
62
▲
75
81
89
由最小二乘法求得回归方程为＝0.67x＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该数据的值为( C )
A．60 B．62
C．68 D．68.3
[解析] 由题意可得＝30，
代入回归方程得＝75.
设看不清处的数为a，
则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.
2．某旅行社为迎节日搞活动旅游，经市场调查，某旅游线路销量y(人)与旅游价格x(元/人)负相关，则其回归直线方程可能是( A )
A．＝－80x＋1 600 B．＝80x＋1 600
C．＝－80x－1 600 D．＝80x－1 600
[解析] 由y与x负相关，可排除B，D；而C中x>0时，＝－80x－1 600<0，不符合实际意义，排除C．
二、填空题
3．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：
月平均气温x/℃
17
13
8
2
月销售量y/件
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程＝x＋中的≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量的件数约为__46__.
[解析] ＝＝10，
＝＝38，
∴38＝10×(－2)＋，
∴＝58，
∴＝－2x＋58.
当x＝6时，＝－2×6＋58＝46.
4．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是170 cm、173 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__190.5__cm.
[解析] 儿子和父亲的身高可列表如下：
父亲身高x/cm
170
173
176
儿子身高y/cm
173
176
182
由表中数据可得，＝173，＝177，＝89 805，iyi＝91 890，
∴＝＝＝1.5，
∴＝－＝177－1.5×173＝－82.5.故线性回归方程为＝1.5x－82.5.将x＝182代入，得＝1.5×182－82.5＝190.5.
三、解答题
5．为了分析某高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下表是该学生7次考试的成绩：
数学成绩x
88
83
117
92
108
100
112
物理成绩y
94
91
108
96
104
101
106
(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请说明理由．
(2)已知该学生的数学成绩x与物理成绩y是线性相关的，若该学生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少分？(参数数据：88×94＋83×91＋117×108＋92×96＋108×104＋100×101＋112×106＝70 497,882＋832＋1172＋922＋1082＋1002＋1122＝70 994)
[解析] (1)＝100＋＝100，
＝100＋＝100，
∴s＝＝142，s＝，
从而s>s，∴该学生的物理成绩更稳定．
(2)由于x与y之间具有线性相关关系，则
＝＝＝0.5，
＝－ ＝100－0.5×100＝50.
∴线性回归方程为＝0.5x＋50.
当＝115时，x＝130，即该学生物理成绩达到115分时，他的数学成绩大约为130分．
6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
[解析] (1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，
＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，
从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1 000＝－20(x－8.25)2＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得是大值，
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
7．“阿曼德比萨”是一个制作和外卖意大利比萨的餐饮连锁店，其主要客户群是在校大学生，为研究各店铺的销售额与店铺附近地区大学生人数的关系，随机抽取十个分店的样本，得到数据如下：
店铺编号
区内大学生数/万人
季度销售额/万元
1
0.2
5.8
2
0.6
10.5
3
0.8
8.8
4
0.8
11.8
5
1.2
11.7
6
1.6
13.7
7
2
15.7
8
2
16.9
9
2.2
14.9
10
2.6
20.2
(1)画出散点图，说明两者是否具有相关关系；
(2)求回归直线方程，并根据回归直线方程预测一个区内大学生人数为1万人的店铺的季度销售额；
(3)若店铺的季度销售额低于10万元则亏损，试求区内大学生至少有多少人才适合建店？
[解析] (1)由表中数据可画散点图，如图所示：
由散点图可以看出，这些点分布在一条直线的附近，因此两个变量具有相关关系．
(2)根据数据可知：
＝×(0.2＋0.6＋…＋2.6)＝1.4，
＝×(5.8＋10.5＋…＋20.2)＝13，
－102＝5.68，iyi－10 ＝28.4，
所以＝＝5，＝13－5×1.4＝6.
因此回归直线方程是＝5x＋6.
当x＝1时，＝5×1＋6＝11，即区内大学生人数为1万人的店铺的季度销售额约为11万元．
(3)回归直线方程为＝5x＋6，可令≥10，解得x≥0.8，故当区内大学生至少有8 000人时才适合建店．
课件49张PPT。第二章统计2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系
2.3.2 两个变量的线性相关自主预习学案你知道“名师出高徒”的意思吗？——高明的师傅一定能教出技艺高的徒弟，比喻学识丰富的人对于培养人才的重要．也就是说，高水平的老师往往能教出高水平的学生．
那么老师的水平与学生的水平之间具有怎样的关系呢？这种关系是确定的吗？1．变量间的相关关系
变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的________关系，变量之间的关系可以用__________表示；另一类是________关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用__________来表达．
2．散点图的概念
将各数据在平面直角坐标系中的__________画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图．函数 解析式 相关 解析式 对应点 3．两个变量的线性相关
(1)正相关
在散点图中，点散布在从__________到__________的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
(2)负相关
在散点图中，点散布在从__________到__________的区域，两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关．
(3)线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在________________，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．这条直线的方程叫做________________，简称____________.左下角 右上角 左上角 右下角 一条直线附近 回归直线方程 回归方程 斜率 截距 (2)最小二乘法
通过求Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做______________.最小二乘法 1．(2019·山西陵川一中高一期中测试)下列两个变量具有正相关关系的是
( )
A．正方形的面积与边长 B．吸烟与健康
C．数学成绩与物理成绩
D．汽车的重量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程
[解析] 正方形的面积与边长是函数关系，A错误；吸烟与健康具有负相关关系，B错误；汽车越重，每消耗1 L汽油所行驶的平均路程越短，所以汽车的重量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程具有负相关关系，D错误；数学成绩越好，物理成绩也会越好，所以数学成绩与物理成绩具有正相关关系，C正确．C 2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )
A．瑞雪兆丰年 B．上梁不正下梁歪
C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
[解析] 选项A、B、C中描述的变量间都具有相关关系，而选项D是迷信说法，没有科学依据．D B 0.5 互动探究学案 (1)下列变量之间的关系不是相关关系的是( )
A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量
C．降雪量和交通事故发生率
D．每亩田施肥量和粮食亩产量命题方向1 ?变量之间的相关关系的判断A 典例 1 [思路分析] 1.判断两个变量之间具有相关关系的关键是什么？
2．利用散点图判断两个变量是否具有相关关系的依据是什么？[解析] (1)在A中，若b确定，则a，c都是常数，Δ＝b2－4ac也就唯一确定了，因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B、C、D是相关关系．故选A．(2)两次数学考试成绩散点图如图所示，
由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，具有正相关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系．『规律总结』 两个变量x与y相关关系的判断方法：
(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；
(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断．〔跟踪练习1〕 在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是( )
A．(1)(2)
B．(1)(3)
C．(2)(4)
D．(2)(3)
[解析] 图(1)的两个变量具有函数关系；图(2)(3)的两个变量具有相关关系；图(4)的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系．D (2019·山西大同灵丘县高一期末测试)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(t)与相应的生产能耗y(t标准煤)的几组对照数据：命题方向2 ?回归直线方程典例 2
〔跟踪练习2〕 某企业某产品产量x与单位成本y的资料如下表，作出散点图，并求出y关于x的回归方程.[解析] 散点图如下： 将数据列表如下： 有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童年数量，如下表：
(1)画出散点图，并判定这两个变量是否具有线性相关关系；混淆两个变量之间的相关关系与函数关系的区别而致误 典例 3
[辨析] 在第(1)问中，是否具有线性相关关系，要看大部分点、主流点是否分布在一条直线附近，个别点是不影响“大局的”，所以可断定这两个变量具有线性相关关系．在第(2)问中，381.15只是一个估计值，由它不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人，如果这个城市的污染很严重，有可能人数远远超过380，若这个城市的环境保护得很好，则人数就有可能远远低于380.利用回归方程对总体进行估计 (2018·全国卷Ⅱ理，18)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．典例 4 『规律总结』 利用回归方程，我们可以进行预测，并对总体进行估计．尽管我们利用回归方程所得的值仅是一个估计值，具有随机性，但我们是根据统计规律得到的，因而所得结论正确的概率是最大的，故我们可以放心大胆地利用回归方程进行预测．1．下列两个变量之间的关系：
①角度和它的余弦值；
②正n边形的边数与内角和；
③家庭的支出与收入；
④某户家庭用电量与电价间的关系．
其中是相关关系的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] ①②④中的两个变量是函数关系，③中的两个变量是相关关系，故选A．A C 15 [解析] (1)画出散点图如图：
由图可见两者之间是线性相关的．课时作业学案
