江西省南昌市进贤县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试卷

2019-2020学年度进贤一中高二(上)文科数学期中考试卷
考试时间：120分钟；总分:150分;
第I卷（选择题)
一、选择题（12道小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确的选项.）
1．直线的倾斜角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3.设点P是圆上任一点，则点P到直线距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
4．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5．若抛物线的准线为圆的一条切线，则抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6．若直线：与曲线：相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，实数的值为(　　)
A． B． C． D．
7．已知双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
8．己知在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）．点，为上一点，若，则的面积为（　　）
A． B． C．2 D．1
9.设，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（）
A． B． C． D．
10.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与　交于，两点，则=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为．若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题)
二、填空题(4小题,每题5分,共20分)
13．在极坐标系中，点到直线的距离为_____.
14．设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是______.
15．扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯。现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着它们自身的对称轴旋转而来（如下图），花灯的下顶点为,上顶点为，米，在它的内部放有一个半径为米的球形灯泡，球心在轴上,且米。若球形灯泡的球心到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点处取到。建立适当的坐标系可得抛物线方程为，则实数的取值范围是_______
16．如右图，已知椭圆，点, 分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线与椭圆交于另一点，直线，的斜率的乘积恒为，则椭圆的离心率为________．三、解答题(17题10分,18-22每题12分,共70分)
17．在直角坐标系中，圆C的方程为．
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率．
18.在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点．
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
以椭圆短轴的一个端点P与两个焦点F1、F2为顶点的三角形的周长是，且PF1 F2=300
求椭圆的标准方程；（2）如果是椭圆的任意一条与轴不垂直的弦，为椭圆的中心，为的中点，求的值。
20.已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.
21．如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记的面积为.
（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点G的坐标.
22.如图，已知双曲线：()的右焦点，点分别在 的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点）．
（1）求双曲线的方程；
（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，恒为定值，并求此定值．
2019-2020学年度进贤一中高二(上)文科数学期中考试答案
一、单选题 BBCAC DABBD AB
二、填空题13． 14． 15. 16．【详解】设点的坐标为，有，可得点的坐标为，点的坐标为，直线的斜率为，可得直线的方程为，代入，可求得点的坐标为；直线的斜率为，则直线的斜率为，有，
可得，有，得．
三、解答题17．【解析】(每小题各5分)（1）整理圆的方程得，
由可知圆的极坐标方程为．
(2)记直线的斜率为，则直线的方程为，
由垂径定理及点到直线距离公式知：，
即，整理得，则．
18.解析（1）由圆心N在直线上，可设.因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以，于是圆N的半径为，从而，解得.因此，圆N的标准方程为.
(2)因为直线OA，所以直线的斜率为.
设直线的方程为，即，
则圆心M到直线的距离 因为
而 所以，解得或.
故直线的方程为或.
19.【详解】（1）（2）由题意，设直线方程为，
联立方程组，整理得，
所以，
因为为的中点，所以的横坐标为，
又由，
所以点的纵坐标为，
则，所以.
20..解析（1）设，则.由于，所以切线DA的斜率为，故 ，整理得 设，同理可得.故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.
（2）由（1）得直线AB的方程为.
由，可得.于是.
设M为线段AB的中点，则.
由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.当=0时，=2，所求圆的方程为；
当时，，所求圆的方程为.
21．【详解】（I）由题意得，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=?1.
（Ⅱ）设，重心.令，则.由于直线AB过F，故直线AB方程为，代入，得
，
故，即，所以.
又由于及重心G在x轴上，故，得.所以，直线AC方程为，得.由于Q在焦点F的右侧，故.从而
.令，则m>0，
.
当时，取得最小值，此时G（2，0）.
22.【解析】（1）设，因为，所以
直线OB方程为，直线BF的方程为，解得
又直线OA的方程为，则
又因为ABOB，所以，解得，故双曲线C的方程为
（2）由（1）知，则直线的方程为，即
因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点
直线与直线的交点为则
因为是C上一点，则，代入上式得
，所求定值为