第三章 学业质量标准检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是 ( C )
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．既不互斥又不对立事件
[解析] 甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．
2．已知小红的钱包中有2枚“壹分”，2枚“贰分”，3枚“伍分”的硬币，她随意地从钱包中取出2枚硬币观察其面值．这一试验的基本事件总数n等于( A )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 由题意知，基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,5)，(2,2)，(2,5)，(5,5)，故6个，故选A．
3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为( D )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
[解析] 由题意知事件A、B、C互为互斥事件，记事件D＝“抽到的是二等品或三等品”，则P(D)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3，故选D．
4．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷56粒，则这批米内夹谷约为 ( B )
A．1 365石 B．336石
C．168石 D．134石
[解析] 设这批米内夹谷约为x石，则根据题意得到＝?x＝336.
5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 五人录用三人共有10种不同方式，分别为：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}．
其中含甲或乙的情况有9种，故选D．
6．一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，若第一次摸到的球的编号为x，第二次摸到的球的编号为y，构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为 ( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意可知两次摸球得到的所有数对(x，y)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足xy＝4的数对有(1,4)，(2,2)，(4,1)，共3个．故所求事件的概率为.
7．设p在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 0≤p≤5且方程有实根满足p2－4≥0，则2≤p≤5，所以对应的概率为P＝＝.
8．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( C )
A．恰有2件一等品 B．至少有一件一等品
C．至多有一件一等品 D．都不是一等品
[解析] 将3件一等品编号为1,2,3；2件二等品编号为4,5.从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝；恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.
9．如图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，则该点落在正方形内的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 设事件A为“该点落在正方形内”，则SG＝，SG1＝()2＝，
∴P(A)＝＝＝.
10．袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套3只，白色手套2只．现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．则甲、乙获胜的机会是( C )
A．一样多 B．甲多
C．乙多 D．不能确定
[解析] 乙获胜的概率为，甲获胜的概率为，乙获胜的概率大于甲获胜的概率．
11．一个球形容器的半径为3 cm，里面装满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取1 mL水含有感冒病毒的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 纯净水的体积为π×33＝36π(cm3)＝36π(mL)，任取1 mL水含有感冒病毒的概率P＝.
12．为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 根据频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，
设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A，B，设生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C，D，E，F，
则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
2位工人不在同一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种．
则选取这2人不在同一组的概率为.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组只有一组解的概率是____.
[解析] 方程组只有一组解，除了，.这两种情况之外都可以，故所求概率P＝＝.
14．设A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,3,5,7,9}，集合C是从A∪B中任取2个元素组成的集合，则C?A∩B的概率是____.
[解析] 由题意知，A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,9}，含8个元素，A∩B＝{1,3,5}，含3个元素，从A∪B中任取2个元素，共有28种情况，从A∩B中任取2个元素，共有3种情况，所以C?A∩B的概率P＝.
15．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只作过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中作过标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚__160 000__只．
[解析] 设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以＝，解得x＝160 000.
16．某校组织“中国诗词”竞赛，在“风险答题”的环节中，共为选手准备了A、B、C三类不同的题目，选手每答对一个A类、B类或C类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则相应要扣去300分、200分、100分，根据平时训练经验，选手甲答对A类、B类或C类题目的概率分别为0.6、0.75、0.85，若要每一次答题的平均分更大一些，则选手甲应选择的题目类型应为__B__.(填A、B或C)
[解析] 选手甲选择A类题目，得分的均值为：0.6×300＋0.4×(－300)＝60；
选手甲选择B类题目，得分的均值为：0.75×200＋0.25×(－200)＝100；
选手甲选择C类题目，得分的均值为：0.85×100＋0.15×(－100)＝70，
∴若要每一次答题的平均分更大一些，则选手甲选择的题目类型应为B．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)一个口袋内装有大小相同的1个白球和已编有号码的3个黑球，从中摸出2个球．
(1)共有多少种不同的结果？
(2)2个球均为黑球有多少种不同结果？
(3)2个球均为黑球的概率是多少？
[解析] (1)共有6种不同的结果，分别为(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑2，黑3)、(白，黑1)、(白、黑2)、(白、黑3)．
(2)2个球均为黑球有3种不同的结果．
(3)由于6种结果是等可能的，其中2个球均为黑球(记为事件A)有3种不同的结果，
∴P(A)＝＝.
18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
[解析] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)基本事件同(1)．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
19．(本小题满分12分)据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人进行调查(若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”)，就“是否取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：
态度调查人群
应该取消
应该保留
无所谓
在校学生
2 100人
120人
y人
社会人士
600人
x人
z人
已知在样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
(2)已知y≥657，z≥55，求本次调查“失效”的概率．
[解析] (1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，∴＝0.05，解得x＝60.∴持“无所谓”态度的人数为3 600－2 100－120－600－60＝720.
∴应在持“无所谓”态度的人中抽取720×＝72人．
(2)∵y＋z＝720，且y，z∈N，y≥657，z≥55，故满足条件的(y，z)有(657,63)，(658,62)，(659,61)，(660,60)，(661,59)，(662,58)，(663,57)，(664,56)，(665,55)，共9种情况．
记本次调查“失效”为事件A，若调查“失效”，则2 100＋120＋y<3 600×0.8，解得y<660.
∴事件A包含(657,63)，(658,62)，(659,61)，共3种情况，∴P(A)＝＝.
20．(本小题满分12分)某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级，现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n
(1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
[解析] (1)由频率分布表得
0．05＋m＋0.15＋0.35＋n＝1.
即m＋n＝0.45.
由抽取的20零件中，等级为5的恰有2个得
n＝＝0.1，
所以m＝0.45－0.1＝0.35.
(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记为x1，x2，x3，等级为5的零件有2个，记为y1，y2，从中任意抽取2个零件，所有可能结果为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)共计10种，记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”，则A包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)共4个．
故所求概率P(A)＝＝0.4.
21．(本小题满分12分)有一天，小明去公园玩，被公园门口的一种游戏所吸引，其游戏规则是：如图是一个转盘，游戏者免费转一下，转盘停止后，找到指针所指的数，从这一格的下一格开始，顺时针数与该数相同数目的格子停止，按照停止的格子上的提示得到或付出相应的钱数．你想来试试吗？
[解析] 假设指针所指的数为3，则按规则可得到3元(数字12位置中的奖励)，同理，指针所指的数为5,7,11,13,15中的一个时，同样可得3元．但指针所指的数为除3,5,7,11,13,15之外的数时，就要罚3元．例如，若指针所指的数为10，按规则从这一格的下一格开始数，顺时针数10个位置到位置16，则要罚3元．
设得到钱的概率为P1，付出钱的概率为P2，则
P1＝＝，P2＝＝.
上述概率说明，如果玩很多次的话，平均每8次能得到3×3＝9(元)，却要付出5×3＝15(元)，亏6元．所以玩的次数越多，亏得越多，建议这种游戏还是不玩为好．
22．(本小题满分12分)砂糖橘是柑橘类的名优品种，因其味甜如砂糖故名．某果农选取一片山地种植砂糖橘，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位：kg)，获得的所有数据按照区间[40,45]，(45,50]，(50,55]，(55,60]进行分组，得到频率分布直方图如图．已知样本中产量在区间(45,50]上的果树株数是产量在区间(50,60]上的果树株数的倍．
(1)求a、b的值；
(2)从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株，求产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率．
[解析] (1)样本中产量在区间(45,50]上的果树有a×5×20＝100a(株)，
样本中产量在区间(50,60]上的果树有(b＋0.02)×5×20＝100(b＋0.02)(株)，依题意，有100a＝×100(b＋0.02)．即a＝(b＋0.02)．①
根据频率分布直方图可知
(0.02＋b＋0.06＋a)×5＝1，②.
解①②组成的方程组得a＝0.08，b＝0.04.
(2)样本中产量在区间(50,55]上的果树有0.04×5×20＝4(株)，分别记为A1，A2，A3，A4，产量在区间(55,60]上的果树有0.02×5×20＝2(株)，分别记为B1，B2.
从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)．
其中产量在(55,60]上的果树至少有一株被抽中共有9种情况：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)．
记“从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株，产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中为事件M”，则P(M)＝＝.
课件38张PPT。第三章概率章末整合提升知 识 网 络事
件 事
件 事
件 事
件 专题突破专题一 ?互斥事件与对立事件问题 据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应的概率如下：典例 1 [分析] 第(1)问用互斥事件的概率加法公式可简单求解，第(2)问属于“至少”问题，用对立事件的概率公式比较简单．[解析] 记在窗口等候的人数为0、1、2分别为事件A、B、C，则A、B、C彼此互斥．
(1)至多2人排队等候的概率是
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)至少3人排队等候的概率是：1－P(A∪B∪C)＝1－0.56＝0.44.专题二 ?古典概型问题 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．典例 2 专题三 ?几何概型问题当一随机试验的可能结果有无数个，并且每个结果的出现都是等可能的，我们把这样的试验称为几何概型．由于试验的结果不能一一列举出来，所以在计算概率时可利用试验的全部结果构成的区域和所求事件的结果构成的区域的几何度量的比值来计算．常用的几何度量有长度，面积，体积和角度等，解题时要适当选择． 将长为l的绳子随机剪成三段，求三段能构成三角形的概率．典例 3 概率与统计相结合，是新课标数学高考试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大，属于中档以下难度．专题四 ?概率与统计的综合问题 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示(图中两边的数字分别表示甲、乙两班同学身高的个位数)．
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．典例 4 空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．
当空气污染指数(单位：μg/m3)为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；
当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；
当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；典例 5 当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；
当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；
当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．
2016年12月某日某省x个监测点数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并补全频率分布直方图；
(2)若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度
污染，2个监测点为良，从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？[思路分析] (1)先由已知条件求得污染指数在[0,50]内的频率，再求得监测点的总个数，由此求得x的值及另外三组污染指数范围内的频率，进而补全频率分布直方图；(2)将事件A中的基本事件一一列举出来，再求事件A发生的概率．思想1 转化与化归思想
转化与化归思想，简单地说就是将复杂的问题转化成简单的问题，将未解决的问题转化成已解决的问题．本章中，有两个主要应用这种思想的解题方法：一是将所求事件的概率转化成所求事件的对立事件的概率；二是在几何概型中，将求概率的问题转化成求长度(面积或体积)比值的问题．专题五 ?思想方法总结 在[－1,1]上任取两个实数a、b，求一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有两个非负实数根的概率．典例 6 『规律总结』 本题将求有关方程的根的概率问题转化为面积型几何概型问题，求解的关键是由一元二次方程根与系数的关系求得所求事件对应的区域面积．先构设变量(a，b)，用(a，b)表示每次试验的结果，再用相应的区域表示出试验的全部结果和所求事件包含的结果，然后求出各区域的面积，代入几何概型的概率公式计算. 思想2 数形结合思想
数形结合思想：在几何概型中，常常将求概率的问题转化为求长度(面积或体积)比值的问题．有一些代数问题也可以转化为几何概型来处理． 甲、乙两人相约10 min之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人3 min以后方可离去，若他们在期限内到达目的地是等可能的，求此二人会面的概率．
[解析] 设甲、乙两人分别在第x，y min到达某地，则0≤x≤10,0≤y≤10，两人会面的条件是|x－y|≤3.典例 7 如图所示，区域Ω是边长为10的正方形，图中介于两直线x－y＝±3之间的阴影表示事件A：“此二人会面”．问题可以理解为求图中阴影部分面积占总体面积的概率．『规律总结』 几何概型的求解，关键是找到全体基本事件的区域度量及某事件的基本事件的区域度量．做题时，可以先据题意作出图形后再确定区域的度量．
