第三章 3.1 3.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列事件中，随机事件的个数为( C )
①方程ax＋b＝0有一个实数根；
②2019年5月1日，来中国旅游的人数为1万；
③在常温下，锡块熔化；
④若a>b，那么ac>bc.
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ①②④是随机事件，③是不可能事件，故选C．
2．下列说法中，不正确的是( B )
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心的次数应为4
[解析] 某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.3，故选B．
3．下列事件中，必然事件是( D )
A．10人中至少有2人生日在同一个月
B．11人中至少有2人生日在同一个月
C．12人中至少有2人生日在同一个月
D．13人中至少有2人生日在同一个月
[解析] 一年有12个月，因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月生日．本题属“三种事件”的概念理解与应用，解决这类题型要很好地吃透必然事件的概念，明确它必定要发生的特征，不可因偶尔巧合就下结论，故选D．
4．袋内装有一个黑球与一个白球，从袋中取出一球，若在100次摸球试验中，摸到黑球的频率为0.49，则摸到白球的次数为( B )
A．49 B．51
C．0.49 D．0.51
[解析] 因为摸到黑球的频率为0.49，所以摸到白球的频率为0.51，从而摸到白球的次数为100×0.51＝51.
5．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这3个数字的和大于6”这一事件是( C )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
[解析] 从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和可能等于6，也可能大于6，所以是否大于6需要取出数字才知道，故“这3个数字的和大于6”这一事件是随机事件．
6．从标有数字1、2、6的号签中，任意抽取两张，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，标有1的号签被抽中4次，那么结果“12”出现的频率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 标有1的号签出现4次，另外6次应抽到标有2、6的号签，所以乘积12出现6次，频率为.
二、填空题
7．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了__500__次试验．
[解析] 设共进行了n次试验，
则＝0.02，解得n＝500.
8．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是__0.9__，中9环的概率是__0.3__.
[解析] 打靶10次，9次中靶，故中靶的概率为＝0.9，其中3次中9环，故中9环的频率是＝0.3.
9．下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果．
(1)某人射击一次，命中的环数；
(2)从装有大小相同但颜色不同的a、b、c、d四个球的袋子中，任取1个球；
(3)从装有大小相同但颜色不同的a、b、c、d四个球的袋子中，任取2个球．
[解析] (1)一次试验为射击一次；结果为命中的环数：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共11种可能结果．
(2)一次试验为从袋中任取1个球；结果为a，b，c，d，共4种可能结果．
(3)一次试验为从袋中任取2个球；若记(a，b)表示一次试验中取出的球是a和b，则试验的全部结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6种可能结果．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x?A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x?B，则x?A是必然事件．
其中正确的命题有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] ∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．
2．一个家庭有两个小孩儿，则可能的结果为( C )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
[解析] 随机试验的所有结果要保证等可能性．两小孩儿有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的基本事件，故选C．
二、填空题
3．质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是__随机__事件．
[解析] 质点平移4次后，该点可能在第一象限，也可能不在第一象限，故是随机事件．
4．样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为__64__，数据落在[6,10)内的概率约为__0.32__.
[解析] 由题图易知组距为4，故样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，频数为0.32×200＝64，所以估计数据落在[6,10)内的概率为0.32.
三、解答题
5．现有甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的猜拳游戏，观察其出拳情况．
(1)写出该实验的基本事件空间；
(2)事件“三人出拳相同”包含的基本事件有哪些？
[解析] 以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布．
(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．
(2)事件“三人出拳相同”包含下列三个基本事件：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)．
6．假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
[解析] (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
7．(2019·全国卷Ⅰ文，19)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0,0.1)
[0.1，
0．2)
[0.2，
0．3)
[0.3，
0．4)
[0.4，
0．5)
[0.5，
0．6)
[0.6，
0．7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
[解析] (1)如图所示．
(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为1＝×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
2＝×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．
课件51张PPT。第三章概率在本章概率的学习中，应注意掌握一些基本的概念，深刻理解概念的含义，如对古典概型的定义的学习，应抓住两点：一是基本事件的有限性，二是事件出现的等可能性．对于易混淆的知识，如概念、公式、随机数的产生方法等，应着眼于弄清它们之间的区别和联系；公式的运用，要注意它们的前提条件，它是哪种概率类型，要准确、熟练地应用各个公式解题．另外，本章内容概念性强，抽象性强，思维方法独特，因此要立足基础知识、基本方法、基本问题的学习，要认真弄清课本每个例题和习题，适当拓展思路是本章学习应遵循的方法．3.1 随机事件的概率3.1.1 随机事件的概率自主预习学案在日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的．例如：明天7︰20在某汽车站等车的人有多少，你购买本期福利彩票是否能中奖等．尽管没有确切的答案，但总会围绕某些数值的变化．
这些数值就是概率．1．事件的概念及分类一定不会发生 一定会发生 可能发生也可能不发生 2．频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的________，称事件A出现的比例fn(A)＝______为事件A出现的频率，其取值范围是______________.频数 [0,1] 3．概率
(1)定义：一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不可预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间_____________中某个常数上．这个常数称为事件A的概率，记为___________，其取值范围是[0,1]．通常情况下，用概率度量随机事件发生的可能性________.
(2)求法：由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定于________，因此可以用________来估计概率．
(3)说明：任何事件发生的概率都是区间______________上的一个确定的数，用来度量该事件发生的可能性．小概率(接近于0)事件不是不发生，而是________发生，大概率(接近于1)事件不是一定发生，而是________发生．[0,1] P(A) 大小 概率 频率 [0,1] 很少 经常 1．下列事件不是随机事件的是( )
A．东边日出西边雨 B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴
[解析] “下雪不冷化雪冷”是必然事件，A、C、D选项中的事件均为随机事件．B 2．下列事件中，不可能事件为( )
A．钝角三角形两个小角之和小于90°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
[解析] 若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．C A 4．(1)“某人投篮3次，其中投中4次”是__________事件；
(2)“抛掷一枚硬币，落地时正面朝上”是________事件；
(3)“三角形的内角和为180°”是________事件．
[解析] (1)共投篮3次，不可能投中4次，投中4次是一个不可能事件．(2)硬币落地时正面和反面朝上都有可能，是一个随机事件．(3)三角形的内角和等于180°，是一个必然事件．不可能 随机 必然 互动探究学案 在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；
(3)没有水分，种子发芽；
(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话；
(5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时会沸腾；
(6)同性电荷相互排斥．命题方向1 ?事件类型的判断典例 1 [思路分析] 依据事件的分类及其定义，在给出的条件下，判断事件是否发生．
[解析] 结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知．
(1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件．
(2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件．
(3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件．(4)电话总机在60秒内接到至少15个电话，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件．
(5)在标准大气压下，水的温度达到100 ℃时，开始沸腾，水温达到50 ℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件．
(6)根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件．『规律总结』 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．〔跟踪练习1〕 指出下列事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称；
(2)某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；
(3)函数y＝kx＋6是定义在R上的增函数；
(4)若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a、b同号．
[解析] 必然事件有(1)；随机事件有(2)，(3)，(4)．对于(4)，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，有两种可能：一种可能是a、b同号，即ab＞0，另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0. 某人做实验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
[思路分析] 利用列举法按照一定的顺序逐个列举即可．命题方向2 ?随机试验中条件和结果的判断典例 2 [解析] (1)当x＝1时，y＝2,3,4；
当x＝2时，y＝1,3,4；
当x＝3时，y＝1,2,4；
当x＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．『规律总结』 列举试验的所有可能结果的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验的条件．
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举所有可能的结果．可应用画树形图、列表等方法，这样才能不重不漏地列举出所有可能结果．〔跟踪练习2〕 写出下列各试验的内容及所有可能的结果．
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．
[解析] (1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}． 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：命题方向3 ?由频率估计随机事件的概率典例 3 (1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．[思路分析] (1)根据频率分布直方图求出样本中分数小于70的频率，然后利用频率估计概率；
(2)计算出样本中分数在[40,50)内的人数，然后按比例求出总体中分数在此范围内的人数；
(3)先求出样本中男女生人数，然后利用样本比例估计总体比例．
[解析] (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.『规律总结』 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据频率与概率的关系估计事件发生的概率． 已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，从这两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数．
[错解] (1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)}．
(2)这个试验的基本事件的总数是6.忽视试验结果与顺序的关系而致误 典例 4 [辨析] 题中要求从两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标，所以集合N中的元素也可以作为横坐标，错解中少了以下基本事件：(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)．
[正解] (1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)}．
(2)这个试验的基本事件的总数是12.概率在生活中的应用 为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．典例 5
1．下面的事件：①在标准大气压下，水加热90 ℃时会沸腾；②从标有1,2,3的小球中任取一球，得2号球；③a>1，则y＝ax是增函数．是必然事件的有
( )
A．③ B．①
C．①③ D．②③
[解析] ①为不可能事件，②为随机事件，③为必然事件．A 2．事件A的概率P(A)满足( )
A．P(A)＝0 B．P(A)＝1
C．0≤P(A)≤1 D．0
[解析] 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率范围是(0,1)，故选C．C 3．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是( )
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
[解析] 由于抛掷硬币时，正面朝上和朝下是不确定的，故抛掷10次，正面朝上的次数也是不确定的，故将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是随机事件．B 4．从某自动包装机包装的白糖中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5～501.5 g之间的概率约为____________.0.25 5．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)：(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．用已有的信息可以估计出王小慧下学期修李老师的高等数学课得分的概率如下：
(1)得“90分以上”记为事件A，则P(A)＝0.067.
(2)得“60分～69分”记为事件B，则P(B)＝0.140.
(3)得“60分以上”记为事件C，则
P(C)＝0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.课时作业学案