第一章 1.1 1.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．下面是解决问题的算法的是( A )
A．打开计算机需先插好电源，再打开显示器，打开主机
B．斜二测画法需将平行于x轴的线段，长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为的一半
C．求方程x2－1＝0的解先移项
D．新中国成立60周年
[解析] 算法是方法与步骤，B与D仅陈述事件，C虽然是步骤，但并不能达到目的，也不是解这个方程的算法．
2．以下关于算法的说法正确的是( A )
A．描述算法可以有不同的方式，可用形式语言也可用其他语言
B．算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题
C．算法过程要一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且经过有限步或无限步后能得出结果
D．算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的结果
[解析] 算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或计算序列能够解决一类问题．算法过程要求一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，只能有唯一结果，而且经过有限步后，必须有结果输出后终止，描述算法可以有不同的语言形式，如自然语言、框图语言及形式语言等．
3．使用计算机解题的步骤由以下哪几部分构成：
①寻找解题方法；②调试运行；③设计正确算法；④正确理解题意；⑤编写程序．
正确的顺序为( B )
A．④①③②⑤ B．④①③⑤②
C．④③②①⑤ D．④①②③⑤
[解析] 根据题意知，应先进行④，然后是①，再就是③⑤，最后是②，故顺序为④①③⑤②.
4．下列描述不是解决问题的算法的是( C )
A．从中山到北京先坐汽车，再坐火车
B．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
C．方程x2－4x＋3＝0有两个不等的实根
D．解不等式ax＋3＞0时，第一步移项，第二步讨论
[解析] A选项：从中山到北京，先坐汽车，再坐火车，解决了怎样去的问题，所以A是解决问题的算法；B选项：解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解决了怎样解一元一次方程的问题，所以B是解决问题的算法；D选项；解不等式ax＋3＞0时，第一步移项化为ax＞－3，第二步讨论a的符号，进而根据不等式的基本性质，求出不等式的解集，解决了怎样求不等式解集的问题，所以D是解决问题的算法．故选C．
5．一个算法的步骤如下：
第一步，输入x的值．
第二步，计算y＝x2.
第三步，计算z＝2y－log2y.
第四步，输出z的值．
若输入x的值为－2，则输出z的值为( D )
A．2 B．4
C．12 D．14
[解析] 第一步，输入x的值为－2，第二步，计算得y＝(－2)2＝4；第三步，计算得z＝24－log24＝16－2＝14.
6．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的正确步骤是( B )
①配方得(x－2)2＝1；②移项得x2－4x＝－3；③解得x＝1或x＝3；④开方得x－2＝±1.
A．①②③④ B．②①④③
C．②③④① D．④③②①
[解析] 使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行，故选B．
二、填空题
7．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，设计计算三角形周长的算法如下：
第一步，输入a，b.
第二步，计算c＝.
第三步，计算_______________.
第四步，输出L.
将算法补充完整，横线处应填__L＝a＋b＋c__.
[解析] 根据“已知两直角边长分别为a，b，计算三角形周长”的要求，可知三角形的周长L＝a＋b＋c.
8．已知函数f(x)＝，写出求f(f(f(3)))的值的算法时，下列步骤的正确顺序是__③①②__.
①由f(0)＝－5，得f(f(3))＝－5；②由－5＜0，
得f(－5)＝25＋2＝27，即f(f(f(3)))＝27；
③由3＞0，得f(3)＝0.
[解析] 按由里到外的顺序求值，即先求f(3)，再求f(f(3))，最后求f(f(f(3)))．
三、解答题
9．写出求过两点M(－2，－1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成的图形的面积的一个算法．
[解析] 第一步，取x1＝－2，y1＝－1，x2＝2，y2＝3.
第二步：计算＝.
第三步：在第二步结果中令x＝0得到y的值为m，得直线与y轴交点为(0，m)．
第四步：在第二步结果中令y＝0得到x的值为n，得直线与x轴交点为(n,0)．
第五步：计算S＝|m|·|n|.
第六步：输出运算结果S.
B级 素养提升
一、选择题
1．给出下列算法：
第一步，输入正整数n(n>1)．
第二步，判断n是否等于2，若n＝2，则输出n；若n>2，则执行第三步．
第三步，依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除n，则执行第四步；若能整除n，则执行第一步．
第四步，输出n.
则输出的n的值是( C )
A．奇数 B．偶数
C．质数 D．合数
[解析] 根据算法可知n＝2时，输出n的值2；若n＝3，输出n的值3；若n＝4,2能整除4，则重新输入n的值…，故输出的n的值为质数．
2．阅读下面的算法：
第一步，输入两个实数a，b.
第二步：若a＜b，则交换a，b的值，否则执行第三步．
第三步，输出a.
这个算法输出的是( A )
A．a，b中的较大数 B．a，b中的较小数
C．原来的a的值 D．原来的b的值
[解析] 第二步中，若a＜b，则交换a，b的值，那么a是a，b中的较大数；否则a＜b不成立，即a≥b，那么a也是a，b中的较大数．
3．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2 min；②洗菜6 min；③准备面条及佐料2 min；④用锅把水烧开10 min；⑤煮面条3 min.以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用的分钟数为( C )
A．13 B．14
C．15 D．23
[解析] ①洗锅盛水2 min、②用锅把水烧开10 min(同时②洗菜6 min、③准备面条及佐料2 min)、⑤煮面条3 min，共为15 min.
4．如下算法：
第一步，输入x的值．
第二步，若x≥0，则y＝x；否则，y＝x2.
第三步，输出y的值．
若输出y的值是9，则x的值是( D )
A．3 B．－3
C．3或－3 D． －3或9
[解析] 由题意可知，此算法是求分段函数y＝中，y＝9时，x的值．当x≥0时，x＝9；
当x＜0时，x2＝9，∴x＝－3，故选D．
二、填空题
5．给出下列算法：
第一步，输入x的值．
第二步，当x>4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步．
第三步，计算y＝.
第四步，输出y.
当输入x＝0时，输出y＝__2__.
[解析] 由于x＝0>4不成立，故计算y＝＝2，输出y＝2.
6．“三分损益法”是中国古代采用数学运算研究乐律的方法，即确定音乐体系中各音的绝对高度及其相互关系的乐律理论，相传春秋时期管仲所作的《管子·地员篇》对其已有明确记载，它奠定了中国古代五声音阶的基础，其算法步骤如下，然后根据所给的条件填空．
1×34＝9×9＝81＝宫；
81×＝108＝徵(由宫益其三分之一而得)；
__108×__＝__72__＝商(由徵损其三分之一而得)；
__72×__＝__96__＝羽(由商益其三分之一而得)．
[解析] 按其规律，两行分别为108×＝72＝商(由徵损其三分之一而得)；72×＝96＝羽(由商益其三分之一而得)．
三、解答题
7．设计一个算法，找出闭区间[20,25]上所有能被3整除的整数．
[解析] 第一步，用20除以3，余数不为0，故20不能被3整除；
第二步，用21除以3，余数为0，故21能被3整除；
第三步，用22除以3，余数不为0，故22不能被3整除；
第四步，用23除以3，余数不为0，故23不能被3整除；
第五步，用24除以3，余数为0，故24能被3整除；
第六步，用25除以3，余数不为0，故25不能被3整除；
第七步，指出在闭区间[20,25]上能被3整除的整数为21和24.
8．下面给出一个问题的算法：
第一步，输入x.
第二步，若x≥4，则执行第三步，否则执行第四步．
第三步，输出2x－1结束．
第四步，输出x2－2x＋3结束．
问：
(1)这个算法解决的问题是什么？
(2)当输入的x的值为多少时，输出的数值最小？
[解析] (1)这个算法解决的问题是求分段函数y＝的函数值的问题．
(2)本问的实质是求分段函数最小值的问题．
当x≥4时，y＝2x－1≥7；
当x<4时，y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2.
∴函数最小值为2，当x＝1时取到最小值．
∴当输入x的值为1时，输出的数值最小．
课件45张PPT。第一章算法初步算法是数学及其应用的重要组成部分，特别是随着信息技术的发展，算法已越来越多地融入到人们的现实生活中去，算法思想已成为数学素养的一部分．中学数学中的算法内容可以说是比较基本的算法初步．我们数学中的计算离不开算法，我们必须加强算法的研究与学习．同时算法又是计算机科学的基础，计算机完成的所有任务都必须由算法编制合理的步骤，再转化为计算机语言，因此，我们在学习算法时，可以与计算机等信息技术课程很好地联系在一起．同时通过计算机实现算法，解决数学问题还可以使我们看到算法的可行性、应用性，激发我们学习算法的积极性．但我们也应当注意到使用信息技术的适应性，适当使用信息技术，不能将数学中的算法学习变为计算机的程序语言的学习或程序设计，不能为了应用本末倒置．1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念自主预习学案现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步，分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同．
第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆．
第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆．
第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．
这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数，你知道中间一堆牌有多少张吗？1．算法的概念算术运算 一定规则 明确 有限 计算机程序 计算机程序 明确的步骤 算法 “语言” 2．算法的特征
算法是做一件事情的方法和步骤．在生活中做一件事情的方法和步骤有多种，我们设计的算法应本着简捷方便的原则．要正确地设计一个算法就需要了解算法的特征：有限性 逻辑性 1．下列不能看成算法的是( )
A．洗衣机的使用说明书
B．烹制红烧肉的菜谱
C．从山东济南乘火车到北京，再从北京乘飞机到伦敦
D．小明不会洗衣服
[解析] 由算法的概念可知，选项D并没有涉及程序和步骤，也不能够体现在有限步之间完成，故选D．D 2．算法的每一步都应该是正确的、能有效执行的，并且能得到明确的结果，这是指算法的( )
A．有穷性 B．确定性
C．逻辑性 D．不唯一性
[解析] 算法的过程和每一步的结果都是确定的，即确定性．B 3．下面对算法的描述正确的一项是( )
A．算法只能用自然语言来描述
B．算法只能用图形方式来表示
C．同一问题可以有不同的算法
D．同一问题的算法不同，结果必然不同
[解析] 根据算法的特征，同一问题可以有不同的算法，但结果是一样的．C 4．已知一名学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分，求他的总分D和平均成绩E的一个算法为：
第一步，取A＝89，B＝96，C＝99.
第二步，__________________.
第三步，______________________.
第四步，输出D，E.D＝A＋B＋C 5．写出解方程ax＋b＝0(a、b是常数)的一个算法．互动探究学案 (1)下列关于算法的描述正确的是( )
A．算法与求解一个问题的方法相同
B．算法只能解决一个问题，不能重复使用
C．算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切
D．有的算法执行完后，可能无结果命题方向1 ?算法含义的正确理解C 典例 1 (2)下列描述不能看作算法的是( )
A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤
B．利用公式S＝πr2，计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42
C．解不等式2x2＋x－1>0
D．求过M(1,2)与N(－3，－5)两点的直线方程可以先求MN的斜率，再利用点斜式方程求得．
[思路分析] 解决此类问题的关键是准确把握算法的基本特征和作用，然后对每种描述逐一判断，得出正确结论．C [解析] (1)算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A项不对；算法能重复使用，故B项不对；每个算法执行后必须有结果，故D项不对；由算法的有序性和确定性可知C项正确．
(2)A、B、D都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而C只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．『规律总结』 (1)算法实际上是一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想．
(2)算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性与正确性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点．〔跟踪练习1〕 下列说法中，能称为算法的是( )
A．巧妇难为无米之炊
B．炒菜需要洗菜、切菜、刷锅、炒菜这些步骤
C．数学题真有趣
D．物理与数学是密不可分的
[解析] 算法是做一件事的步骤或程序，不是解决问题的办法，因而只有选项B正确．B 写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的值的一个算法．命题方向2 ?数值性问题的算法典例 2 [解析] 算法1：
第一步，计算1＋2得到3；
第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6；
第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10；
第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15；
第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21；
第六步，输出运算结果．『规律总结』 设计此类问题的算法通常有两种．一种称为累加或乘法，将步骤一直写下去，便得到任意有限个数相加或相乘的算法．另一种具有代表性，是对这一类问题的机械的、统一的求解方法．〔跟踪练习2〕 写出满足1＋2＋3＋…＋n＞20的最小自然数n的值的算法．
[解析] 第一步，计算1＋2＝3，显然3＞20不成立，执行第二步；
第二步，将第一步计算的结果3与3相加，得到6，显然6＞20不成立，执行第三步；
第三步，将第二步计算的结果6与4相加，得到10，显然10＞20不成立，执行第四步；
第四步，将第三步计算的结果10与5相加，得到15，显然15＞20不成立，执行第五步；
第五步，将第四步计算的结果15与6相加，得到21，显然21＞20成立，所以输出6. 有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题．
[思路分析] 由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换，故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶的办法进行交换．命题方向3 ?非数值性问题的算法典例 3 [解析] 算法步骤如下：
第一步，取一只空的墨水瓶，设其为白色．
第二步，将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中．
第三步，将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中．
第四步，将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中．
第五步，交换结束．『规律总结』 对于非数值问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤，完成算法，在设计算法时应简洁、清晰，要善于分析任何可能出现的情况以体现思维的严谨性．〔跟踪练习3〕 写出交换两个容量相同的杯子的液体(A杯中装有水、B杯中装有酒)的两个算法．
[解析] 算法1：第一步，找一个容量不小于A的空杯子C.
第二步，将A中的水倒入C中．
第三步，将B中的酒倒入A中．
第四步，将C中的水倒入B中，结束．
算法2：第一步，再找两个容量不小于A的空杯子C和D.
第二步，将A中的水倒入C中，将B中的酒倒入D中．
第三步，将C中的水倒入B中，将D中的酒倒入A中，结束． 设计一个算法，求a1，a2，a3，a4，a5五个不同实数中最小的数．
[错解] 第一步，比较a1，a2的大小．若a1＜a2，则令m＝a1；否则，令m＝a2.
第二步，比较m，a3的大小．若a3＜m，则令m＝a3；否则，m的值不变．
……
第四步，比较m，a5的大小．若a5＜m，则令m＝a5；否则，m的值不变．
第五步，输出m的值．
以上错解中都有哪些错误？出错的原因是什么？你如何订正？你如何防范？算法中错用省略号而致误 典例 4 [辨析] 省略号表达的步骤不明确，不符合算法的确定性．
[正解] 第一步，比较a1，a2的大小．若a1＜a2，则令m＝a1；否则，令m＝a2.
第二步，比较m，a3的大小．若a3＜m，则令m＝a3；否则，m的值不变．
第三步，比较m，a4的大小．若a4＜m，则令m＝a4；否则，m的值不变．
第四步，比较m，a5的大小．若a5＜m，则令m＝a5；否则，m的值不变．
第五步，输出m的值． 写出解方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为实数)的一个算法．
[思路分析] 分a＝0和a≠0两种情况讨论：当a＝0时，分①b＝0，c＝0，②b＝0，c≠0，③b≠0三种情况讨论；当a≠0时，分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况讨论．分类讨论思想 典例 5 [解析] A、B两选项给出了解决问题的方法和步骤，是算法．C项，利用公式计算也属于算法．D项，只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．D 2．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤．从下列选项中选出最好的一种算法( )
A．第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听广播
B．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播C．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播
D．第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶
[答案] C
[解析] 选项A所用时间为36 min，选项B所用时间为31 min，选项C所用时间为23 min，选项D不符合日常生活规律，故选C．3．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步，分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同．
第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆．
第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆．
第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．
这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌的张数是( )
A．4 B．5 C．6 D．8
[解析] 按各放3张，可以算出答案是5，各放x张答案也是一样．原因如下：设每堆有x张，经过四个步骤后，中间一堆有(x＋3)－(x－2)＝5(张)．B 4．一个算法如下：
第一步，S取值0，i取值1.
第二步，若i是不大于10，则执行下一步；否则执行第六步．
第三步，计算S＋i且将结果代替S.
第四步，用i＋2结果代替i.
第五步，转去执行第二步．
第六步，输出S.
则运行以上步骤输出的结果为_____.
[解析] 第1次运算结果S＝1，第二次运算结果为S＝1＋3＝4，第三次运算结果为S＝1＋3＋5＝9，第四次运算结果为S＝1＋3＋5＋7＝16，第五次运算结果为S＝1＋3＋5＋7＋9＝25，此时运算结束，输出S＝25.25 课时作业学案
