第三章 3.3 3.3.2
一、选择题
1．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( C )
A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题
B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积
C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积
D．最适合估计古典概型的概率
[解析] 很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．
2．设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝对应变换成的均匀随机数是( C )
A．0 B．2
C．4 D．5
[解析] 当x＝时，y＝2×＋3＝4.
3．把[0,1]内的均匀随机数分别转化为[0,4]和[－4,1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为( C )
A．y＝－4x，y＝5－4 B．y＝4x－4，y＝4x＋3
C．y＝4x，y＝5x－4 D．y＝4x，y＝4x＋3
4．在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y＝()x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积时，需要经过伸缩变换得到哪两个区间上的均匀随机数( B )
A．[－1,1]，[0,1] B．[－1,1]，[0,2]
C．[0,1]，[0,2] D．[0,1]，[0,1]
[解析] 用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数，x表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间的均匀随机数，y表示所投点的纵坐标．
二、填空题
5．b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，则b是区间__[－6，－3]__上的均匀随机数．
[解析] 0≤b1≤1，则函数b＝3(b1－2)的值域是－6≤b≤－3，即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数．
6．利用随机模拟方法计算y＝x2与y＝4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND，然后进行平移与伸缩变换a＝a1·4－2，b＝b1·4，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数a1＝0.3，b1＝0.8及a1＝0.4，b1＝0.3，那么本次模拟得出的面积约为__10.72__.
[解析] 由a1＝0.3，b1＝0.8得：
a＝－0.8，b＝3.2，(－0.8,3.2)落在y＝x2与y＝4围成的区域内，
由a1＝0.4，b1＝0.3得：a＝－0.4，b＝1.2，(－0.4，1.2)落在y＝x2与y＝4围成的区域内，
所以本次模拟得出的面积约为16×＝10.72.
三、解答题
7．从甲地到乙地有一班车在9︰30到10︰00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9︰45到10︰15出发的汽车到丙地去，用随机模拟方法计算他能赶上车的概率是多少？
[解析] 能赶上车的条件是到达乙地时汽车还没有出发，我们可以用两组均匀随机数x和y来表示到达乙地的时间和汽车从乙地出发的时间，当x≤y时能赶上车．
设事件A：“他能赶上车”．
①利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND．
②经过变换x＝0.5x1＋9.5，y＝0.5y1＋9.75.
③统计出试验总次数N和满足条件x≤y的点(x，y)的个数N1.
④计算频率fn(A)＝，则即为概率P(A)的近似值．
8．在长为14 cm的线段AB上任取一点M，以A为圆心，以线段AM为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9π cm2到16π cm2之间的概率．
[解析] 设事件A表示“圆的面积介于9π cm2到16π cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换a＝14a1得到一组[0,14]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[3,4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．
课件35张PPT。第三章概率3.3 几何概型3.3.2 均匀随机数的产生自主预习学案如图，在长为4、宽为2的矩形中有一个以矩形的长为直径的半圆，试用随机模拟法近似计算半圆面积，并估计π值．
1．均匀随机数的定义
如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是____________，则称这些实数为均匀随机数．
2．均匀随机数的特征
(1)随机数是在____________内产生的．
(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性________.等可能的 一定范围 相等 3．均匀随机数的产生
(1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是____________.
(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“______________”．
(3)产生方法：
①由几何概型产生；②由转盘产生；③由__________或__________产生．
4．用模拟方法近似计算某事件概率的方法
(1)试验模拟法：
做两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果，进行近似计算．
(2)计算机模拟法：
用Excel软件产生[0,1]上的均匀随机数进行模拟，注意操作步骤．RAND rand( ) 计算器 计算机 1．下列关于随机数的说法：
①计算器只能产生(0,1)之间的随机数；
②计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数；
③计算器只能产生均匀随机数；
④我们通过命令rand( )*(b－a)＋a来得到两个整数值之间的随机数．
其中正确的是__________.④ [解析] 2．下列说法中，与均匀随机数特点不符的是( )
A．它是[0,1]内的任何一个实数
B．它是一个随机数
C．出现的每一个实数是等可能的
D．是随机数的平均数
[解析] 均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．D 3．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为
( )
A．a＝a1*8 B．a＝a1*8+2
C．a＝a1*8-2 D．a＝a1*6
[解析] 将0～1之间的随机数转化为a～b之间的随机数需进行的变化为a＝a1*(b-a)+a．C A 互动探究学案 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1 m的概率．
[思路分析] 在任意位置剪断绳子，则剪断位置到某一端点的距离取遍[0,3]内的任意数，并且取到每一个实数都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上的均匀随机数，其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内，也就是剪得两段的长都不小于1 m．这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内的随机数个数之比就是事件发生的频率．命题方向1 ?用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率典例 1
〔跟踪练习1〕 取一根长度为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？ 解放军某部进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16 m，宽为14 m的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1 m、2 m、5 m．若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意跳下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．命题方向2 ?用随机模拟方法估计面积型几何概型的概率典例 2 [思路分析] 本题为面积型几何概型，所求的概率为面积之比，若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置．『规律总结』 用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的区别与联系：
(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数．
(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．〔跟踪练习2〕 在本例中，如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率． 用计算器或计算机产生20个[0,1]之间的随机数x，但是基本事件都在区间[－1,3]上，则需要经过的线性变换是( )
A．y＝3x－1 B．y＝3x＋1
C．y＝4x＋1 D．y＝4x－1
[错解] C 因为随机数x∈[0,1]而基本事件都在[－1,3]上，其长度为4.
由平移变换得y＝4x＋1，故选C．
[辨析] 错误的根本原因是没有求出函数的定义域．实际上本题函数的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．正确解答过程如下：忽视函数定义域而致误 典例 3 C
[正解] D 因为随机数x∈[0,1]，而基本事件都在区间[－1,3]上，其区间长度为4，所以把x变成4x，因为区间左端值为－1，所以4x再变为4x－1，故变换公式为y＝4x－1，故选D．利用随机模拟法和几何概型的概率公式可以估计不规则图形的面积．
利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．估计不规则图形的面积 典例 4 [思路分析] 在坐标系中画出正方形，用随机模拟方法可以求出阴影部分与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值．[解析] 步骤：(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND．
(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2b1，得到一组[－1,1]内的均匀随机数和一组[0,2]内的均匀随机数．
(3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b<2a的点(a，b)的个数]．『规律总结』 用随机模拟法近似计算不规则图形的面积方法揭秘：
(1)用随机模拟试验估计不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决．
(2)解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公式分别求出几何概率，然后通过解方程求得相应部分面积的近似值．
(3)对于较复杂的问题通常需要设计一个图形，使其面积与某个常数有关，进而就可以设计一个概率模型，然后设计适当的试验并通过这个试验结果来确定所求面积的近似值．1．关于随机模拟方法，下列说法正确的是( )
A．比扔豆子试验更精确
B．所获得的结果比较精确
C．可以用来求平面图形面积的精确值
D．是用计算器或计算机模拟实际的实验操作D 2．将区间[0,1]内的均匀随机数x1转化为区间[－2,2]内的均匀随机数x，需要实施的变换为( )
A．x＝x1×2 B．x＝x1×4
C．x＝x1×2＋2 D．x＝x1×4－2
[解析] 因为x1∈[0,1]，
所以0≤4x1≤4，－2≤4x1－2≤2，
所以x＝x1×4－2满足题意．D 3．设x1是[0,1]内的均匀随机数，x2是[－2,1]内的均匀随机数，则x1与x2的关系是______________.x2＝3x1－2 4．在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取1支，求取得一级品的概率．
[解析] 一级品和二级品的数量不相等，所以抽取时得到一级品还是二级品的可能性不同，但是每支笔被取到的可能性相等，我们可以用1～10内的整数随机数x表示抽取圆珠笔．用1～7内的整数随机数x表示一级品，用8～10内的整数随机数x表示二级品．
设事件A＝“取得一级品”(1)用计算器的随机函数RANDI(1,10)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)产生1到10之间的整数随机数，分别用1、2、3、4、5、6、7表示取得一级品，用8,9,10表示取得二级品；
(2)统计试验总次数N及其中出现1～7之间的数的次数N1；
(3)计算频率fn(A)＝N1/N即为事件A的概率的近似值．课时作业学案
