江西省南昌市进贤县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

进贤一中2019-2020学年度高二上学期期中考试
理科数学
（考试时间：120分钟 ）
选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1.将点的直角坐标化为极坐标是（ ）

2．( )
A. B. C. D.
3.化简方程为不含根式的形式是（ ）
A． B． C． D．
4.若以双曲线（）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则虚轴长等于（　 ）
A. B. 1 C. D. 2
5. 已知动圆圆心M到直线x=-3的距离比到A(2,0)的距离大1，则M的轨迹方程为（ ）．
A. B. C. D.
6.已知点的坐标为(5，2)，F为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，当取得最小值时，则点的坐标是( )
A.(1，) B. C. D.
7. 圆与圆有三条公切线，则半径（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8. P是椭圆上一动点，F1和F2是左右焦点，由F2向的外角平分线作垂线，垂足为Q，则Q点的轨迹为( )
A.圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
9.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
10.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（ ）
A. B. C.3 D.
11. 过抛物线 的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，若，且，则抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知点满足过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．2
填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 己知直线，则，之间的距离为__________.
14. 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为
15.直线（为参数）被曲线截得的弦长是
16. 如图，平行光线与水平地面成30°角，已知足球在地面上的影子是椭圆形，则该椭圆的离心率为

解答题（本大题共6个小题，第17题10分，其余各小题每题12分，共70分）
17.若方程表示双曲线，方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围.
18.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数），现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线和曲线的普通方程；
（2）已知点为曲线上的动点，求到直线的距离的最小值.
19．已知圆的方程为．
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）圆有一动点，若向量，求动点的轨迹方程．
20. 已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，线段AB的长度为8，且AB的中点到轴的距离为3；
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点在抛物线上，求过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点Q不重合）．设直线QM，QN的斜率分别为，求证：为定值．
21.在极坐标系中，曲线C的方程为，点
（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
（2）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标.
22.已知椭圆，离心率为，两焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作圆的切线交椭圆于两点，求弦长的最大值．
进贤一中2019-2020学年度高二上学期期中检测卷
理科数学答案
CBCDA,DCADB,AA
11. 解析：抛物线 的焦点 的坐标为 ，准线方程为 ，与双曲线 的渐近线方程为 ，由于过抛物线 的焦点 的直线与双曲线 的一条渐近线平行，并交抛物线于 两点，且 ，所以可设直线 方程为： ，设 ，则 ，由 可得 ，所以 ，由 得 或 （舍去），所以抛物线方程为
12. 【解析】因要使弦 最短,则弦心距最大,根据图形可知,圆内部的点 到圆心 距离最大,此时 ,因此最小弦长 ,故应选A.

13. 14. 15. 16.
16.解析：解：已知桌面上有一个球，半径为R，一束平行光线与桌面成θ（ ）角，
则球在桌面上的投影椭圆的离心率e=cosθ．
如图，l1和l2是两条与球相切的光线，分别切于点A和点C，分别与桌面交于点B和点D，则AC就是球的直径，BD的长就是椭圆的长轴长．过点A作AE∥BD，交l2于点E，则BD=AE．在Rt△AEC中，因为∠AEC=θ，所以AE= ，即 ，

又因为b=R，所以 ，
所以e=cosθ=cos30°= ．
故答案为：
17. 218. （Ⅰ）直线 ： 消去参数 得普通方程
由 得 ，
由 ，以及 ，
整理得： …………………………………………………………6分
（Ⅱ）由 得圆心坐标为 ，半径 ，
则圆心到直线的距离为： ，
而点 在圆上，即 （ 为圆心到直线 的垂足点）
所以 到直线 的距离最小值为 …………………………………………12分
19. 【解析】（Ⅰ）当斜率不存在时, 满足题意；
当斜率存在时，设切线方程为 ，由 得， .
则所求的切线方程为 …………………………………………….…6分
（Ⅱ） 设Q点的坐标为 ,
，即 ….12分
20.（1）抛物线方程为 ． ………………………………………………………………5分
（2）设 ， ，直线MN的方程为 ，……………………………6分
代入抛物线方程得 。
所以 ， ．………………………………8分
所以 ,
所以 为定值-2．……………………………………………………………………………12分
21.（1） …………………………………………….……………6分
(2)
则
…………………………………….12分
22. （1）由题得： ，
所以 ．又 ，所以
即椭圆 的方程为 ………………………………………………………………4分
（2）由题意知， ，设切线 的方程为 ，
由 ，得 ……………………………5分
设 ，
则
，………………………………………………………6分
由过点 的直线 与圆 相切得 ，即 ，…8分
所以 …10分
，
当且仅当 时， ，所以 的最大值为2…………………………………………12分