第三章 3.3 3.3.1
一、选择题
1．已知函数f(x)＝2x，若从区间[－2,2]上任取一个实数x，则使不等式f(x)>2成立的概率为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 这是一个几何概型，其中基本事件的总数构成的区域对应的长度是2－(－2)＝4，由f(x)>2可得x>1，所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是2－1＝1，则使不等式f(x)>2成立的概率为.
2．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 s．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15 s才出现绿灯的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 记“至少需要等待15 s才出现绿灯”为事件A，则P(A)＝＝.
3．已知ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点P，则取到的点P到O的距离大于1的概率为( B )
A． B．1－
C． D．1－
[解析] 如图所示，设取到的点P到O的距离大于1为事件M，则点P应在阴影部分内，
阴影部分的面积为2×1－×π×12＝2－，
所以P(M)＝＝1－.
4．在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 在线段AB上任取一点P，事件“正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间”等价于事件“5＜|AP|＜7”，则所求概率为＝.
5．(2019·山西柳林县高一期末测试)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形．若直角三角形中较小的锐角θ＝30°，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是( A )
A． B．
C． D．
[解析] 大正方形面积为2×2＝4，小正方形的边长为2cos30°－2sin30°＝－1，∴小正方形的面积为(－1)2＝4－2，∴飞镖落在小正方形内的概率是P＝＝，故选A．
6．某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为( B )
A．16 m B．20 m
C．8 m D．10 m
[解析] 物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为，即掉到河里的概率为，则河流的宽度占总距离的，所以河宽为500×＝20(m)．
二、填空题
7．在区间[－4,8]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝__6__.
[解析] 由几何概型知，＝，解得m＝6.
8．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是____.
[解析] 如图，设点C到边AB的距离为h，则S△ABC＝|AB|·h，
S△PBC＝|PB|·h.又因为S△PBC>S△ABC，所以|PB|>|AB|，故△PBC的面积大于的概率是.
三、解答题
9．在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？
[解析] 如图，边长为5 cm的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P＝＝.
10．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1)若a、b是一枚骰子掷两次所得的点数，求方程有两正根的概率；
(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率．
[解析] (1)由题意知，本题是一个古典概型，用(a，b)表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件．依题意知，基本事件(a，b)的总数共有36个，一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0有两正根，等价于，即.
设“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，因此，所求的概率为P(A)＝＝.
(2)由题意知本题是几何概型，试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16.满足条件的事件为：B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，其面积为S(B)＝×π×42＝4π，因此，所求的概率为P(B)＝＝.
课件41张PPT。第三章概率3.3 几何概型3.3.1 几何概型自主预习学案1777年的一天，法国数学家蒲丰邀请许多朋友到家里，要做一次实验．他在桌上铺好一张大白纸，白纸上画满了一条条等距离的平行线，他又拿出很多等长的小针，每根小针的长度都是平行线间距离的一半．然后对客人说：“请大家把这些小针一根一根地往这张白纸上随便扔吧！”客人们你看看我，我看看你，谁也弄不清楚他要干什么，但还是把小针一根一根地往白纸上乱扔．扔完后，蒲丰让他们把针捡起来再扔，同时蒲丰在一旁认真地记数．他统计的结果是：大家共掷了2 212次，其中小针与纸上平行线相交704次．接着蒲丰做了一次除法：2 212÷704≈3.142，最后他宣布说：“诸位，这个数就是圆周率π的近似值．”客人们觉得十分奇怪：这样乱扔和圆周率π怎么会有关系呢？同学们，你们知道这是为什么吗？1．几何概型
(1)定义：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________(面积或体积)成________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何模型．
(2)计算公式．
在几何概型中，事件A的概率的计算公式是：
P(A)＝__________________________________________.长度 比例 2．均匀分布
当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是__________的，我们称X服从[a，b]上的均匀分布，X为[a，b]上的均匀__________.
3．几何概型与古典概型的异同等可能 随机数 1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向游戏盘中投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是
( )A A B 4．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为____________.0.18 5．在两根相距8 m的木杆间系一根绳子，并在绳子上挂一个警示灯，求警示灯与两杆的距离都大于3 m的概率．互动探究学案 在区间[0,6]上随机地取一个数x，求事件“1≤log2(x＋2)≤2”发生的概率．
[思路分析] 先解不等式1≤log2(x＋2)≤2，再利用解得的区间长度与区间[0,6]的长度求比值即可．命题方向1 ?与长度有关的几何概型典例 1
(3)几何概型的计算步骤：
①判断是否为几何概型；
②确定并计算基本事件空间；
③计算事件A所含基本事件对应的区域的几何度量；
④代入公式计算．
(4)在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．C 如图所示，墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6 cm,4 cm,2 cm.某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？命题方向2 ?与面积有关的几何概型问题典例 2 [解析] 整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积D＝16×16＝256(cm2)，
设“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则
事件A所占区域面积为dA＝π×62＝36π(cm2)；
事件B所占区域面积为dB＝π×42－π×22＝16π－4π＝12π(cm2)；
事件C所占区域面积为dC＝D－dA＝(256－36π)(cm2)．
〔跟踪练习2〕 欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为6 cm的圆，中间有边长为3 cm的正方形孔．若你随机向铜钱上滴一滴油，则这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是______. 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率．
[思路分析] 先确定出点P所在的空间，并求出该空间的体积，用它与圆柱的体积相除即得所求事件的概率．命题方向3 ?与体积有关的几何概型的问题典例 3
如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条直线CM，与线段AB交于点M.求AM
甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
[思路分析] 1.已知甲、乙两人约定在6时到7时之间会面，先到者等候另一人一刻钟再离去，故存在两个随机变量，即两人到达的时刻是随机的，这是一个测度为面积的二维几何概型，要求的是两人能会面的概率．
2．设甲、乙两人到达的时刻分别为x，y，把x，y所满足的关系表示的区域找出来，再把所求事件表示的区域找出来，分别计算面积．几何概型在实际中的应用 典例 5 『规律总结』 (1)本题的难点是寻找此事件的基本事件：甲乙分别到达的时间．把两个时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间这一一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．
(2)“面积比”求几何概型的概率是常见题型，通常利用图形的几何特征度量来求随机事件的概率．C B D A 5．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10 min的概率．课时作业学案